第六章6.3.2~6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

1、6.3.26.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.36.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示学习目标1了解平而向量的正交分解，掌握向量的坐标表示2掌握两个向量加、减运算的坐标表示.知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向疑，叫做把向量作正交分解.知识点二平面向量的坐标表示1在平而宜角坐标系中，设与X轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i, i，取卩，刀作为 基底对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本泄理可知，有且只有一对实数x, y,使得a=xi+yj.平面内的任一向量a都可由x, y唯一确左， 我们把有序数对(x, y)叫做向疑a的坐标， 记作a = (x, y

2、).2.在直角坐标平而中，Z=(LO), /=(0.1), 0=(0.0).思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？答案表示形式不同向量y)中间用等号连接，而点A(x, y)中间没有等号区别意义不同点A(x, y)的坐标(x, y)表示点A在平而宜角坐标系中的位置，a=(x,y)的坐标(x, y)既表示向疑的大小，也表示向量的方 向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指 明点(x, y)或向量(%,y)联系当平面向量的起点在原点时，平而向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a=(xi, yi), b=g,户)，数学公式文字语言表述向量加法d+b

3、 = (xi+x2, yi+y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab=(xx2 yiya)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A（x, y）9力），那么向&4B=（A2AHyz-yi）即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.思考辨析思考辨析 判断正误判断正误- -1零向量的坐标是（00）（V ）2两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同（X ）3当向量的始点在坐标原点时，向董的坐标就是向量终点的坐标（J）4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化（X ）、平面向量的坐标表示例1如图，在平而直角坐标系xOy中，0

4、A=4, AB = 3, ZAOx=45。，ZOAB=105。，OA=a, AB=b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a,的坐标：(2)求向虽茲的坐标；(3)求点B的坐标.解(1)作AM丄x轴于点M,则OM=OA-cos 45=4 CA=(4,7),则荒=_答案(一2, -4)解析fiC=BA4-AC=BA-CA = (2,3)-(47)=(一2, -4).5若a=(2,2), b=(3, 4), c=(l,5),则a+b+c=答案(23)解析a+c=(2+3+l,24+5)=(23)1已知M(2,3)，N(3,l),则NM的坐标是()-课堂小结- -1知识清单：(1)平面向董的正交分

5、解及坐标表示.(2)平面向董加、减运算的坐标表示.2方法归纳：数形结合.3常见误区：已知A, B两点求而的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.答案B解析 顾=筋一丽=(2,3)(3,1)=(1,2)2已知a=(lJ), b=(l, 1),则ab等于(A(l,2)C(0,2)答案C解析a-b=(l,l)-(l, -1)=(0,2).3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5, 1), B( 1,7), C(l,2),则顶点D的坐标为()A(一7,0)D.(7, -6)答案D解析设D(x, y),因为乔=荒，所以(x5, y+l) = (2, 5),所以x=7, y=6.所以D(7t-6

6、).4设而=(23)，BC=(m. n), CD=(-14),则丽等于( )A(l+?,7+n)B.( 1 m97?J)C(l?,7n)D(l+m , 7+n)答案B解析DA=DC+CB+BA= -CD-BC-AB= (1,4)(加，)一(2,3)=(17?)5.已知M(2,7), N(10, 2),点P是线段MN上的点，且函=诉,则P点的坐标为()A.(-146)B.(22, -11)答案D解析设P(x9y)9则PN=(10-xt-2-y)9A(2. -1)D.(l, 2)BC7,6)C.(6.7)MP=(x+2, y-7),一 一10A*=X+2, :PN=MP,即I2y=y7,6已知平行

7、四边形OABC.其中0为坐标原点，若A(2J), 5(13),则点C的坐标为_答案(一1,2)解析 设点C的坐标为(x, y)9则由已知得OC=AB.所以(x. y)=(1,2)7已知A(20),a=(x+3*3y5),若a=OA9其中0为原点则x=答案一1一2&已知平而上三点A 一4), B(0,6), C(一&10),贝ijAC+fiC的坐标是_ 答案(-18,18)解析AC+BC=(-8-2J0-(-4)+(-8-0J0-6)=(一10,14)+(一&4)=(一1&18) 9.在平而直角坐标系xOy中，向量a, b, c的方向如图所示，且01=2, 1洌=

8、3, lcl=4,分别计算岀它们的坐标.解设a=(a9“2)，b=(b,加),C =(CI, C2),则ui = lalcos 45=2平=迈，解析由题意知11Y=4,入+3=2,x3y5=O.芈=迈,bi=bcos 120=3Xb2=lblsin 12O=3X ci = lclcos(30)=4 X =2羽,(_8=-2-因此a=( cos0=3,又Ta,匪(一务亂-2=4；.,14._将向呈：4=(一2萌，一2)绕坐标原点逆时针旋转120。得到向量，则的坐标为_ 答案(2萌，-2)解析 易知a与x轴正半轴的夹角为150。，逆时针旋转120。得到向量在第四象限，与x轴正半轴夹角为30。，=(2 -2).15.已知平面上三点的坐标分别为A(2,1), B(1,3), C(3, 4),求点D的坐标，使这四点 构成平行四边形的四个顶点.解设D(x, y),当平行四边形为ABCD时，由廿=(1,2), DC=(3-x.4-y),且觞=氐，