(完整word版)抛物线及其性质知识点大全

1、1抛物线及其性质1 .抛物线定义：平面内到一定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质：图形井参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔开口方向右左上下标准方程2y =2px(p0)2y =-2px(p0)2x =2py(p0)2X =-2py(p0)焦点位置X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标(f.0)(f,0)2(0昴(0, p)2准线方程px =-2px =2ppr范围x工0,严Rx兰0,泸Ry K0,x Ry兰0八R对称轴X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶点坐标(0,0)离心率e = 1通径2p焦半径A(Xi,yJAF =%

2、+R2A-x1+2AF号焦点弦长AB|(X1+X2) + p(X1+X2)+ P(屮+y2)+p(屮 +y2)+p焦点弦长AB的补充A(Xi,yi)B(X2, y2)以AB为直径的圆必与准线 丨相切若AB的倾斜角为a ,IABI 2 p若AB的倾斜角为 a ,贝UAB2p|AB sin2a_ 2cos a2p2为乂2=y2 = P41丄1AF + BFAB2AF BF AF *BF AF *BF p3抛物线寸=2px(p 0)的几何性质：(1)范围：因为 p0,由方程可知 x 0,所以抛物线在y轴的右侧， 当x的值增大时，|y|也增大, 说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2y =kx +by

3、2 =2pxk2x22(kb - p)x b2=0(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0，0)，离心率：e =1，焦点F(E,0)，准线xp，焦准距 p.2 2、2焦点弦：抛物线y =2px(p . 0)的焦点弦AB,A(xi,比)，B(X2, y2),则| AB|=捲x? p.弦长|AB|=x1+X2+P,当 xi=X2时，通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(X1,yJ,B(X2,y2)，焦点F(E,0)222p(1)若 AB 是抛物线y =2pXp 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(x,yJ,B(x2, y2)，则：xp2 =42yy2=p。焦点弦中

4、通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5 弦长公式：A(x1, y1),B( x2, y2)是抛物线上两点，则IAB = J% X2)2+(% y2)2=心 +k2|X1X2 1=+ 占 I 旳 _2I6.直线与抛物线的位置关系直线厂仁一；，抛物线Jiy = 2px消y得:+2(幼-p)x+护二0(1)当 k=0 时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当 k 工 0 时， 0，直线I与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线I与抛物线相

5、切，一个切点；v0，直线I与抛物线相离，无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l:y二kx b抛物线|? -匚二，(p 0)联立方程法:若 AB 是抛物线y2=2pXp 0)的焦点弦，且直线已知直线 AB 是过抛物线y2px(p 0)焦点AB 的倾斜角为a，则AB2P( a工 0)。1 1sin工11AF BFAB2F ,+=AFBFAF *BFAF *BFp3设交点坐标为A(xi, yi),B(X2, y2),则有-0 ,以及XiX2, X1X2,还可进一步求出2 2y1y2= kxrbkX2b =X

6、2） 2b,yiy2二（kX1b）（kx2b） = kXrX2巾（为X2）b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦 AB 的弦长b.中点M （X。, y）, x =-2点差法：设交点坐标为A(Xi,yi)，B(X2,y2)，代入抛物线方程，得2 2yi2 pX1y22 pX2将两式相减，可得(yi_y2)(yiy?) =2p(xi_X2)yi- y22 pxi-X2yiy2即kAB，yo同理，对于抛物线x2=2py(p=0)，若直线丨与抛物线相交于 A、B 两点，点M(xo,yo)是弦AB 的中点，则有kAB二乞也二纽二“2p 2p p(注意能用这个公式的条件：i)直

7、线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零)AB=*一1 tk2% _x2= Ji +k2（冷+x2）24X2=$1 k2a.在涉及斜率问题时,kAB2pyiy2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为M (x0, y0)，yi- y2 _2p _ 2p _ pXiX2yiy22yoyaAByo口yiy224【经典例题】(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇

8、章【例 1】P 为抛物线y?=2px上任一点,F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴(A相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为F iP,0，准线是12丿I : X =卩.作 PFU I于 H,交 y 轴于 Q 那么PF = PH 2且QH = OF=卫作 MNUy 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的2111中位线，MN =(|0F + PQ )= PH = PF .故以22 2PF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.(2)焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点

9、弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】过抛物线y2=2px p - 0的焦点 F 作直线交抛物线于【证明】(1)如图设抛物线的准线为|，作AA丄丨A,BB1丄I于B1,贝UAF = AA|=为 +# ,BF| = BB=X2+卫.两式相加即得：2AB| = % + x2+ p(2)当 AB 丄 x 轴时，有AFBFAF BF=成立;p当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为:= k-.代入抛物线方程:I 2丿A X1,y1,B X2,y2两点，求证:(1) AB =% +x2+ p(2)1AF1BFD.位置由 P 确定52k*#=2px化简得:22 22P2kxpk 2

