2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.1.2　不等关系与不等式 Word版含解析

1、12不等关系与不等式知识点一两个实数比较大小的依据 填一填任意两个实数a，b都能比较大小：如果ab>0，那么a>b；如果ab<0，那么a<b；如果ab0，那么ab；由此可知，要确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差ab与0的大小关系即可答一答1两个实数大小比较的关键是什么？提示：关键是比较实数大小方法中的代数变形知识点二不等式的性质 填一填(1)如果a>b，那么b<a；(对称性)(2)如果a>b，b>c，那么a>c；(传递性)(3)如果a>b，那么ac>bc；(不等式移项的根据)(4)如果a>b，c>0，

2、那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；(可乘性)(5)如果a>b，c>d，那么ac>bd；(加法)(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；(乘法)(7)如果a>b>0，那么an>bn(nn，n2)；(乘方)(8)如果a>b>0，那么>(nn，n2)(开方)答一答2不等式两边同乘一个实数，所得不等式方向与原不等式方向有何关系？提示：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变；不等式两边同乘一个负数，不等式方向改变；不等式两边同乘以0，不等式相等3不等式两边同除以一个实数

3、，不等式将如何变化？提示：不等式两边同除以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同除以一个负数，不等式方向改变1比较两实数大小的依据比较两实数大小的依据是：ab>0a>b，ab0ab，ab<0a<b.2不等关系与相等关系的区别(1)相等关系的一个性质是“自反性”即任何一个数量都等于它自身，也即aa，而不等关系“>”“<”不具有自反性，但不等关系“”，非严格的不等关系“”“”具有自反性(2)相等关系的另一条性质是“对称性”即ab等价于ba，不等关系“>”“<”没有对称性(如a>b不等价于b>a)，但具有“反对称性”如(a>b等价于b

4、<a)；不等关系“”与非严格的不等关系“”“”具有对称性，同时也具有反对称性(3)相等关系还有一条性质是“传递性”即如果ab，且bc，那么ac，不等关系“>”“<”与非严格的不等关系“”“”也具有传递性，但不等关系“”没有传递性(如12，且32，但22)类型一不等式性质的简单应用 【例1】适当增加条件，使下列命题成立：若a>b，则ac<bc；若ac2>bc2，则a2>b2；若a>b，则lg(a1)>lg(b1)；若a>b，c>d，则>.【思路探究】利用不等式的性质解决问题【解】c值的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc

5、的大小缺乏依据，即增加条件“c<0”；由ac2>bc2，知c0，所以c2>0，所以a>b，当a>|b|时，有a2>b2，即增加条件“a>|b|”；由a>b，可得a1>b1，但作为真数，应有b1>0，即增加条件“b>1”；>成立的条件有多种，对照不等式的性质，相关的一个是a>b>0，c>d>0，故可增加条件“b>0，d>0”规律方法 理解不等式的性质时，首先，要掌握各性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性，这对理解不等式性质具有指导作用判断下列不等式

6、关系是否正确，并说明理由(1)若>，则a>b；(2)若a>b，ab0，则<；(3)若a>b，c>d，则ac>bd.解：(1)正确c20且c2>0，在>两边同乘以c2不等式方向不变a>b.(2)错误a>b<成立的条件是ab>0.(3)错误a>b，c>dac>bd，当a，b，c，d均为正数时成立类型二比较大小 【例2】(1)已知<a<0，a1a2，b1a2，c，d.试将a、b、c、d按大小顺序排列(2)设a>0，b>0且ab，试比较aabb与abba的大小【思路探究】(1)把要比

7、较大小的几个数都用 a 表示，题目中给出了a的取值范围，不妨从中取一个值，看一看相应的a、b、c、d的值的大小，然后用作差方法比较各数大小(2)由于比较的两数为幂式形式，可以用作商法比较大小，只要比较商式与1的大小即可【解】(1)<a<0，不妨取a，则a，b，c，d.由此猜想：d<b<a<c.只需证明ca>0，ab>0，bd>0即可bd(1a2)，又<a<0，1a>0，又1<a<，<(a)2<1，故(a)2<0，>0，b>d.ab(1a2)(1a2)2a2>0，a>b.ca(

8、1a2)，又1a>0，a>0，(a)2>0，>0，c>a.综上可得a、b、c、d四个数的大小顺序是c>a>b>d.(2)()ab.当a>b>0时，>1，ab>0，则()ab>1，于是aabb>abba；当b>a>0时，0<<1，ab<0，则()ab>1，于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a，b，都有 aabb>abba.规律方法 (1)比较法有“作差比较法”和“作商比较法”，可以根据数(式)的特点灵活选用(2)第(1)题是一个开放性问题，我们利用了

9、特值法，使抽象的数学式子具体化，要解决的问题明朗化，在解选择题、应用题、开放题时常用此法(3)作差比较法的步骤为：作差；变形；判号，其中关键一步是变形(通分、因式分解、配方等)，达到判断符号的目的(4)作商比较法可以转化为与1比较大小，在含有幂式、根式、绝对值等问题中经常用到已知xr，比较(x1)(x21)与(x)(x2x1)的大小解：(x1)(x21)(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)，(x)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)，(x1)(x21)(x)(x2x1)(x2x1)x(x1)>0.(x1)(x21)>(x)(x2x1)【例3】

