导数的几何意义完整版

1、整理课件3.1.3导数的导数的 几何意义几何意义1高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用整理课件 xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即： 000 xxyf xxxfxy函数 在 处的导数，记作：或表示“平均变化率”xy 附近的变化情况。反映了函数在处的瞬时变化率，在表示函数000 x0 xxxxxfxylimxf2 1.导数的定义导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。其几何意义是？其几何意义是？一、温故知新一、温故知新整理课件P1P2P3P4PTTT

2、TPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx211 .图图 1 2 3 4 ?,4, 3, 2, 1,21 .100什么什么是是趋势趋势化化变变的的割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP 二、探索新知二、探索新知整理课件PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T 我们发现我们发现,当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn一个确定位置一个确定位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. ?,4, 3, 2, 1,21 .100什么什么是是

3、趋势趋势化化的变的变割线割线时时趋近于点趋近于点沿着曲线沿着曲线当点当点图图如如察察观观nnnnPPxfxPxfnxfxP 二、探索新知二、探索新知问问1：此处切线定义与以前的定义有何不同？以此处切线定义与以前的定义有何不同？以前切线（如圆的切线）的定义是什么？前切线（如圆的切线）的定义是什么？整理课件 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的义才真正

4、反映了切线的直观本质。直观本质。 2l1lxyABC二、探索新知二、探索新知整理课件xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy问问2：通过通过逼近逼近的方法，将割线的方法，将割线PQ趋于的确定位置的直线定义为趋于的确定位置的直线定义为切线切线PT，那么可否用，那么可否用逼近逼近的方法的方法用割线的斜率求切线的斜率用割线的斜率求切线的斜率？xxfxxfkPQ)()(xy 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：整理课件导数的几何意义导数的几何意义

5、1、几何意义：、几何意义：函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意处的导数的几何意义，就是曲线义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:0( )kf x切线即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线 2、这个概念这个概念: 切线斜率的本质切线斜率的本质切点横坐标切点横坐标x0处处的导数的导数f(x0) ; 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法：方法： 求曲线求曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfx

6、fy 整理课件xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T 想方法以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？二、探索新知二、探索新知整理课件.,.,.以以直直代代曲曲想想方方法法这这是是微微积积分分中中重重要要的的思思附附近近的的曲曲线线点点这这替替近近似似代代切切线线我我们们用用曲曲线线上上某某点点处处的的这这里里

7、近近似似代代替替无无理理数数用用有有理理数数如如例例刻刻画画复复杂杂的的对对象象数数学学上上常常用用简简单单的的对对象象14163二、探索新知二、探索新知整理课件例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的的。)(0 xf （2）根据直

8、线方程的）根据直线方程的，即即).)()(000 xxxfxfy 【总结】求切线方程的步骤：【总结】求切线方程的步骤：三、典例精析三、典例精析整理课件练练习习线线点点点点 处处线线点点 处处线线3 31 18 8：已已知知曲曲y y = =x x 上上一一P P( (2 2, , ) )，求求：3 33 3( (1 1) )P P的的切切的的斜斜率率；（2 2）P P的的切切方方程程.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切

9、线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.整理课件 .,.,.附近的变化情况附近的变化情况在在述、比较曲线述、比较曲线请描请描据图象据图象根根图象图象的的数数时间变化的函时间变化的函示跳水运动中高度随示跳水运动中高度随它表它表如图如图例例21021056943112tttthttth 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的的变变化化情情况况刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210整理课件 .

10、,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图整理课件80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60

11、.70.90.01.11. mlmgc/ mint411 .图图 .,min.,.,.,.min:)/:(,.10806040204113精确到精确到率率物浓度的瞬时变化物浓度的瞬时变化血管中药血管中药时时估计估计根据图象根据图象函数图象函数图象变化的变化的单位单位随时间随时间位位单单物浓度物浓度表示人体血管中药表示人体血管中药它它如图如图例例 ttmlmgtfc 它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf整理课件 .在此点处的切线的斜率曲线tf.,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411

12、.,.,.41804180 ft所以它的斜率约为处的切线作.,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬 417004080604020. tft药物浓度的瞬时变化率整理课件（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 二、求切线方程的步骤：二、求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求

13、函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。 五、归纳总结五、归纳总结一、导数的几何意义：一、导数的几何意义： 1、几何意义：、几何意义：函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意处的导数的几何意义，就是曲线义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:0( )kf x切线整理课件2342yxxM 2 2. .求求曲曲线线在在点点 （1 1，1 1）处处的的切切线线方方程程。处的导数。处的导数。在在求函数求函数11. 1 xxy3.求双曲线过点（，）的切线方程 六、作业布置六

14、、作业布置一、交：一、交：一、不交：一、不交：书本书本P80，A4、5，B2、3整理课件3求双曲线 过点（，）的切线方程. 141)2(4121.4121241221lim121lim22lim000 xyxyxxxxxfxfxxx，即即故故所所求求切切线线方方程程为为）的的切切线线斜斜率率为为，（所所以以，这这条条双双曲曲线线过过点点，）（）（）（解解：因因为为 作业答案作业答案整理课件第二课时 一、复习整理课件 1、求出函数在点、求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf 2、根据直线方程的点斜式写出切线方

15、程，即、根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy （二）、求（二）、求切线方程的步骤切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导是建立导数概念、用导数定义求数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思基本思想，丢掉极限思想就无法理解导想就无法理解导 数概念。数概念。（一）、（一）、导数的几何意义导数的几何意义： 1、几何意义：函数、几何意义：函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意处的导数的几何意义，就是曲线义，就是曲线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.即即:0( )kf

16、x切线第二课时第二课时 一、复习整理课件二、函数的导数：二、函数的导数： )()(xfxyyxf需指明自变量时记作或记作：）的导函数（简称为导数我们称它为,)()(limlim)(0 x0 xxxfxxfxyyxf即： 的函数，便是一个变化时，这样，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个确定的值；时，当是一个时，当到：的导数的过程中可以看从求函数xxfx xfxx 35f5x13f3x 56f6x确定的值；32f2x157xxxf002整理课件函数在点函数在点 处的导数处的导数 、导函数、导函数 、导数、导数 之之间的区别与联系。间的区别与联系。1）函数在一

17、点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。0 x0()fx( )fx0 xx0 x0()fx( )f x0 x0()fx0 x( )fx整理课件课堂练习课堂练习:如图（见课本如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。出其导函数图像的大致形状。P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间

18、的函数图像的大致形状。程关于时间的函数图像的大致形状。（1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；）汽车在笔直的公路上匀速行驶；（2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；（3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；整理课件整理课件xyoPQM为什么与抛物线对称轴平行的直线不为什么与抛物线对称轴平行的直线不是抛物线的切线？是抛物线的切线？ 思考：思考：Q整理课件PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直

19、线PT称为点称为点P处的处的切线切线.?同同过过的的切切线线定定义义有有什什么么不不此此处处切切线线定定义义与与以以前前学学整理课件整理课件例例2:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上一点上一点 yx-2-112-2-11234OP313yx31(1),3yx解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.330011()33limlimxxxxxyyxx 2230133 ()()lim3xxxxxxx 22201lim33()