4潮安区凤凰中学黄海滨

1、高考复习中立体几何常见的几个技巧问题潮安区凤凰中学 黄海滨摘要： 在高考立几复习中，求线线、线面、面面位置关系及角与距离等问题，都是高考常考点。不管题型怎么变化，在立几这些常考点复习中应注意割补思想，把不规则图形转化为规则图形；应注意利用降维思想，把立体问题转化为平面问题来解决；应注意位置变换在立体几何中的应用；应善于结合实际问题联想构造以正方体、长方体、四面体、棱柱等特殊几何体为载体来建立空间图形的位置关系，简捷、快速解决立体几何问题。 正文：随着高考制度改革的不断深化，高考科目设置和各科题型也在不断变革和完善，这给参加高考复习的所有考生和教师带来了诸多不便，而立体几何又是数学学科在高考试题

2、题型变革的试验田，每次高考数学试题题型变革都是从立体几何开始的。因此，在立几复习中总有题型难以把握之感，然而，不管题型怎么变化，求线线、线面、面面位置关系及角与距离等问题，都是高考常考点。因此，在立几这些常考点复习中应注意哪些常见的技巧问题呢？下面谈谈一些点滴体会。一、割补技巧所谓割补，就是将一个图形从某一处移往他处，其面积或体积保持不变，或将一个图形割为数块，再重新拼接，得到的新图形的面积或体积保持不变，这就是割补的思想方法。割补法重在割与补，巧妙地对几何体实施割与补，能变整体为局部，化不规则图形为规划图形，然后再利用熟知的方法处理则可。通常有“补台体为锥体，补锥体为柱体，扶斜柱体为直柱体，

3、分割多面体为四面体”等规律可循，但是它却很重要，致使现在一些数学家称它是“出入相补原理”。解决一个问题，是割是补？这要看问题的性质。也要讲究如何割补，不要盲目行动，否则就会导致麻烦，使问题复杂化，使得其反，甚至问题还不能解决。立体几何中需得三棱柱补成平行六面体，将三棱锥补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱锥等等这些我们很熟悉，其实，割补法不仅仅使用于立体几何，在数学的其它方面使用割补法也很多，比如运算中的添项减项，考虑问题的对立面等等均可视为割补法。因此，割补法不只是一种方法，还可上升为一种数学思想。例1：已知三棱锥P-ABC中，已知PABC，PA=BC=L，PA，BC的公垂线段ED=h求证三棱锥P

4、-ABC的体积V=L2h （摘自87年全国高考试题）解题分析：在面ABC和面BPC内，分别连结AD和PD，易证得BC面PADVP-ABC=VB-APD+VC-APD=SAPD·BD+ SAPD·CD=SAPD·BC= L2h评注：利用割补法，把一个三棱锥分割成二个小三棱锥，在原图形中易找出两个小三棱锥的高及底面积，化繁为简，化难为易。例2：已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都为a，求对角线A1B与B1C所成的角的余弦值。解题分析：求异面直线所成的角，就是把它们的某一支或两支进行平移动到一个平面内，然后求这个面内的两条相交直线所成的角。在本题中，任何一支都难

5、以进行平移而转化为相交直线，这时，可把正三棱柱以面A1C为相接面，补接一个同样大小的棱柱，则得到的几何体是一个底面为菱形的直四棱柱ABCD- A1B1C1D1，所以求异面直线A1B与B1C所成的角转化为求B1C与 CD1所成角，易求得余弦值是。本题的突破点：将正三棱柱补成四棱柱。又辟如，书中在求斜棱柱的侧面积或体积时，可先作柱体的直截面，把分割出来的两个几何体拼接成一个直棱柱，而它的面积或体积保持不变，这时S斜棱柱侧=C直L1，V斜柱侧=S直L。（C直，S直分别表示斜柱体的直截面周长或面积，L表示斜柱体的侧棱长）又辟如，在求台体体积时，根据台体性质，常把台体各侧棱延长，补成一个锥体，这时，台体

6、的体积：V=VP-ABC-VP-A1B1C1。当然，割补技巧应用很多，这里不一一罗列。二、展开以直代曲的技巧空间图形展开是将立体几何问题转化为平面几何问题的一种常用的技巧。在推导圆柱，圆锥，圆台侧面积公式时，就是将其侧面展开，转化为长方形，扇形，扇环的一部分而得到解决的，这就是一种以直代曲的思想。辟如在立几中若求空间图形中不共面的两点的最短的距离问题，单从图形上很难辨别，因为有的折线，有的曲线，这时往往是将多面体或旋转体沿其侧棱或母线展开转变为平面图形，把空间图形的折线，曲线转化为平面图形中的直线来求解。例3：设圆台的上下底面半径分别是a和2a，母线AB=4a，从母线AB中点M拉一条绳子，围绕

7、圆台侧面转到点B，试问这条绳子应多长？解题分析：将圆台沿母线AB展开，得到其侧面展开图，故求曲面上点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点的长度即是平面图形中线段MB1的长，易求得MB1=10a。三、位置转换技巧在立体几何中，线面位置关系证明离不开转换思想，如线线平行，垂直可转化为线线平行，垂直的定义或判定，面面平行，垂直可转化为线面或线线平行，垂直的定义或判定，在这里，着重来谈一谈对多面体图形如何转换位置来求其体积的问题。例4：如图三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=3，PB=PC=4，求VP-ABC= 。解题分析：三棱锥P-ABC是一个不规则的几何体，如直接求体积，虽可求

8、得结果，但是较繁杂，属于小题大做，不符合填空题特点。根据PA，PB，PC两两垂直可把三棱锥P-ABC转换为A-PCB，这时转换后的几何体高及其底面积易求得。所以，VP-ABC=VA-PBC=AP·SPBC=·3··4·4=8四、联想构造的技巧通过题设的条件，可假设或构造出长方体，正方体，正棱锥，正棱柱等典型模型，常可化难为易，快速求解。例5：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，E和F分别为AB和AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积V1，V2的两部分，那么V1：V2= 。分析：结论中暗示V1与V2比值与棱柱的具体形状无关，于是构造三棱柱为一个正三棱柱，其底面积为4，高为1。则V=4，V1=，V2=。所以，V1：V2=7：5例6：AB，CD，EF是三条两两垂直的异面直线，BC是AB，CD的公垂线，DE是CD，EF的公垂线，FA是EF，AB的公垂线，BC=3，DE=4，FA=5，则线段AD的长是 。解题分析：根据题意，异面直线AB，CD，EF的位置关系图形不易画出来，但注意到它们之间两两垂直，异面，且公垂线段长给予定值，由此可联想到长方体中各棱之间位置关系，构造长