高三数学思想方法专题讲义(绝对精品)

1、平果二中高三数学思想方法专题讲义1、函数与方程的思想1若是奇函数，求a的值2若，求证方程至少有一个正根，且不超过ab3已知为偶函数，当x0时，求的值4已知，求的最大值5已知，求的值6设函数（a，b，cZ）是奇函数，且1，上单调递增，求a，b，c之值7设（1）判断函数的单调性；（2）若反函数为，证明方程0有唯一解；（3）若，求x的取值范围8等差数列 的首项，前n项和为，若（lk），问n为何值时，最大？9已知x，y，z三个实数满足，y，z1，证明：10已知a，b，c，d为实数，且满足，求证；11设是定义域为R的单调奇函数，且有，若，求实数k的范围12已知是定义在（，0）（0，）上的偶函数，当（0，

2、）时，当（，0）时，试解不等式13已知函数的值域为0，1（1）求b，c的值；（2）求证：14奇函数的定义域为R，当时，（1）求在R上的解析式；（2）若a，b（ab），函数的值域为，试确定a，b之值15已知关于x的实系数二次方程有两个实根，证明：（1）如果，那么且；（2）如果，且，那么，（1993年全国高考）2、分类讨论的思想1设a，b是不等于1的正常数，R，求的定义域2解关于x的不等式：3设（，），求使y为负值的x的取值范围4设0，对于的任意一个值，不等式恒成立，求实参数k的范围5已知a，b，c，d是空间四条直线，如果，bc，ad，bd，那么（ ）Aab或cd Bab，cd Ca，b，c，d中

3、至多有一对直线互相平行Da，b，c，d任何两条直线都不平行6设P和Q是棱长为a的正方体表面上的两点，求的最大值7已知数列，都是由正数组成的等比数列，公比分别为p，q，其中，且，设，为的前n项和，求8从甲、乙、丙、a、b、c、d七个人中选五人排成一排，其中甲不在排首，乙不在排尾，丙不在中间的排法有多少种？9求函数（0，）的最大值和最小值10求一定点M（m，0）到椭圆的动点P的最短距离已知直线和抛物线，点A位于直线上，问抛物线上哪一点与点A的距离最近？3、数形结合的思想1设，a，bR，且ab，求证：2求下列函数的最值：（1）的最小值；（2）的最大值3对于满足的实数p，使得恒成立，求x的取值范围4已

4、知，求的最值5讨论方程有相异实根的个数6已知，求证：7已知等差数列的第p项为q，第q项为P（），求它的第项和第项8求证：9在ABC中，已知a10，cb8，求证：10设C，R，且，求证：为纯虚数11已知，求12已知u，v，是正数，且，求的最小值13求函数的值域14已知，求证：15设定点M（3，4），动点N在圆上运动，以OM，ON为两边作MONP，求P点的轨迹16已知表示两曲线有公共点，求半径r的最值17当m，a，b满足什么条件时，椭圆（，）与抛物线有四个交点？4、 等价转化的思想1已知x，y R，且满足方程求下列各式的最小值：（1）；（2）2集合Ax ，B ，C ，当a取什么实数时，且同时成立3

5、解方程：4在ABC中，且最大角与最小角之差为90，求证它的三边之比为（）（）5如果a，b，cR，并满足，求的最值6设四面体的每组相对棱的长分别为a，b，c，求此四面体的体积7已知a，b，x，yR，且，求证：8若，求的范围9若ABC的三个内角，A，B，C满足，求证：ABC是等腰三角形115个不同的红球和2个不同的白球排在一个圆周上，使2个白球不相邻有几种排法？12已知，求证x，y，z中至少有一个等于01、函数与方程的思想参考答案一、1提示：由，解得2设，则在（，）上连续，且又，若，则就是方程的根，若，又，故在（0，）内至少存在一个，使得3提求：令，则， ，又， 4由已知得，令，10， 在，1上单

