第二章,一元二次函数、方程和不等式单元测试（提升卷）（解析版）

1、第二章,一元二次函数、方程和不等式单元测试（提升卷）（解析版） 第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1 已知 0 a b + < ，且 0 a >，则（ ） ） a 2 2a ab b < - < b 2 2b ab a < - < c 2 2a b ab < < - d 2 2ab b a - < < 【答案】a 【解析】 【分析】 利用不等式的性质即可求解. 【详解】 由 0 a b + < ，且 0 a > ，可得 0 a b < <- ， 将不等

2、式的两边同时乘以 a ，可得2a ab < -， 将不等式的两边同时乘以 b - ，可得2ab b - <， 从而可得2 2a ab b < - <. 故选：a 【点睛】 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘以正数，不等号的方向不变，此题属于基础题. 2 一元二次不等式210 24 0 x x - + - <的解集为（ ） ） a ( ) 4,6 - b ( ) ( ) , 4 6, -¥ - È+¥ c ( ) 4,6 d ( ) ( ) ,4 6, -¥ +¥ 【答案】d 【解析】 【分析】 要解的不

3、等式即210 24 0 x x - + >，即 ( )( ) 4 6 0 x x - - > ，由此求得 x 的范围 【详解】 一元二次不等式210 24 0 x x - + - <，即210 24 0 x x - + >，即 ( )( ) 4 6 0 x x - - > ， 试卷第 2 页，总 18 页 6 x > ，或 4 x < ， 故选：d. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，属于简单题. 3 数 若正数 x ，y 满足 21 x y + = ，则1 2x y+的最小值为（ ） ） a 4 b 32 2 + c 8 d 9 【答案】c 【

4、解析】 【分析】 由已知可得 ( )1 2 42 2 2x yx yx y y xæ ö+ + = + + +ç ÷è ø，然后利用基本不等式可求得结果 【详解】 解：因为正数 x，y 满足 2 1 x y + = ， 所以 ( )1 2 4 42 2 2 4 2 8x y x yx yx y y x y xæ ö+ + = + + + ³ + × =ç ÷è ø， 当且仅当4x yy x=，即1 1,4 2x y = = 时取等号， 所以1 2x y+的

5、最小值为 8， 故选：c 【点睛】 此题考查基本不等式的应用，利用了"1'的代换，属于基础题 4 已知 2 11a = +， 5 b= ， 6 7 c = + ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ） ） a a b c > > b c a b > > c c b a > > d b c a > > 【答案】c 【解析】 【分析】 首先分别得到213 2 22 a = +，213 2 36 b = + ，213 2 42 c = +，即可得到 a ， b ， c 的大小关系. 【详解】 ( )222 11 =13 2 22

6、a = + + ，225 13 2 36 b = = + ， ( )226 7 13 2 42 c = + = + . 所以2 2 2c b a > >，又 a ， b ， c 均为正数，即 c b a > > . 故选：c 【点睛】 本题主要考查几个数的比较大小，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 5 若不等式2 22 4 2 4 ax ax x x + - < + 对任意实数 x 均成立 ，则实数 a 的取值范围是（ ） ） a ( ) 2,2 - b ( ) ( ) , 2 2, -¥ - È+¥ c ( 2,2 - d

7、( ,2 -¥ 【答案】c 【解析】 【分析】 将不等式转化为2( 2) 2( 2) 4 0 a x a x - + - - < ，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在 r 上恒成立，即可求得参数范围. 【详解】 由题意，不等式2 22 4 2 4 ax ax x x + - < +，可化为2( 2) 2( 2) 4 0 a x a x - + - - < ， 当 2 0 a- = ，即 2 a =时，不等式恒成立，符合题意； 当 2 0 a- ¹ 时，要使不等式恒成立，需( )22 04 2 4 4( 2) 0aa a- < ì

8、;ïí d =- + ´ - <ï î ， 解得 2 2 a - < < ， 综上所述，所以 a 的取值范围为 ( 2,2 - ， 故选： c . 【点睛】 本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 6 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 2 只玫瑰与 1 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 8 元，而购买4 4 只玫瑰与 5 5 只康乃馨所需费用额小于 2 22 元；设购买 2 2 只玫瑰花所需费用为 a 元，购买 3 3 只康乃馨所需费用为 b 元，则 a b 、 的大小关系是（ ） a a b >

9、; b a b < c a b = d a b 、 的大小关系不确定 【答案】a 【解析】 【分析】 试卷第 4 页，总 18 页 设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出 a b 、 的表达式，利用不等式的性质求解即可. 【详解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为, x y (单位为：元)，则有2 8,2 ,34 5 22x yx a y bx y+ > ì= =í+ <î. 所以有 ,2 3a bx y = = ，因此8(1)352 22(2)3babaì+ >ïïíï+ <&#

10、239; î. (1) 5 (2) ( 1) ´ + ´ - 可得：6 a> ； (1) 2 (2) ( 1) ´ + ´ - 可得：6 b < ，因此 a b > . 故选：a 【点睛】 本题考查了数学能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力. 7 实数 a ， b ， c 满足22 1 a a c b = + - - 且21 0 a b + + =，则下列关系成立的 是（ ） ） a b a c > ³ b c a b ³ > c b c a > ³

