机械优化设计试卷期末考试及答案

1、Word资料.第一、填空题1 .组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、 目标函数 、约束条 12,点处的梯度为，海赛矩阵0件 。一22222 .函数 f x1,x2x1 x2 4x1x2 5在*043 .目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣,同时必须是设计变量的可计算函数。4 .建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题,的基础上力求简洁5 .约束条件的尺度变换常称 规格化,这是为改善数学模型性态常用的一种方法。6 .随机方向法所用的步长一般按加速步长 法来确定,此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。7 .最速下降法以负梯度

2、方向作为搜索方向,因此最速下降法又称为 槿度法,其收敛速度较慢 。8 .二元函数在某点处取得极值的充分条件是f X。 0必要条件是该点处的海赛矩阵正定9 .拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成 无约束优化问题,这种方法又被称为 A维 法。10改变复合形形状的搜索方法主要有反射、扩张，收缩、压缩11坐标轮换法的基本思想是把多交!一 的优化问题转化为 单变量 的优化问题12 .在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，,另外应当尽量减少不必耍的约束。13 .目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在 n+1,空间中描述出来. 为了在n维空间中反映目标函数的变化情况

3、，常采用 目标函数等值面 的 方法。14 .数学规划法的迭代公式是 Xk1 Xkkdk其核心是 建立搜索方向,和计算最佳步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、名词解释1 .凸规划对于约束优化问题min f Xst gj X 0 (j 1,2,3, ,m)若f X、gj X (j 1,2,3, ,m)都为凸函数，则称此问题为凸规划。2 .可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。3 .设计空间：n个设计变量为坐标所组成的实空间，它

4、是所有设计方案的组合4.1. 靠度 产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率5 .收敛性是指某种迭代程序产生的序列Xk k 0,1, 收敛于limXk1 Xk6 .非劣解：是指若有m个目标fi X i 1,2 ,m ,当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个 X,使得另一个目标函数值fi X比tX ,则将此X为非劣解。7 .黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值 等于较长段与较短段长度的比值。8 .可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。9 .维修度 在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规 定的维修时间

5、t内修复完毕的概率1设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数(或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数)2、2目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的 函数，称为目标函数(或 用设计变量来表达所追求目标的函数)3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束(或对 设计变量取值限制的附加设计条件4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：x* = x1*, x2*, x3*, . . . . , xn*T

6、使该设计点的目标函数F (x*) 为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F(x*)称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值)。把 最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*)xCRns.t. g u ( x) < 0, u = 1,2,. . . ,m；hv (x) =0, v = 1,2,. . . ,p<n 称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点x* 和最优值f(x*)即构成了最优解三、简答题1 .什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩

7、罚函数法？他们适用的优化问题是什 么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有 何不同？1)内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐 步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小， 且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子， 它是由小到大，且趋近于 的数列。惩罚因子按下式递增rk crk1(k 1,2,), 式中c为惩罚因子的递增系数，通常取 c 5102

8、 .共腕梯度法中，共腕方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。1.对于二次函数，f X XTGX bTX c,从2Xk点出发，沿G的某一共腕方向dk作一维搜索，到达Xk 1点，则Xk 1点处的搜索方向d j应满足dj T gk 1 gk 0,即终点Xk1与始点Xk的梯度之差gk 1 gk与dk的共腕方向dj正交。3 .为什么说共腕梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？答：共腕梯度法是共腕方向法中的一种， 在该方法中每一个共腕向量都依赖 于迭代点处的负梯度构造出来的。共腕梯度法的第一个搜索方向取负梯度方 向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度， 也就 是对负梯度进行修

9、正。所以共腕梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。4 .写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5 .算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6 .优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。 略7 .简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特 性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向 作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索， 得到新 的X值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X, 重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。8数值计算迭代法的基本思想

10、和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的,它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。(5分)其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k剂适当白步长a(k),从而到一个新点，即：X(k+1)=x(k)+ a(k)S(k)k=0,1,2,3式中：x(k)前一步取得的设计方案(迭代点)。在开始计算时，即为迭代的初始点 x(0)；X(k+1)新的修改设计方案(新的迭代点)；S(k)第k次迭代计算的搜索方向(可以看作本次修改设计的定向移动方向)；<k)第

