MATLAB数学实验

1、实验二 定积分的近似计算学号： 姓名：XX一、 实验目的1. 加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，了解定积分近似计算的矩阵形法、梯形法与抛物线法。2. 会用matlab语言编写求定积分近似值的程序。3. 会用matlab中的命令求定积分。二、 实验内容1. 定积分近似计算的几种简单数值方法在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。根据微积分学基本原理，若被积函数在区间a,b上连续，只需要找到被积函数的一个原函数，就可以用牛顿莱布尼兹公式计算。但在工程技术与科学实验中，有一些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使可求出，计算也可能很复杂。特别地，当被积函数是图形或表格给出时

2、，更不能用牛顿莱布尼兹公式计算。因此必需寻求定积分的近似计算方法。大多数实际问题的积分需要用数值积分方法求出近似结果。数值积分原则上可以用多项式函数近似代替被积函数，用对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。由于所选多项式形式的不同，可以有许多种数值积分方法，下面介绍最常用的几种插值型数值积分方法。1) 矩形法定积分的几何意义是计算曲边梯形的面积，如将区间a,bn等分，每个小区间上都是一个小的曲边梯形，用一个个小矩形代替这些小曲边梯形，然后把小矩形的面积加起来就近似地等于整个曲边梯形的面积，于是便求出了定积分的近似值，这就是矩形法的基本原理。假如在a,b上可积，利用定积分的定义 （2-1）

3、可知当n充分大时，可将视为积分的近似值，这里是取自第k个区间中的值。如果将区间a,bn等分，结点分别记为称为积分步长。如果子区间的左端点（或右端点）作为，作部分和。用积分和作为定积分的近似值，公式（2-1）可以表示为 或 （2-2）即 或 式（2-2）称为计算定积分的矩形公式。2) 梯形法将积分区间a,bn等分，用线段一次连接各分点，每段都形成一个小的直角梯形。如果我们用这些小直角梯形面积之和代替原来的小曲边梯形面积之和代替原来的小曲边梯形面积之和，就可得定积分的近似值。在第k个子区间上，小曲边梯形上网面积近似为则得到近似公式 （2-3）即其中。它的实际含义是利用逐段线性函数作为的近似，式（2

4、-3）称为梯形求积公式。3) 抛物线法为了提高计算精度，可以用分段二次插值函数代替。由于每段都要用到相邻两个小区间断电的三个函数值，所以小区间上用三个节点作二次插值函数，然后积分可得 求m段之和就得整个区间上的近似积分 （2-4）公式（2-4）称为抛物形公式（辛普森求积公式）。4) 三种算法的误差计算在利用数值方法求积分的近似值时，需要根据计算精度的要求，选择一个适合的积分公式。矩形法在每个小区间上用零次多项式（即常数）代替被积函数，若函数可导，由泰勒公式得到 矩形公式（2-2）的误差为 或 。记可以粗略的估计误差，得到 （2-5） 梯形公式在小区间上用线性插值函数代替，若函数二阶可导，可以得

5、到 梯形公式（2-3）的误差为 记可以粗略的估计误差，得到 （2-6）上式表明梯形公式（2-3）的误差是阶的，即是2阶收敛的。若函数四阶可导，还可以求出辛普森公式（2-4）的误差 其中即误差为阶的（有兴趣的读者可参阅各种数值分析教材关于数值积分的章节）。从前面的求积分中科院看出误差随着n的增大（即步长减小）而减小，因此对于给定的误差限，我们可以根据误差估计式确定适当的步长。由于（2-6）式或（2-7）式都含有高阶导数，一般不容易估计。下面以梯形公式为例说明计算过程。在编程计算定积分采用如下方法估计误差：记误差极限，逐步计算，若则以作为的近似值。上述程序的效率并不高，因为在计算的信息，在实际求积

6、过程中，通常采用步长加倍法每次将上一次的每个小区间等分为二，因此区间n增加一倍，随着n的增加，计算精度也随着增加，直至满足精度要求（通常是通过比较前后两次计算值的误差是否满足精度要求来确定是否中断计算）。由（2-6）式可知，当n增加一倍时，所以只要，计算出的即可满足的精度要求。而每次分点加密一倍时，原分点的函数值不需要重新计算，只需要求出新分点（的中点）的函数值（记作），即可算出。对于辛普森公式也可作类似处理。2. 相关的matlab命令matlab命令用途sum(x)如果x是向量，则sum(x)给出x的各个元素的累加和；如果x是矩阵，则sum(x)是一个元素为x的每列列和的行向量。symsu

7、m(s,k,m,n)用于求symsum(s,n)用于求s=quad(fun,a,b)近似地计算a到b函数fun的数值积分，误差为s=quad(fun,a,b,tol)用指定的绝对误差tol代替缺省误差s=quad1(fun,a,b,)用高精度进行计算，在同样的精度下高阶方法quad1要求的节点较少，效率可能比quad更高trapz(x,y)用梯形法计算y在x点上的积分，其中步长x=x0,x1xn和函数值y=f0 f1fn为同维向量。步长取短，结果较精确。int(s,v)对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分int(s,v.a,b)对表达式S中指定的符号变量v计算从a到b得定积分3. 实验

8、内容1) 矩形法计算定积分近似值取，求定积分的近似值。 积分区间为0,1,等距划分为20各子区间。 选取每个子区间的端点，并计算端点处的函数值。选取每个子区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来。结果为：s1可作为定积分的近似值。若选取右端点：结果为：S2可作为定积分的近似值。下面我们画出图象（见图2-10.如果选取右端点，画图命令如下：在上边的语句中，forend是循环语句，执行语句体内的语句20次，fill命令可以填充多边形，在本例中，用的是蓝色（blue）填充。得到图形2-2.由图显见，选取左端点计算值编校，选取右端点值偏大。可试取50各子区间看一看结果怎样。下面按等分区间计算。的结

9、果图2-22) 编程用巨形法计算定积分的近似值根据，编写如下matlab程序：存为juxingfa.m。运行juxingfa.m，结果为：可见，子区间个数较少时精确程度不够高，取子区间个数为10000时结果就比较精确。3) 编程用梯形法计算定积分的近似值根据，编写如下matlab程序：存为tixingfa.m，运行tixingfa.m如下：4. 练习1) 编写matlab程序计算下列和式：a) 1+3+5+999;解： b) 自定n的值。解： 取n=100 则：2) 取区间等分数n=200，分别用矩形法及抛物线法编程，计算定积分的近似值。解：矩形法：积分区间为0,/2,等距划分为200各子区间。 选取每个子区间的端点，并计算端点处的函数值。选取每个子区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来。结果为：s1可作为定积分的近似值。若选取右端点：结果为：S2可作为定积分的近似值。在上边的语句中，forend是循环语句，执行语句体内的语句20次，fill命令可以填充多边形，在本例中，用的是蓝色（blue）填充。得到图形2-2.由图显见，选取左端点计算值编校，选取右端点值偏大。可试取50各子区间看一看结果怎样。下面按等分区间计算。的结果抛物线法：3) 利用梯形法编写matlab程序计算定积分的近似值，并求的近似值。梯形法：结果：求ln2的近似值：因为ln2=所以：ln2的近似值为0.6