6、调减少，在1，10上单调增加，而， 因此最大值为5令，则，与已知条件联立，解得，由，整理得，解得6 为奇函数，解得由，得又，a，b，cZ， ，7（1）的定义域为，设，可以证明，在（2，2）上是减函数， 在（2，2）上是减函数（2） 为减函数，由与有相同的单调性知，也为减函数， 0有唯一解，且解为（3） ，且为减函数，不等式， 解得，或8设， ， 依二次函数图象为开口向下的抛物线及知，当时，最大，由于N，因此，当为偶数，时，最大，当奇数，时，最大9令，（0，1）， ，又为一次函数， 在（0，1）内恒为负10由条件知，故a，b是方程的两个实根，由，知故 11 为奇函数，又定义在R上， 又，且为单调

7、函数，则可知为单调减函数由，则，即，由，解得12当（，0）时，（0，）， 为偶函数， 由0 13（1）设，由题意知y1，3，由，知的解集为 ，（2）设，写为分段函数的形式易知t的值域为，当，时， 在，上为增函数， 的值域为，从而， 当，时，同样成立14（1）（2）由题意知，因此只需讨论a，b均为正数即可（同为负时添“一”即可）有下列三种情形（由（1）的增减性），、无解，由得，又奇函数， a，b的另一组解为，15（1）设，根据根与系数关系知又二次函数的开口向上， 即（2）由，得 ， （*）由此可见，的每一个实根或在（2，2）内或在（2，2）之外，若两根、均在（2，2）之外，与4矛盾；若（或）在（

8、2，2）之外，另一根（或）必在（2，2）之内，与（*）式矛盾由此可知，、均在（2，2）内，即，2、分类讨论的思想参考答案1提示：若，当时，R；当时，若，当时，R；当，若，当时，R；当时，2当时，；时，原不等式变为时，。时，或时，或4由知，即 ，两边取对数得当时，当时，当时，R5提示：设（0，1，），就k的取值分类：（1）（2）（3）解（1）、（2）、（3），然后并起来，k的取值范围是6（1）若a，b相交，则可确定一平面，由，cd（2）若ab，c与d的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面（3）若a，b异面，由，c与a，b的公垂线平行或重合，同理d与a，b的公垂线平行或重合因此cd综上所

9、述，四条直线中必有一对相互平行，故选A7（1）当P，Q两点在同一平面上时，（2）当P，Q分别在相邻和两个面上时，（3）当P，Q分别在相对的面上时，因此，的最大值为8 ， （1）当时， ，分子、分母同除，得 （2）当时，有9可分为三大类：首位是乙，首位是丙，首位是a，b，c，d（1）若首位是乙，中间可排甲，a，b，c，d中选一人，共，再排末位，是在甲a，b，c，d这4人加丙选一，共有，因此共有（种）（2）仿（1）也有（种）（3）首位数取a，b，c，d中任一个，以丙在末位、丙不在末位分为两类：分别有（种）、（种）综上所述，满足条件的排法共有（种）13，（1）若时，当，即时，；当，即时，（2）若，因

10、1，1，则当，即时，；当，即时，14， ， 当时，；当时，；当时，15设A（2，a），抛物线上点M（，t）（），则（1）当时，此时，M的坐标为（，）或（，）（2）时，此时M点的坐标为（2，0）3、数形结合的思想参考答案1将，分别看做两直角三角形的斜边，于是可以构造图21设RtPOA中，PO1，OAa，则PA在RtPOB中，OBb，则在PAB中，于是可得（当结论一样成立）2（1）提示：配方得，可视为P（x，0）分别与A（，），B（，）这两点的距离之和由于A，B分别位于x轴的上方和下方，显然当P在A，B连线与x轴交点时最短，最小值为（2）提示：配方得，可视为P（x，0）分别与A（1，5），B（3，

