2020-2021学年高二数学北师大版必修5第二章解三角形 质量评估1 Word版含解析

1、第二章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在abc中，已知a2，则bcoscccosb等于(c)a1 b. c2 d4解析：由余弦定理，得bcoscccosbb·c·a2.2已知abc中，c6，a4，b120°，则b等于(b)a76 b2 c27 d2解析：由余弦定理，得b2a2c22accosb76，所以b2.3在abc中，a60°，b1，sabc ，则(b)a. b. c. d2解析：依题意得sabcbcsin60°，得c4，由余弦定理得a，由正弦定理得.4

2、已知abc的三个内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角c的大小为(b)a. b. c. d.解析：pq，(ac)(ca)b(ba)0，即a2b2c2ab，cosc，c.5在abc中，a60°，ac16，面积s220，则bc的长为(d)a20 b75 c51 d49解析：因为sac·absina×16×ab×sin60°4ab220，所以ab55.再用余弦定理求得bc49.6在锐角abc中，角a，b所对的边长分别为a，b.若2asinbb，则角a等于(d)a. b. c. d.解析：由

3、已知及正弦定理得2sinasinbsinb，因为sinb>0，所以sina.又a，所以a.7若，则abc是(c)a等边三角形 b有一内角是30°的直角三角形c等腰直角三角形 d有一内角是30°的等腰三角形解析：，acosbbsina，2rsinacosb2rsinbsina，又2rsina0，cosbsinb，b45°.同理c45°，故a90°.8设a，b，c为abc的三边，且关于x的方程(a2bc)x22x10有两个相等的实数根，则a的度数是(c)a120° b90° c60° d30°解析：由题

4、意可知题中方程的判别式4(b2c2)4(a2bc)0，b2c2a2bc，cosa.又0°<a<180°，a60°.9在锐角三角形abc中，已知a2c，则的范围是(c)a(0,2) b(，2) c(，) d(，2)解析：2cosc，又abc，a2c，<c<，故<<.10在abc中，已知bc5，外接圆半径为5.若·，则abc的周长为(a)a11 b9 c7 d5解析：设角a，b，c的对边分别为a，b，c.由题意，得2×5，sina，a60°或120°.·，a60°，bcco

5、s60°，bc11.a2b2c2bc(bc)23bc75，(bc)2108，abc5611.11已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且b3，c1，a2b，则a(d)a4 b3 c2 d2解析：a2b，c(ab)3b，sincsin3b.由正弦定理知，sinb3sin3b，sin3bsin(2bb)sin2bcosbcos2bsinb2sinbcos2b(12sin2b)sinb2sinb2sin3bsinb2sin3b3sinb4sin3b.把代入，得sinb3(3sinb4sin3b)分析知b，sinb0，sinb，cosb，由，得a6cosb2.12如图，一货轮航

6、行到m处，测得灯塔s在货轮的北偏东15°，与灯塔s相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(b)a20()n mile/h b20()n mile/hc20()n mile/h d20()n mile/h解析：由题意可知smn15°30°45°，ms20，mns45°(90°30°)105°，msn180°105°45°30°，设货轮每小时航行x n mile，则mnx，由正弦定理，得，sin

7、105°sin(60°45°)sin60°cos45°cos60°sin45°，x20()，故选b.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13在abc中，ac，a45°，c75°，则bc的长为.解析：由a45°，c75°，知b60°.由正弦定理，得，所以bc·ac×.14在abc中，三个内角a，b，c的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccosacacosbabcosc的值为.解析：在abc中，由余弦定理，得cosa

8、，bccosa，同理accosb，abcosc，原式.15在abc中，若sabc12，ac48，ca2，则b2或2.解析：由sabcacsinb得sinb，b60°或120°.由余弦定理得b2a2c22accosb(ac)22ac2accosb222×482×48cosb，b252或148，即b2或2.16在abc中，d为边bc上一点，bddc，adb120°，ad2，若adc的面积为3，则bac60°.解析：adb120°，adc60°，又sadc×ad×dc×sinadc×

9、;2×dc×dc3，dc22.bddc，bd1，得bc33.在abd中，由余弦定理，得ab2ad2bd22ad·bd·cos120°43214(1)×6，在acd中，由余弦定理，得ac2ad2dc22ad·dc·cos60°412848(1)×2412，在abc中，由余弦定理，得cosbac，bac60°.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，(abc)·(abc)ac.

10、(1)求b；(2)若sinasinc，求c.解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cosb，因此b120°.(2)由(1)知ac60°，所以cos(ac)cosacoscsinasinccosacoscsinasinc2sinasinccos(ac)2sinasinc2×，故ac30°或ac30°，因此c15°或c45°.18(本小题12分)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sinb(tanatanc)tanatanc.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，

11、c2，求abc的面积s.解：(1)证明：由已知得sinb(sinacosccosasinc)sinasinc，sinbsin(ac)sinasinc，则sin2bsinasinc，再由正弦定理，可得b2ac，a，b，c成等比数列(2)若a1，c2，则b2ac2，cosb，sinb，abc的面积sacsinb×1×2×.19(本小题12分)如图，在平面四边形abcd中，ad1，cd2，ac.(1)求coscad的值；(2)若cosbad，sincba，求bc的长解：(1)在adc中，由余弦定理，得coscad.故由题设知，coscad.(2)设bac，则badcad

12、.因为coscad，cosbad，所以sincad，sinbad.于是sinsin(badcad)sinbadcoscadcosbadsincad××.在abc中，由正弦定理，.故bc3.20(本小题12分)在abc中，b45°，ac，cosc.(1)求bc边的长；(2)求ab边上的中线cd的长解：(1)由cosc，得sinc，sinasin(180°45°c)sin(135°c)(coscsinc).由正弦定理，得bc·sina×3.(2)由正弦定理，得ab·sinc×2.bdab1.由余弦定

13、理，得cd .21(本小题12分)如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照半圆周上的c处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是ecf，点e，f在直径ab上，且abc.(1)若ce m，求ae的长；(2)设ace，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积解：(1)由已知，点c在以ab为直径的半圆周上，所以acb为直角三角形，因为ab8，abc，所以a，ac4，在ace中，ce2ac2ae22ac×aecosa，且ce，所以1316ae24ae，解得ae1或

14、ae3.(2)因为acb，ecf，所以ace，所以afcaacf，在acf中，.所以cf.在ace中，所以ce.若要产生最大经济价值，则ecf的面积最大secfce×cfsinecf，因为，所以0sin1，所以当时，secf取得最大值，为4 m2，即种植甲种果树的面积为4 m2时，该空地产生的经济价值最大22(本小题12分)在abc中，ad是bc边的中线，ab2ac2ab×acbc2，且abc的面积为.(1)求bac的大小及·的值；(2)若ab4，求ad的长解：(1)在abc中，由ab2ac2ab×acbc2，可得cosbac，故bac120°.因为sabcab×ac×sinbac×ab×ac×sin120°，即×ab×ac×，所以ab×ac4.所以