2018版高中数学第四章函数应用4.1.1利用函数性质判定方程解的存在学业分层测评北师大版

1、4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.函数f(x) = 2x+ 3x的零点所在的一个区间是()A. ( 2, - 1)B. ( 1,0)C. (0,1)D. (1,2)【解析】 因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f( 1) = 21 3v0,f(0)=1 0，所以f( 1) f(0)v0，故函数零点所在的一个区间是(一 1,0).故选 B.【答案】 B f (x) =x - Jllx只有一个零点.x 3【答案】 B3.若函数f(x) =x2+ 2x+a没有零点，则实数a的取值范围是()A.a1C.a1【解析】由题意知， = 4 4a1

2、.【答案】B4.函数f(x) = log3X+x 3 零点所在大致区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【解析】If(x) = log3X+x 3,f(1) = log31 + 1 3= 20,f(4) = log34 + 4 3 = log34 + 1 0,f(5) = log35 + 5 3 = log35 + 20,函数f(x) = log3x+x 3 零点所在大致区间是(2,3).故选 B.2.函数f(x)=x-的零点有A. 0 个B.1 个C. 2 个D. 3 个【解由f(x)=x 1 Inxx 3=0 得x=1,x3【答案】B135.设函数f(x

3、) = 3x lnx(x0)，贝 Uy=f(x)()3B. 在区间 1, 1 , (1 , e)内均无零点C. 在区间 ie, 1 内无零点，在区间(1 , e)内有零点D. 在区间r, 1 内有零点，在区间(1 , e)内无零点1 1 1【解析】因为fe = 3e-m e=se+10，r11f(1) = In 1 =- 0,v 13311f(e)=?eIn e=3e1v0.33故函数f(x)在 i1, 1 内无零点，在区间(1 , e)内有零点.【答案】 C二、填空题6.函数f(x) =x2+mx-6 的一个零点是一 6，则另一个零点是 _.【解析】 由题意(6)2 6m- 6 = 0,解得

4、 m= 5,由x+ 5x 6 = 0，解得X1= 6,X2= 1.故另一个零点为 1.【答案】 17.若函数f(x) =axxa(a 0,且a* 1)有两个零点，则实数a的取值范围是【解析】 函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数，由函数 的图像(如图所示)，可知a 1 时两函数图像有两个交点，0vav1 时两函数图像有唯一交点，故a 1.【答案】 (1 ,+)A.在区间,e)内均有零点148._ 已知函数f(x) = logax+xb(a 0,且a* 1).当 2vav3vbv4 时，函数f(x) 的零点x(n,n+ 1) ,n N+,则n=.【解析】T2vav3

5、vbv4,5当x= 2 时，f(2)=loga2+2bv0;当x= 3 时，f(3) = loga3 + 3 b 0, f(x)的零点xo在区间(2,3)内，n= 2.【答案】 2三、解答题9.求函数y=ax2 (2a+ 1)x+ 2(a R)的零点.【解】 令y= 0 并化为：(ax 1)(x 2) = 0.当a= 0 时，函数为y= x+ 2，则其零点为x= 2；当a= 时,则由 1 (x 2) = 0,2匕 丿解得xi=X2= 2,则其零点为x= 2;当a0且azj 时，则由(ax 1)(x 2) = 0,11解得x=-或x= 2,则其零点为x=-或x= 2.aa10.关于x的方程mx+

6、2(m+ 3)x+ 2 讨 14= 0 有两实根，且一个大于 4，一个小于 4,能力提升x1.在下列区间中，函数f(x) = e + 4x 3 的零点所在的区间为()A.C1 nD ft “C. 4 , 2D. 2, 4x2【解】 令g(x) =mx+ 2(n+ 3)x+ 2m+ 14.n0 ,n0 ,依题意得*或cf斗0 ,n0 ,19即 i或 j解得n0.I26n+ 380 ,13求实数m的取值范围.故实数m的取值范围为【导学号：04100074】19面0.6【解析】/g(x) = e 在(8,+8)上是增函数，h(x) = 4x 3 在(, + )上是增函数，f(x)=ex+4x3 在(

7、8,+)上是增函数.又f 二7f(0)=e0+4Xo3=-2v0,f1=e42 0A. 1B. 2J-P 2x+ 2x 3,x 0的图像如图所则f(x)的零点个数为 2.【答案】Bx,xw0,3.已知函数f(x) =i2|xx,x0 ,若函数g(x) =f(x) m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为_.【解析】 令g(x) =f(x) m=0，得f(x) =m由题意函数f(x)与y=m的图像有三个不同的交点. 由图可知.【答案】CC. 3D. 48【答案】4, 024.已知二次函数f(x) =ax+bx+c.若abc,且f(1) = 0,试证明f(x)必有两个零点；1(2)设xi,X2R,xiVX2，且f(xi)丰f(X2)，若方程f(x)= 2【f(xi) +f(X2)有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(Xi,X2).【证明】(i) f(i) = 0,.a+b+c= 0.又abc,.a 0,cv0，即acv0,.2=b 4ac- 4ac 0,方程ax2+bx+c= 0 必有两个不等实根，.f(x)必有两个零点.人i(2)令g(x) =f(x) yf(xi) +f(X2),小i则g(xi) =f(xi) 2【f(Xi) +f(X2)i=2【f(xi) f(X2)