MATLAB在数值分析中的应用

1、1牛顿插值代码%1-1 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x,yx=-1:0.2:1;y=1./(1+9.*x.2);%读取插值维数n = length(x);%定义需要的变量c(1:n) = 0.0;syms t;f = y(1);y1 = 0;l = 1;%循环生成插值多项式for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; %化简 f = collect

2、(f); f = vpa(f, 6);end%输出ff%画图sym p;q=1/(1+9*p2);ezplot(q,-1,1)%标题hold onezplot(f,-1,1)title('牛顿插值 someone （ID）') 牛顿插值运行截图：三次样条插值代码%1-1 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x0,y0x0=-1:0.2:1;y0=1./(1+9.*x0.2);yy=spline(x0,y0);%读取插值维数n=length(x0);%创建符号变量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3

3、+yy.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三次样条插值与原图过于相似，为避免重合，分列在两张图里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('someone （ID） 三次样条') hold on axis(-1 1 0 1)endy=1/(1+9*x2);subplot(2,1,2)ezplot(y,-1,1);title('someone （ID） 三次样条')三次样条插值截图因三次样条插值与原图过于相似，为避免重合，分列在

4、两张图里面2二次勒让德逼近代码%2 homework of someone （ID）%定义逼近原始函数%创建符号变量xsyms x;%定义目标函数,并作等值变换使得自变量的区间为-1,1azf=sin(0.5*pi+0.5*pi*x);%定义逼近次数n=2;%定义Legender多项式f1=1 x 1.5*x2-0.5;%通过循环依次计算系数for i=1:n+1 g(i)=f1(i)*f; temp(i)=int(g(i),-1,1); a(i)=(2*i-1)*temp(i)/2;end%累加得出插值多项式pf=0;for i=1:n+1 pf=pf+a(i)*f1(i);end%化简，取

5、六位有效数字pf=simplify(pf);pf=vpa(pf,6);ezplot(pf,0,1)hold onezplot(f,0,1)title('someone （ID） 逼近')二次勒让德逼近截图3-1牛顿插值代码：%3-1 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x,yx=-5:5;y=1./(1+x.2);%读取插值维数n = length(x);%定义需要的变量c(1:n) = 0.0;syms t;f = y(1);y1 = 0;l = 1;%循环生成插值多项式for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j

6、)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; %化简 f = collect(f); f = vpa(f, 6);end%画图syms p;q=1/(1+p2);ezplot(q,-5,5)%标题hold onezplot(f,-5,5)title('牛顿插值 someone （ID）')牛顿插值截屏：3-2拉格朗日插值代码：%3-2 homework of someone （ID）%创建插值原始数据p=0:20;x=5*cos(2*p+1)*

7、pi/42);y=1./(x.2+1);%创建符号变量syms t;n = length(x);f = 0.0;%循环生成基函数，分两段以绕过xi=xjfor(i = 1:n) l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(j = i+1:n) l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l;%化简 simplify(f);end; %将插值多项式展开f = collect(f); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数f = vpa(f,6); %输出ff%画图 ezplot(f,-5

8、,5);%标题title('拉格朗日 someone （ID）')hold onsyms s;q=1/(s2+1);ezplot(q,-5,5)拉格朗日插值截图3-3分段线性插值代码：%3-3 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);%读取插值维数n = length(x0);%生成符号变量xsyms x;%循环生成每段直线for i=1:n-1;%斜率 k=(y0(i)-y0(i+1)/(x0(i)-x0(i+1);%生成插值函数 y=k*(x-x0(i)+y0(i);%画图 ezplot(y,

9、x0(i),x0(i+1);%设置坐标轴 axis(-5 5 0 2); hold onend%画原图syms p;p=1/(1+x2);ezplot(p,-5 5);title('someone 分段线性 （ID）');分段线性插值截图3-5三次保形（埃尔米特）插值代码：%3-4 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);yy=pchip(x0,y0);%读取插值维数n=length(x0);%创建符号变量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3+y