11、2）的距离之差的最大值，由于A，B位于x轴的同旁，由几何知识知，P在AB与x轴交点的位置上，最大，最大值为，直线AB的方程为令，得故点P位于（，0）时，3原不等式整理成>0，设可视为p的一次函数，由图象可知，在0，4恒大于零，只需用即或4，因此，u表示单位圆上的点z与点A（2，）的距离的2倍由几何知识知，分别是最小值、最大值，即，5提示：在同一坐标系中作出和的图象如图，从图象可以看出：当，时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；当时，方程有四个不同的根；当时，方程没有根6设数轴上三点A，P，B的坐标分别为1，1，则 ， 即P是AB的内分点，于是即7由等差数列的通项公式，得点（n

12、，）在直线上设A（p，q），B（q，p）是平面直角坐标系中的两点，则AB的直线方程为，即 点（n，）在这条直线上， 于是，8提示：设A（，），B（，），C（，），则原式左边右边9如图，以线段BC的中点O为原点建立直角坐标系， ，, A（，）在双曲线的右支上从而，由焦半径公式得， ， 10在复平面内，z，a，a所对应的点分别为P，A，B， ，故P不可能在坐标原点，即AB的中点又R， A、B在实轴上动点P的轨迹为线段AB的中垂线除去AB的中点P点的轨迹为虚轴（除去原点）z为纯虚数11设A（，），B（，），则A，B在单位圆上，连结AB若C是AB的中点，则点C的坐标为（，），连结OC，则OCAB设D（

13、1，0），连结OA，OB，则有DOA，DOB，DOC，tgtgDOC，12如图，在平面直角坐标系xOy中，设点（u，2），B（v，1），则，而，即，等号成立条件，即，时成立故13令，原函数为（），设，则 方程表示斜率为的直线，方程表示四分之一圆原问题转化为过圆上的点，求中直线截距的取值范围如图，过圆上的点（0，）时，截距最小，当直线与圆相切时，其截距最大，即解得 14如图，在RtACB中，ABm，BCn，则 又 ， ，即 由、知，16如图，设P点所对应的复数为，M所对应的复数为，N所对应的复数为， ， 即， ， 但点M，O，N共线时，不能构成平行四边形，由与，解得，；，因此，所求轨迹为圆，但应

14、除去两点（，），（，）17将方程化为标准形式，它表示中心在（0，0），长半轴为2且在x轴上，短半轴为1的椭圆而方程表示圆心在A（4，0）的同心圆系，如图，可知当时，两曲线有公共点即，18由消去x，得要使两曲线有四个交点，方程在（b，b）内有两个不同的实根由于函数为开口向上的抛物线，而对称轴方程为因此，有即两曲线有四个交点的充要条件为，且4、等价转化的思想参考答案1（1）把原方程配方，得 ， （2）原方程配方，得，由（1）知而xy在，上为增函数， xy的最小值为2 B2，3，C2，4，要使成立，与4都不是方程的解；要使，3是方程的解，即 ，或当时，A2，3，不满足，故舍去；当时，A3，5，合题意

15、，故为所求3原方程可化为，此方程的解等价于双曲线的右支与直线的交点的横坐标，解得大于或等于4时的解为故原方程解为4已知等式设最小角为，则三个内角的大小顺序为， abc（），由，得 平方得因此，是方程的两根，解此方程得，（ ） 5设P的坐标为（a，b），则点P满足方程设Q的坐标为（c，d），则点Q满足，若两圆的连心线分别交圆两圆于A，B，C，D，如图，的最大值为，最小值为，6如图，将四面体“装入”它的外接长方体内，使得长方体相邻的三个面的对角线长分别等于四面体各组棱长设长方体的长，宽，高分别为x，y，z，则，由、解得， 7所证问题可转化为点（a，b）与（x，y）间的距离，已知点（a，b）在：上，点（x，y）在：上，且，因平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线的距离， 8 ， ，可看做圆上的动点，P（x，y）到二定点A（3，4），B（3，4）的距离之和，而A，B又在圆上，因此，当P与A或B重合时，为最