10、已知a>1，ploga(a31)，qloga(a21)，试比较p、q的大小【思路探究】采用作差法比较，并结合函数的单调性判断差的符号【解】pqloga(a31)loga(a21)loga，a>1，a31>a21，>1，loga>0，p>q.规律方法 解决此类问题，常常用作差法，在比较大小的过程中，常与函数的单调性相结合，把两式看作某函数的函数值，通过比较自变量的大小，来确定函数值的大小比较1logx3与2logx2(x>0且x1)的大小解：1logx32logx2logxx.(1)当即0<x<1；或当即x>时，有logxx>0，

11、即1logx3>2logx2.(2)当或即1<x<时，有logxx<0，即1logx3<2logx2.(3)当x1，即x时，有logxx0，即1logx32logx2.综上所述：当0<x<1或x>时，1logx3>2logx2；当1<x<时，1logx3<2logx2；当x时，1logx32logx2.类型三利用不等式的性质证明简单不等式 【例4】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.【思路探究】利用不等式的同向可加性和可乘方性证明不等式【证明】方法一：.a>b>0，c

12、<d<0，ab>0，cd<0，ba<0，cd<0，(ab)(cd)>0，(ba)(cd)<0.e<0，e(ab)(cd)(ba)(cd)>0.又(ac)2(bd)2>0，>0，即>.方法二：.c<d<0，c>d>0.a>b>0，ac>bd>0，(ac)2>(bd)2>0，0<<1，0<<1.又e<0，<0，>.方法三：c<d<0，c>d>0，又a>b>0，ac>bd>0

13、，(ac)2>(bd)2>0，上式两边同乘以，得<.又e<0，>.规律方法 不等式的证明通常有两种方法：(1)利用不等式的性质进行证明；(2)借助作差、作商法比较不等号两边式子的大小进行证明，具体步骤与作差或作商比较实数大小的方法步骤相同，只是要注意书写方式(1)a<b<0，求证：<；(2)已知a>b，<，求证：ab>0.证明：(1)，a<b<0，ba<0，ba>0，ab>0，<0，故<.(2)<，<0，即<0，而a>b，ba<0，ab>0.类型四不等

14、式性质的综合应用 【例5】已知1ab1,1ab3，求3ab的取值范围【思路探究】此题是给出含有字母的代数式的范围，求另外代数式的范围分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式3ab用ab和ab表示(2)利用不等式性质及题目条件确定3ab的范围【解】设3abx(ab)y(ab)(xy)a(xy)b.即3ab(ab)2(ab)1ab1,1ab3，22(ab)6，12(ab)2(ab)16，即13ab7.规律方法 此题的一种典型错误做法，如下：1ab1,1ab3，02a4，即0a2.1ab1，3ba1，42b0，即2b0.03a6,0b2.03ab8.此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系、相

15、互制约的量，而不是各自独立的，当ab取到最大值或最小值时，ab不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程已知<，求，的取值范围解：因为<，所以<，<.两式两边分别相加，得<<.因为<，所以<.所以<.又因为<，所以<0.所以<0.易错警示系列不等式性质应用不当致误利用不等式的性质判断不等关系是难点，又是考生的易误点，其易误点两个：一是在一个不等式两边同时乘以一个数或一个式子时，忽视正负号的判断导致出错二是在运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形若利用特值法就

16、可避免上述错误，并且快速解答问题，特值法就是利用特殊值代替字母参数，得出特殊结论，再对各项检验，从而做出正确的选择【例6】若<<0，则下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln a2>ln b2中，正确的不等式是()abcd【错解】a【错解分析】本题只能根据不等式的性质进行逐个判断对备选的不等式进行化简时容易因不等式的性质使用不当出错，特别是在一个不等式两端同时乘以一个数或式子时，忽视正负号的判断导致出错【正解】c由<<0，可知b<a<0.中，因为ab<0，ab>0，所以<0，>0，故有<，即正确；中，因

17、为b<a<0，所以b>a>0，则b>|a|，即|a|b<0，故错误；中，因为b<a<0，又<<0，所以a>b，故正确；中，因为b<a<0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而ylnx在其定义域上为增函数，所以ln b2>ln a2，故错误由以上分析，知正确，故选c.若a>b，c>d，则下面不等式中成立的一个是(d)aad>bcbac>bdc.>dda<cb解析：da<cb，选项d正确一、选择题1如果ar，且a2a<0，那么a，a2，a，a2的大小关系为(b)aa2>a>a2>a ba>a2>a2>aca>a2>a>a2 da2>a>a>a2解析：因为a2a<0，所以a2<a，a<a2，又由于a0，a2<a2，即a<a2<a2<a.2设a，br，若a|b|>0，则下列不等式中正确的是(d)aba>0 ba3b3<0ca2b2<0 d