空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间向量的正交分解及其坐标表示（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共30分）1.如果向量a, b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（）A. a与b共线B. a与b同向C.a与b反向D.a与b共面2. （2013石家庄高二检测）设向量a, b, c不共面，则下列各组向量可作为空间的 一个基底的是（）A. a+b, b-a, aB. a+b, b-a, bC. a+b, b-a, cD. a+b+c, a+b, c3. （2013珠海高二检测）在平行六面体ABCD-AbCD中,M是上底面对角线AC与BD的交点，若错误!未找到引用源。二线错误!未找到引用源。二b,错误!未找到引 用

2、源。二c,则错误!未找到引用源。可表示为（）A.错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+cB.错误!未找到引用源。/错误!未找到引用源。b+cC.-错误!未找到引用源。a-错误!未找到引用源。b+cD.-错误!未找到引用源。泸错误!未找到引用源。b+c4.在正方体ABCD-ABCD中，若点F是侧而CDDC的中心，且错误!未找到引用源。 二错误味找到引用源。+m错误味找到引用源。-n错误味找到引用源。，则（）A.沪错误!未找到引用源。，n二-错误!未找到引用源。B.沪-错误!未找到引用源。，n二-错误!未找到引用源。C.HF-错误!未找到引用源。，n二错误!未找到引用源。D.HF错误!未

3、找到引用源。，n二错误!未找到引用源。5. （2013大理高二检测）平行六面体ABCD-AtBtCiD：中,M为AC和BD的交点，若错误!未找到引用源。二a,错误!未找到引用源。二b,错误味找到引用源。二c,则下列式子中与错误!未找到引用源。相等的是（）A.-错误!未找到引用源。沪错误!未找到引用源。b+cB.错误！未找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+cC.错误!未找到引用源。a-错误!未找到引用源。b+cD.-错误!未找到引用源。叶错误味找到引用源。b+c6.如图,在空间四边形0ABC中，己知E是线段BC的中点,G是AE的中点，若错误!未找到引用源。，错误味找到引用源。，错误味找到引用

4、源。分别记为a, b, c,则用a, b, c表示错误!未找到引用源。的结果为错误!未找到引用源。二_7.正方体ABCD-AbCJX中，点E, F分别是底面AG和侧面CD】的中心，若错误!未找到引用源。+入错误!未找到引用源。二0（入GR）,则入二_.填空题（每小题8分，共24分）5. （2013大理高二检测）平行六面体ABCD-AtBtCiD：中,M为AC和BD的交点，若错8. （2013唸华高二检测）已知正方体ABCD-AbCD的棱长为1, E, F分别是棱BB：,DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则向量错误!未找到引用源。的坐标三、解答题（9题，10题14分,11题18分）9.己

5、知矩形ABCD, P为平面ABCD外一点，且PA丄平面ABCD, M, N分别为PC, PD上 的点，且错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。二 错误!未找到引用源。，求满足错误!未找到引用源。二x错误!未找到引用源。+y错误!未找到引用源。+z错误!未找到引用源。的实数x, y,z的值.10.已知正方体ABCD-AtBiCr的棱长为1,点E,F分别在 线段ADAC上， 且EF丄AJ） ,EF丄AC,以点D为坐标原 点,DA, DC, DD】分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐 标系（如图所示）.试求向量错误!未找到引用源。的坐标.求证:EFBD“11.（能力挑战

6、题）如图，在梯形ABCD中，ABCD,ZADC二90 , AB二2, DC二3, AD二1, E是DC上一点， 且DE=1,连接AE,将ADAE沿AE折起到ADAE的位置，使得ZDAB二30，设AC与BE的交点为0.C二-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错试用基向量错误味找到引用源。，错误味找到引用源。，错误味找到引用 源。表示向量错误!未找到引用源。.求直线0必与BC所成角的余弦值.答案解析1.【解析】选A.根据题意向量a, b与任何向量都共面，所以只有在a, b共线的条 件下才有可能.2.【解析】选C.由已知条件及向量共面定理，易得a+b, b-a, c不共面，故可作为 空间的

7、一个基底.3.【解析】选D.结合图形，根据三角形法则和平行四边形法则计算得错误!未找 到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）二-错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。a+错 误!未找到引用源。b+c.【举一反三】若把条件错误！未找到引用源。二c改为错误!未找到引用源。二c,则结论如何？【解析】如图，错误!未找到引用源。二错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。+错误!

8、未找到引用源。-错误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。(错误!未 找到引用源。+错误!未找到引用源。)二-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。a-错误!未找到引用源。b+c.4.【解析】选A.错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误! 未找到引用源。)二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误！未找到引用源。二错误!未 找到引用源。+ni错误!未找到引用源。-n错误!未找到引用源。，错误!