10、y.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三保形条插值与原图过于相似，为避免重合，分列在两张图里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('someone （ID） 三次保形') hold on axis(-5 5 0 1)endy=1/(1+x2);subplot(2,1,2)ezplot(y); axis(-5 5 0 1)title('someone （ID） 三次保形')三次保形（埃尔米特）插值截屏：3-5三次样条插值代码

11、：%3-5 homework of someone （ID）%创建插值原始数据x0,y0x0=-5:5;y0=1./(1+x0.2);yy=spline(x0,y0);%读取插值维数n=length(x0);%创建符号变量xsyms xfor i=1:n-1 y=yy.coefs(i,1)*(x-x0(i)3+yy.coefs(i,2)*(x-x0(i)2+yy.coefs(i,3)*(x-x0(i)1+yy.coefs(i,4);%因三次样条插值与原图过于相似，为避免重合，分列在两张图里面 subplot(2,1,1) ezplot(y,x0(i),x0(i+1) title('so

12、meone （ID） 三次样条') hold on axis(-5 5 0 1)endy=1/(1+x2);subplot(2,1,2)ezplot(y); axis(-5 5 0 1)title('someone （ID） 三次样条')三次样条插值截屏：因三次样条插值与原图过于相似，为避免重合，分列在两张图里面4图像放大原理思路在进行图像放大处理时，需要把原有的像素点拆开，在原有的像素点之间插入新的像素点，并计算新的像素点的颜色，为保证图片比例协调，一般对其纵横两向同时放大，此时如果在图片中取出一个3*3像素大小的矩阵，则其四角的元素为已知的。其余元素均为未知。（如图

13、所示）如何计算出上述图示的未知量是图像放大算法成功的关键，可以采用双线性插值的方法进行计算，也即在行方向和列方向分别进行一次线性插值，具体的流程为：步已知像素点可求像素点11,1,1,31,213,1,3,33,221,1,3,12,121,2,3,22,221,1,3,22,3图像放大代码%4 homework of someone （ID）%读取图片“4像素.jpg”到矩阵AA=imread('C:UsersEdimionDesktop学习文档4像素4像素.jpg');%读取图片的大小a,b,c=size(A);%创建放大后尺寸在矩阵 B=zeros(2*a-1,2*b-1

14、,c);%通过循环语句把原来图片中的像素点间隔布置到放大后的矩阵中去for i=1:c; for j=1:a; for k=1:b; B(2*j-1,2*k-1,i)=A(j,k,i); end endend%首先对行进行线性插值for i=1:c; for j=1:2*a-1; for k=1:b-1; B(j,2*k,i)=0.5*B(j,2*k+1,i)+0.5*B(j,2*k-1,i); end endend%然后在列方向插值for i=1:c; for k=1:2*b-1; for j=1:a-1; B(2*j,k,i)=0.5*B(2*j-1,k,i)+0.5*B(2*j+1,k,

15、i); end endendimwrite(B,'C:UsersEdimionDesktop学习文档4像素4像素-big.jpg')imshow('C:UsersEdimionDesktop学习文档4像素4像素-big.jpg')%为保证运算速度，使用了较小的图片（4*4像素，放大为7*7像素），原理和效果已经很明确。截图过小请老师见谅运行结果说明原图像的矩阵：val(:,:,1) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 255 0 0 255 255 0 0val(:,:,2) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 2

16、55 0 0 255 255 0 0val(:,:,3) = 0 0 255 255 0 0 255 255 255 255 0 0 255 255 0 0放大后图像的矩阵：val(:,:,1) = 0 8 0 255 255 254 255 16 6 0 255 236 251 246 0 0 9 255 255 255 250 255 255 255 246 255 226 248 255 245 255 255 0 13 18 250 255 255 246 0 0 0 255 254 241 252 12 10 0val(:,:,2) = 0 8 0 255 255 254 255 16 6 0 255 236 251 246 0 0 9 255 255 255 250 255 255 255 246 255 226 24