第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

1、第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要 :本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目?关键词：曲面积分；曲线积分1 引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点 ?掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难? 本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法? 对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2 第二

2、型曲线积分例 1 求 Iexsiny b x y dx e x cosy ax dy ，其中 a， b 为正的常数， L为从点 A（ 2a， 0）沿曲线 y=、 2ax x 2 到点 o （ 0， 0） 的弧 .方法一：利用格林公式法LPdxQdy dxdy ， P（x， y）， Q（ x， y ）以及它们的一阶偏导数D x y在 D 上连续， L 是域 D 的边界曲线， L 是按正向取定的 .解：添加从点o （ 0 , 0）沿 y=0 到点 A（ 2a,0 ）的有向直线段L.,Iexsin yb x ydxxax dye cosyLUL 1exb x ydxxax dyL 1i sin ye

3、 cosy记为 111I2，则由格林公式得 :QPx e cosy aex cosy b dxdyI1dxdyxyDDb adxdya2baD2其中D为LiUL所围成的半圆域，直接计算丨2,因为在Li 时， y 0, 所以dy=0因而：丨2 bxdx 2a 2b，从而I I1 I2 aba 2a b2 22b2 a1 22方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解（ 1若PQ （与路径无关的条件）， 则）yxAX1,%为y1B 冷，PdxQdyP x,y 0 dxQ N,y dyx0yy°(2)xt ,ytABPdxQdyP t , t ' tQ t , t't

4、 dt是起点是终点解： I L exsin y b x y dx e xcosy ax dyLexsin ydx e x cosydyLb x y dx axdy记为 I Ii I2 ,对于 I1 ，积分与路径无关，所以exsin ydx e x cos ydy e x siny 2：00对于 I2，取 L 的参数方程 x a asint ， t 从 0 到，得y asintLb x y dx axdy2222323a bsint a bsintcost a bsin t a cos t a cost dt0对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz若 L 闭合， P,Q,R

5、对各元偏导数连续从而 I2 a2bdydz dzdx dxdy2 1 22a b a2欢迎下载1LPdx Qdy Rdz 一xyzP Q R若 L 非闭，其参数方程为Pxt,yt,zt x' t Qxt,yt,zt y't R x t ,y t ,z t z't dtx x t其中：y y t ,分别为 L 的起点，终点参数值.z z t例 2 计算空间曲线积分I= ? y z dx z x dy x y dz , 其中曲线 L.222x z为圆柱面 x y a 与平面1 的交线 a 0,h 0 ，从 X 轴正向看，a h曲线是逆时针方向 .方法一：化为参数的定积分计算

6、，对于这种封闭的曲线要充分利用0,2 上三角函数的正交性.解 :令 x a cost, y a si nt， 贝 Uz h 1xa cost, 一h 1ah 1 costa于是 I=asi nt h 1 costasi nth 1costacost a cost acost asint hsint dt2 a a hdydzdzdxdxdy方法二：解：I2 dydz dzdx dxdyxyzy zz xx y21,1,1h -.dxdy2-1 dxdy 2 a h a,0,Dxy1aD a3 第二型曲面积分欢迎下载2例 3 计算曲面积分z x dydz zdxdy，其中为旋转抛物面z 1 x2

7、 y2 介于平面 z=0 及 z=1 之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系Pdydz Qdzdx RdxdyPcos Qcos Rcos ds其中 cos,cos ,cos是有向曲面上点（ x,y, z）处的法向量的方向余弦.解： nx,y, 1 ,cos ,cos,cosx22x yx dydz zdxdyz2xzdsx22y22x z.7 ds22x y2 1 2x x 21 x2y2 ,1 x 2 y2 dxdydxdy22r rdr 8方法二 :分面投影法如果z x,y给出，则x, y, zdxdyR x, y, zx,y dxdyDxy如果由 x x y,z给出，则d 2

8、 cos 20欢迎下载3P x, y,z dydzP x y,z ,y,z dydzDyz如果由 y y z,x给出，则Q x, y.z dzdxQ x, y z, x , z dzdxD zx等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程x x z,y yy x,z ,z z x,y所给出的曲面上（前 ,右侧，应取否则取“ ”）解:z2x dydz zdxdyx dydzzdxdy22 zx dydzz2 x dydzz x dydz前后z2.2 z y2 dyd zz2 、2z y 2 dydzDDyzyz2、2z ydz 4 0 dy y.2z y 2dz4D 'yz2d：2zdx

9、dy12 1 2 y2 dxdydr3dr42 x2 D xy2 o02所以z x dydz zdxdy 8方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐 ?事实上，如果的方程 z z x,y ， x, y ，（ Dxy 是 在 xoy 面上的投影区域），函数P,Q,R 在 上连续时，则单位法向量为ure cos ,cos ,cos欢迎下载4Z2Zy21乙 y ZX， Z： Zy21 /JZy21x2由于投影元素 dydz cos ds , dzdxcos ds ，

10、 dxdycos于是得到ds ，cosdscos dxdyZx dxdydydz cos dscoscoscoscosdscosdxdyZydxdydzdx cos dscoscoscos所以P x,y,z dydzQ x, y,z dzdxx,y,z dxdyP x, y,z x, yZx x,yx,y,z x, yZy x,y R x,y,z x, ydxdyDxyP 乙 QZy R dxdyDxy等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”，否则取“” .当可用显示方程y yz,x 或 x x y, z 表示时，只需注意到此时的法向量为yx,1 y, y x 或 1, x

11、y , xz，可得相应公式 .上述方法将上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解： z 1 x2 y2 ， 在 xoy 面上的投影区域：Dxy = x, y x 2 y24 ，2欢迎下载5又的下侧， Zx x，故由上式可得：21222x x1 2 2z x dydz zdxdyx yx y dxdy 2D xy421 22x-x ydxdyD xy222 2 22rdr8dr coso02方法四： 咼斯公式b Pdydz QdzdxRdxdyP Q,R dvJx yz解：曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面1 z2 的上侧，则欢迎下载62 用高斯公式1z

12、 x dydz zdxdy0dv 0所以22z x dydz zdxdyz x dydz zdxdy12zdxdy 2 dxdy 8z x dydz zdxdy 0Dxy12所以z x dydz zdxdy 84 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动?过本 文的分析，希望对大家有一定的指导作用?（指导教师：吕国亮）参考文献1 华东师大数学系 ?数学分析 （下）M ，第三版 .高等教育出版社， 2001 ， 224-231.2 刘玉琏，傅沛仁等 .数学分析讲义 （下）M ，第四版 .高等教育出版社， 2003 ，375-388.3 林源渠，方企勤 .数学分析解题指南 M. 北京大学出版社， 2001 ， 338-362.4 陈文灯 .数学复习指南 M. 世界图书出版社， 2000 ， 276-287.田勇 .硕士研究生入学考试历年真题解析M. 机械工业出版社，2002 ， 175