9、未找到引用源。二错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。二错误!未 找到引用源。，m二错误！未找到引用源。，n二-错误!未找到引用源。.5.【解析】选A.+ (A11)- /1A A11) AiA)=Ai A i (A:/AAi + -y (A 1)I)2AiA)=AiAi ” +11)= a-c.6.【解析】连接0E.错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）+错误！未找到引用源。二错误！未找到引用错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。）-错误!未找到引

10、用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）二错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。+错 误!未找到引用源。）-错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。）+ （错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。） 二错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）-错误!未 找到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2错误!未找到引用 源。） 二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二错误!未 找到引用源。a+错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c.答案:错误!未找到引用源。a+错误!未找到引用源

11、。b+错误!未找到引用源。c7.【解题指南】通过向量的运算与代换，把错误!未找到引用源。用错误!未找到引用源。表示，可求得入.【解析】如图，连接AG,CD则E在AG上,F在GD上，易知EF二错误!未找到引用源。AD错误!未找到引用源。+入错误!未找到引用源。二0,入二-错误!未找到引用源。.答案:-错误!未找到引用源。【变式备选】如图所示，已知ABCD-ARCD是平行六 面体，且错误！未找到引用源。二a,错误！未找到引用 源。二b,错误！未找到引用源。二c,且错误！未找到引 用源。二错误!未找到引用源。，用a,b,c表示以下向 量：（1）错误!未找到引用源。.（2）错误!未找到引用源。.【解析

12、】错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未 找到引用源。=_a+b+c.（2）错误！未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 （错误!未找到引用源。 +错误!未 找到引用源。 ）二a-错误!未找到引用源。b+错误!未找到引用源。c.8【解析】由图易知E（1,1,错误!未找到引用源o）,F（0,错误!未找到引用源o,0）,错误!未找到引用源。二（7,-错误!未找到引用源。，-错误!未找到

13、引用源。） 答案错误!未找到引用源。，-错误!未找到引用源。）9.【解题指南】解决本题可以结合图形，从向量错误!未找到引用源。出发，利用 向量的运算法则不断进行分解，直到全部向量都用错误！未找到引用源。，错误!二错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。未找到引用源。，错误!未找到引用源。表示出来，即可求出x,y,z的值.【解析】方法一:如图所示，取PC的中点E,连接NE,则错误!未找到引用源。二错误！未找到引用源。-错 误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。二错误！未找到引用源。二错 误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用

14、源。二错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。，连接AC,则错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。二-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。（错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。）二-错误!未找到 引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。，x二-错误!未找到引用源。，y二-错误!未找到引用源。，z二错误!未找到引用源。.方法二：如图所示，在PD上取一点F,使PF : FD二2 : 1,连接MF,则错误!未找到引

15、用源。二错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。，而错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。二-错误! 未找到引用源。，错误！未找到引用源。二错误！未找到引用源。-错误!未找到引用源。DD二错误!未找到引用源。 二错误!未找到引用源。 （错误!未找到引用源。 -错误!未 找到引用源。 ） ，错误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误！ 未找到引用源。.x二-错误!未找到引用源o ,y=-错误!未找到引用源。，z二错误!未找到引用源。. 方法三:错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。二错 误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。二错误

16、!未找到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）-错误!未 找到引用源。（错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）二-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。（-错误！ 未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。）二-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。x二-错误!未找到引用源。，尸-错误!未找到引用源。，z二错误!未找到引用源。.10.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底，并用单位正交基底表示向量 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，从而使问题得解.【解析J（1）V正方体ABCD-ABCQ的棱长

17、为1,根据题意知错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。为单位正交基底，设错误!未找到 引用源。二i,错误!未找到引用源。二j,错误!未找到引用源。二k,向量错误!未找 到引用源。可用单位正交基底i,j,k表示，错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。，错误!未找 到引用源。与错误!未找到引用源。共线,错误!未找到引用源。与错误!未找到 引用源。共线，.设错误!未找到引用源。二入错误!未找到引用源。，错误!未找 到引用源。 二u错误!未找到引用源。 ， 则错误!未找到引用源。 二入错误!未找到 引用源。+错误！未找到引用源

18、。+U错误！未找到引用源。二入(错误！未找到引用源。+错 误!未找到引用源。)+错误!未找到引用源。+卩(错误!未找到引用源。-错误!未 找到引用源。)二(入+U)错误!未找到引用源。+(1-u)错误!未找到引用源。+入 错误!未找到引用源。=(X +u)l+(1-R)j+Xk,EF丄ADEF丄AC,即错误！未找到引用源。丄错误！未找到引用源。，错误!未找 到引用源。丄错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。二0,错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。二0,又错误!未找到引用源。=-i-k,错误!未找到引用源。二-i+j,.r | (A I /)z I (1/)j - Xk ( i k) =0M丨(-/+j)= o整理得错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。.错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。汁错误! 未找到引用源。j-错误!未找到引用源。k错误!未找到引用源。的坐标是(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，- 错误!未找到引用源。)错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二-i-j+k,错误!未找到引用源。二-错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。与错