11、k次迭代计算的步长因子，是个数量的。三、计算题1 .试用牛顿法求f X8x； 5x22的最优解，设X010 10TO初始点为X0T10 10 ,则初始点处的函数值和梯度分别为f X01700f X016x1 4x24x1 10x2200140,沿梯度方向进行一维搜索，有X1X00 f X010102000 14010102001400为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X1 min f X0 f X0min 8 10 200 0 2 4 10 200 01014005 10 140 0 2min01060000 0 59600 0 ,从而算出一维搜索最佳步长°596001060

12、0000.0562264则第一次迭代设计点位置和函数值110X102001401.24528302.1283019f X124.4528302,从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去,便可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数f20一的极小点和极小值，设搜索区向a,b 0.2,1 （迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间 a,b 0.2,1 ,首先插入两点1和2,1b (b a) 1 0.618 1 0.20.50562 a (ba) 0.2 0.618 1 0.20.6944计算相应插入点的函数值 f 140.0626, f 229.4962 。因为f 1 f 2。所以消去区间a, 1 ,

13、得到新的搜索区问即 1,b a,b 0.5056,1。第一次迭代:插入点1 0,6944 ,2 0,5056 0.618(1 0.5056) 0.8111相应插入点的函数值f29.4962, f 225.4690,由于f 1 f 2故消去所以消去区间a, 1 ,得到新的搜索区问1，b ,则形成新的搜索区间1,b a,b0.6944,1。至此完成第一次迭代,继续重复迭代过程,最终可得到极小点。3.用牛顿法求目标函数16X2 25X2 +5的极小点，设X 0解：由XX0X1f32xi50X264100X22f X02fX122f2fX2XiX1 X22f2X23200502f X0132150因此

14、可得：X1 X02fX0X013215064100f X15,从而经过一次迭代即求得极小点0T,4.下表是用黄金分割法求目标函数f20的极小值的计算过程,请完成卜表。迭代序号a12by1比较y200.211迭代序号a12b比较y200.20.50560.6944140.0626>29.496210.50560.69440.8111129.4962>25.46905、求二元函数fl：曲鼻8F+xF也X共5在工（HO 0二处的数交叱率最大的方向司数值？ 第；由干函数变牝率昂大的方向是梯度方向,这里用单桁向量P表示函教变牝率最吉和教值是梯度的模1叮（几）。求匕心立”点处的梯度方向和数植,

15、计算却不|p=|vrM在二二平面二面出函数等值线和二（乌。）点处的梯度方向p一如图/所示.从图巾可以着出.在工.点函数变化率最大的方向p印为等值战的法线万向，也就是同心圆的半径方向.6.用共期梯度法求二次函数n宠KJ-力。2K因的极小点及极小值AT.取初始点xb -1 irMJ明沿冰方向进行一堆搜索,得餐二口其中的tXc为最佳步长，可通过f （工1）二叫1 0（媛河（出）=0求得则 为建立第二个其粗方向小，需计算一点处的梯度及系数风值，得从而求得第二个共挽方向 L 一L - 号 1八 114-（k=W：+A；d:+-=3L2J4值一再沿上遂行一维柳素，得-I"/2 广+工跖6='&%= 1 +4 3 = 1 3 一十一仪11_21_2|_2 2其中的曲为最佳步长，通过“工”=而口伙31褒（%） = 0 S'求得01=1则r计算y点处的梯度gz=Vf (r)说明£点满足极值必要条件，再根据F点的海赛矩阵G(x：2 -2-2 4是正定的，可知£满足极值充分必要条件。故为极小点，即而函数梯小值为/(/)-S U7.求约束优化何题MitiF民K工2/一(31 )*%1. hO0F 厂2的最优解丫居 该问题的纥束最优解为 = 1.6 0.21./(/) = 0."由图3la可知，约束最优点./飘月标函旗等