圆周运动典型例题分析

1、2021/8/141拓展拓展二二圆周运动典型例题分析圆周运动典型例题分析2021/8/142一水平面内的匀速圆周运动一水平面内的匀速圆周运动1.1.水平转盘模型水平转盘模型mgfNmgfNmgNfaaa N = mg f = mv2/R f = mg N = m2R f = mg N = ma2021/8/143f摩摩V 所以，汽车拐弯的安全速度是所以，汽车拐弯的安全速度是8m/s8m/s。例例1 1. .在一段半径为在一段半径为8m8m的水平弯道上的水平弯道上, ,已知路面对汽车轮胎的已知路面对汽车轮胎的最大静摩擦力是车重的最大静摩擦力是车重的0.80.8倍，则汽车拐弯时的安全速度是倍，则汽

2、车拐弯时的安全速度是多少？多少？ 解：解：) s/m(8) s/m(8108 . 0gr8 . 0v0.8mg=mv2/rf摩摩=mv2/rf摩摩2021/8/144例例2.2.如图所示如图所示, , 把质量为把质量为0.6kg0.6kg的物体的物体A A放在水平转盘上放在水平转盘上,A,A的重心到转盘中心的重心到转盘中心O O点的距离为点的距离为0.2m0.2m，若，若A A与转盘间的最大与转盘间的最大静摩擦力为静摩擦力为2N.2N.求求: :（1 1）转盘绕中心）转盘绕中心O O以以=2rad/s=2rad/s的角速度旋转的角速度旋转,A,A相对转相对转盘静止时，转盘对盘静止时，转盘对A

3、A摩擦力的大小与方向。摩擦力的大小与方向。（2 2）为使物体）为使物体A A相对转盘静止相对转盘静止, ,转盘绕中心转盘绕中心O O旋转的角速度旋转的角速度的取值范围。的取值范围。解解(1)(1)： f = mA2r = 0.6220.2= 0.48 (N)f方向：指向转盘中心方向：指向转盘中心O O解解(2)(2)： fmax mA2r) s/rad(08. 43/652 . 06 . 0/2rm/fAmax) s/rad(08. 40 的取值范围：的取值范围：2021/8/145例例3.3.用细绳一端系着质量为用细绳一端系着质量为0.6kg0.6kg的物体的物体,A,A静止在水平转静止在水

4、平转盘上盘上, , 细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O O吊着质量为吊着质量为0.3kg0.3kg的小球的小球B,B,为使小球为使小球B B保持静止，若保持静止，若A A与转盘间的最大与转盘间的最大静摩擦力为静摩擦力为2N. 2N. 求转盘绕中心求转盘绕中心O O旋转的角速度旋转的角速度的取值范的取值范围。围。OABFfmax解：解：FfmaxF + fmax = mA22r) s/rad(45. 63/1552 . 06 . 0/ )23(rm/ )fF(Amax2) s/rad(89. 23/352 . 06 . 0/ )23(rm/ )fF(Amax1F

5、fmax = mA12r) s/rad(45. 689. 2 的取值范围：的取值范围：2021/8/146例例4.4.如图所示，如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴细绳连接，当该装置绕竖直轴OO匀速转动时，两球在杆匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动，若两球质量之比上恰好不发生滑动，若两球质量之比mA mB2 1，那，那么么A、B两球的两球的( ( ) )A A运动半径之比为运动半径之比为1212B B加速度大小之比为加速度大小之比为1212C C线速度大小之比为线速度大小之比为1212D D向心力大小之比为向心力大小之比为12

6、12ABCTTA 、 B角速度相同角速度相同,向心力相同向心力相同. .分析：分析：mA2RA=mB2RB RARB = mB mA = 1 / 2vAvB = RA RB = 1 / 2aAaB = vA vB = 1 / 22021/8/147 ooGFT GFTa2.2.圆锥摆圆锥摆模型模型例例5.5.小球做圆锥摆时细绳长小球做圆锥摆时细绳长L, ,与与竖直方向成竖直方向成角，求小球做匀速角，求小球做匀速圆周运动的角速度圆周运动的角速度, ,周期周期T及线及线速度速度V。向心力向心力 F=mgtg 解：解：半径半径 r=Lsinmgtg=m2Lsin g/cosL2TcosL/gsing

7、Ltgvmgtg=mv2Lsin 2021/8/148例例6.6.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和和B紧贴着内紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则( )( )A.A.球球A的线速度一定大于球的线速度一定大于球B的线速度的线速度B.B.球球A的角速度一定小于球的角速度一定小于球B的角速度的角速度C.C.球球A的运动周期一定小于球的运动周期一定小于球B的运动周期的运动周期D.D.球球A对筒壁的压力

8、一定大于球对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力对筒壁的压力mgNFABmg/tg=mv2/r tg/grvmg/tg=m2r 解：解：rtg/gF=mg/tg N=mg/sin VAVBABTATBnAnBFA=FBNA=NB2021/8/149二竖直面内圆周运动二竖直面内圆周运动mgNvmgNaa1.1.汽车通过凹形桥汽车通过凹形桥N mg = mv2/rNmg N = mg + mv2/r发生超重现象发生超重现象2021/8/1410mgNavamgN2. 2. 汽车通过凸形桥汽车通过凸形桥Nmg mg N = mv2/rN = mg mv2/r发生失重现象发生失重现象2021/8/141