10、x k 0 4方程（1）之二根为k2X1, X2,. x x14为十 x + P2P /tP%x2x1x224X1X2P2 2PPPX1X2424X1X2p _2 号(X1 +X2+ P)P故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有AF1+-BF=成立.P（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关基本功.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的【例 3】证明：过抛物线y =2px上一点 M（xo, yo）的切线方程是:yoy=P ( x+x0)【证明】对方程y2=2px两边取导数：2yV = 2p，y = 切线的斜率ytPP2k = yXN= 由点斜式方程：yy= (

11、x x戸yy = px - pxo+ y(1)yoyo:y0=2pxo，代入（）1即得：yoy=p（x+x。）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现,到的收获却容易为人疏忽的定点和定值掌握它们，在解题中常会有意想不例如：1.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x 2二o相切，则此动圆必过定点A 4,0B. 2,oC. o,2D.0,-2显然本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线y2= 2 px的通径长为 2p；223.设抛物线y =2px过焦点的弦两端分别为A为，,B X2, y2，那么：yy二-p以下再举一例【例 4】设抛物线y2=2

12、px的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 AB，证明：以 AB1为直径的圆必过1111-+- -+-AF| BFAABB1- + px1-X27_JH定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B=AB=2p 而 A1B1与 AB 的距离为 p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点 .以下我们对 AB 的一般情形给于证 明.【证明】如图设焦点两端分别为Ax1,y1）,B（x2,y2）,yiy2 = -p2= |CAI QBJ = yy2 =p.从而m = y - x = 1.直线 AB 的方程为：y = x 1方程（1）成为：x2 x - 2 = 0.解得

13、:x = -2,1，从而y = -1,2，故得：A (-2 , -1 ), B (1, 2).二AB=3运，选 C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这那么:设抛物线的准线交 x 轴于 C,那么CF = p.2,AA1FB1中CF =|CA CR故/AFBL90。.这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点 通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】（10.四川文科卷.10 题）已知抛物线x+y=0 对称的相异两点）y

14、=-x2+3 上存在关于直线A、B,则|AB|等于（A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB 的中点必在直线【解析】AB 必与直线 x+y=0 垂直， 且线段 x+y=0 上，因得解法如下.A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线AB 的方程为:y 二 x m._Ly 二 x m由ly一x2+3x m-3 = 0设方程（1）之两根为 Xi,X2，则x1x2二-1设 AB 的中点为 M（X。，y。），贝 Ux0二x1x22寸.代入1i 1x+y=0 : y0=.故有 M -2为、3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK丄I，垂足为K,则AAKF的面积（）A .4B.3 3C.4.3

15、D.8【解析】如图直线 AF 的斜率为-,3 时/ AFX=60 . AFK 为正三角形.设准线|交 x 轴于 M 贝U FM | = p = 2,且/ KFM=60, KF =4,SAAK-x4/3.选 C.4【评注】（1 平面几何知识：边长为 a 的正三角形的3面积用公式S -a2计算.Q 4（2）本题如果用解析法， 需先列方程组求点 A 的坐标，再计算正三角形的边长和面积 虽不是很 难，但决没有如上的几何法简单（3）定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例 7】（07.湖北卷.7 题）双曲线27=1（3 0,b 0）的左

16、准线为I，左焦点和右焦点分别为Fi和F2;抛物线C2的线为b11C.D.-22这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c,离心率为 e,作MH _ l于H，令I，焦点为F2；Ci与C2的一个交点为M，则霜一偶等于（）MFi=1, MF2这就是说:其次,W点 M 在抛物线上,二 r2,故MF1MHMF1MF2型切的实质是离心率IMF2Ie.LF1FJ与离心率 e 有什么关系？注意到:IMF,2Ci：x?-aA.-【分910F1F2_2cMFi|rie 2arr1e这样，最后的答案就自然

17、浮出水面了：由于| F1F2I|MFi|MFi|IMF2I=e d e = -1.选A.(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名 同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算【例 8】(09.重庆文科.21 题)如图，倾斜角为 a 的直线经过物线 y2=8x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。(I)求抛物线的焦点F 的坐标及准线 I 的方程；(H)若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明

18、|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点 F(2,0),准线l;x = 2.(n)直线 AB: y二tan：x - 2 1 1 .2x =代入(1),整理得：y2tana 8y 16tana =08设方程(2)之二根为 y1, y2，则*y1+%8tan：y1y -16Iy丄设AB 中点为M(Xo,y)，则 yo2 tan。=4cot :2/o =cot。y0+2 = 4cot a +2AB 的垂直平分线方程是：y4cot- cot： x4cot2用-2.令 y=0，则x =4cot2J； 6,有P 4cot2：6, 0故FP = OP - OF =4cot2 +6

19、 2=4(cot2a +1)=4cos2a222于是 |FP|-|FP|cos2a=4csc:1-cos2：= 4csc : 2sin：=8，故为定值.(5)消去法一一合理减负的常用方法 .避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线I： (1)I与抛物线y2=8x有两个不同的交点 A 和1112B； （ 2）线段 AB 被直线l1: x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线I的方程.【解析】假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点Ax-i，y1，B x2，y2则有:8=yiy2.5设线段 AB 的中点为M