9、1例例7.7. 汽车质量为汽车质量为1000kg, 1000kg, 拱形桥的半径为拱形桥的半径为10m10m，(g=10m/s(g=10m/s2 2) )则（则（1 1）当汽车以）当汽车以5m/s5m/s的速度通过桥面最高点时的速度通过桥面最高点时, ,对桥的压力是对桥的压力是多大？（多大？（2 2）如果汽车以）如果汽车以10m/s10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥的速度通过桥面最高点时，对桥的压力又是多大呢？的压力又是多大呢？mgNfF解解(1)(1)：此时，汽车对桥的压力为此时，汽车对桥的压力为7500N7500Nmg N = mv2 / rN = mg mv2 / r = 1000(

10、10 52/10)= 7500 (N)解解(2)(2)：mgfFNmg N = mv2 / rN = mg mv2 / r = 1000(10 102/10)= 0 (N) 当汽车对桥面的压力当汽车对桥面的压力N=0时时, ,汽车达到汽车达到最大安全速度最大安全速度, ,此时仅有重力提供向心力。此时仅有重力提供向心力。2021/8/14123.3.过山车过山车, , 杂技杂技 “ “水流星水流星”例例8.8.某公园的过山车建在山坡上某公园的过山车建在山坡上, ,过山车通过半径为过山车通过半径为r r的大的大圆环，若圆环，若过山车过山车的质量为的质量为M,M,则过山车最小以多大的速度通则过山车最

11、小以多大的速度通过圆环最高点时，才不会掉下来？过圆环最高点时，才不会掉下来？MgNv 圆环对过山车的压力圆环对过山车的压力等于零，重力提供向心力等于零，重力提供向心力时，过山车达到能通过圆时，过山车达到能通过圆环最高点的最小速度环最高点的最小速度,即：即：分析：分析：当当N= 0,最小速度为最小速度为vmingrvminMg + N = Mv2/r2021/8/1413三、竖直平面内圆周运动的临界问题三、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直面内做的圆周运动对于物体在竖直面内做的圆周运动, 常分析两种常分析两种模型模型轻绳模型和轻杆模型轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：，分析比较如下：

12、在最高点时，在最高点时，没有没有物物体支撑，只能产生体支撑，只能产生拉力拉力. 轻杆对小球既能产轻杆对小球既能产生生拉力拉力，又能产生，又能产生支持支持力力.2021/8/14141.1.轻绳模型轻绳模型：最高点：最高点：最低点：最低点：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：RVmmg2临界T=0T=0，只有重力做向心力，只有重力做向心力. .RgV 临界RvmmgT211RvmmgT222T2T1mgmgV1V2O2021/8/1415Rgv Rgv Rgv （当（当 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）归纳：归纳：（1 1）小球能过最高点的临界

13、条件（受力）小球能过最高点的临界条件（受力）：绳子和轨道：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用：对小球刚好没有力的作用：Rvmmg2RgV 临界（2 2）小球能过最高点条件（运动）：）小球能过最高点条件（运动）：（3 3）不能过最高点条件：）不能过最高点条件：（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）2021/8/14162.2.轻杆模型轻杆模型 ：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：能过最高点能过最高点v临界临界0, ,此时支持力此时支持力Nmg. .Rgv0(1)(1)当当 时时： N为支持力，有为支持力，有0Nmg, ,且且N随随v的增大而减

14、小；的增大而减小；(2)(2)当当 时时：RgV 临界 N0(3)(3)当当 时时：N为拉力，有为拉力，有N0，N随随v的增大而增大的增大而增大. .Rgv mgmgNNVV2021/8/1417例例9.9.质量为质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v，当小球，当小球以以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ） A0 Bmg C3mg D5mgC mg = mv2/r解：解： mg+N = m(2v)2/r N = 3mg2021/8/

15、1418mgNV例例10.10.长度为长度为L0.5m的轻质细杆的轻质细杆OA，A端有一质量为端有一质量为m3kg的小球，如图所示，小球以的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s, ,g取取10m/s2，则此时细杆，则此时细杆OA受到（）受到（） A.6.0N的拉力的拉力 B.6.0N的压力的压力 C.24N的拉力的拉力 D.24N的压力的压力解：解： mg+N = m(v)2 / LB N= m(v)2/L mg= 3 (2)2/0.5 3 10= 6 (N)NN2021/8/141

16、9例例11.11.用钢管做成半径为用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环的光滑圆环( (管径远小于管径远小于R) )竖竖直放置直放置, ,一小球一小球( (可看作质点可看作质点, ,直径略小于管径直径略小于管径) )质量为质量为m=0.2kg在环内做圆周运动在环内做圆周运动, ,求求: :小球通过最高点小球通过最高点A时时, ,下列两种情况下球下列两种情况下球对管壁的作用力。对管壁的作用力。 取取g=10m/s2A的速率为的速率为1.0m/s(1)A的速率为的速率为4.0m/s AO2021/8/1420解：解：AO先求出杆的弹力为先求出杆的弹力为0 0的速率的速率v v0 0v0=2.25

17、m/s (1)(1)v1=1m/s v0球应受到外壁向下的支持力球应受到外壁向下的支持力N N2,2,如图所示如图所示: :AON2mg 球对管壁的作用力分别为球对管壁的作用力分别为: :对外壁对外壁4.4N4.4N向上的压力。向上的压力。 mg= mvO2 / L mgN1 = mv12 / L mg+N2 = mv22 / L得得: : N1 =1.6 (N) 球对管壁的作用力分别为球对管壁的作用力分别为: :对内壁对内壁1.6N1.6N向下的压力向下的压力; ;2021/8/1421三、三、向心加速度向心加速度实验实验向心力向心力牛顿第二定律牛顿第二定律向心加速度向心加速度1.1.动力学动力学2.2.运动学运动学运动状态的改变运动状态的改变向心加速度向心加速度向心力向心力向心力公式向心力公式: :F向向 = F合合= mr2根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律: :F合合= m a 类比类比a=r2牛顿第二定律牛顿第二