11、 d c b a ³ > 【答案】d 【解析】 【分析】 根据等式22 1 a a c b = + - - 可变形为2( 1) a c b - = - ，利用完全平方可得 , c b 大小，由21 0 a b + + =得21 a b = - - ，做差 b a -，配方法比较大小. 【详解】 由22 1 a a c b = + - - 可得2( 1) 0 a c b - = - ³ ，利用完全平方可得 所以 c b ³ ， 由21 0 a b + + =可得21 a b = - - ， 2 21 31 ( ) 02 4b a b b b - = + + =

12、 + + > ， b a > ， 综上 c b a ³ > ， 故选：d 【点睛】 本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 8 若关于 x 的不等式22 8 4 0 1 4 x x a x - - - > < < 在 内有解，则实数 a 的取值范围是 a 4 a- b 4 a>- c 12 a>- d 12 a<- 【答案】a 【解析】 由题意得2max(2 8 4) , (1,4) a x x x < - - Î 2 2 22 8 4 2( 2) 12 2(4 2) 12 4 4

13、x x x a - - = - - < - - = - < - ，选 a. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 二、多选题 9 下列不等式，其中正确的是（ ） a 2 3 2 x x + > （ r xÎ ） b 3 3 2 2 a b a b ab + ³ + （ a ， r b

14、06; ） c 2 2 2 a b + ³ （ 1 a b - - ） d ( )2222 2 11f x xx= + ³ +- 【答案】ac 【解析】 【分析】 , , a b c 三个选项用作差法比较， d 选项通过举例判断 【详解】 2 23 2 ( 1) 2 0 x x x + - = - + > ，所以23 2 x x + >，a正确； 3 3 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b + - - = - - - = - - = - + ， 当

15、0 a b + < 时，3 3 2 20 a b a b ab + - - £，b 错误； 2 2 2 22( 1) ( 1) ( 1) 0 a b a b a b + - + - = - + - ³ ，即2 22( 1) a b a b + ³ + - ，c 正确； 222( )1f x xx= +-中 (0) 2 2 2 1 f = - < + ，d错误 故选：ac 【点睛】 本题考查不等式的性质，考查两实数比较大小，作差法是解题的基本方法 试卷第 6 页，总 18 页 10 已知 a 、 b 、 c 、 d 均为实数，则下列命题中正确的是（ ）

16、a 若 0 ab< ， 0 bc ad - >，则 0c da b- > b 若 0 ab< ，0c da b- > ，则 0 bc ad - > c 若 0 bc ad - > ，0c da b- > ，则 0 ab> d 若1 10a b< < ，则1 1a b ab<+ 【答案】bcd 【解析】 【分析】 对于 a：由 ( )1 c dbc ada b ab- = × - 和已知条件 0 ab< 和 0 bc ad - > ，可判断； 对于 b：由 0c da b- > ，得 0c dab

17、a bæ ö× - >ç ÷è ø，再由 0 ab> ，可判断； 对于 c：由 0c da b- > ，得 0bc adab-> ，又由 0 bc ad - > ，可判断； 对于 d：由1 10a b< < ，可得 0 b a < < ，继而得 0 a b + < ， 0 ab> ，可判断. 【详解】 对于 a： 0 ab< ， 10ab< ，又 0 bc ad - > ， ( )10c dbc ada b ab- = × - &l

18、t; ，即 0c da b- < ，故 a不正确； 对于 b： 0 ab> ， 0c da b- > ， 0c daba bæ ö× - >ç ÷è ø，所以 ( )10 ab bc adab× - > ，即 0 bc ad - > ，故 b 正确； 对于 c： 0c da b- > ， 0bc adab-> ，又 0 bc ad - > ， 0 ab> ，故 c 正确； 对于 d：由1 10a b< < ，可知 0 b a < <

19、 ， 0 a b + < ， 0 ab> ， 1 1a b ab<+成立，故 d正确. 故选 bcd. 【点睛】 本题考查根据不等式的性质判断不等式是否成立，常用的方法是作差法，属于基础题. 11 线 、如图，已知直线 y=3x+3 交 交 x 轴于点 a ，交 y 轴于点 b ，过 a 、b 两点的抛物线交 x 轴 轴 于另一点c(3 ，0). 若该抛物线的对称轴上存在点 q 满足 abq 是等腰三角形，则点 q 的坐标可以是（ ） ） a (1 ，1) b (1 ，0) c (1 ，6) d (1 ，-6) 【答案】ab 【解析】 【分析】 根据直线的解析式 y=3x+3

20、，当 x=0 和 y=0 时就可以求出点 a、b 的坐标，设抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c，根据 a、b、c 三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出 q点的坐标，abq是等腰三角形的情况分为 3 种，即 a、b、q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出 q点的坐标 【详解】 y=3x+3，当 x=0 时，y=3，当 y=0 时，x=-1 a（-1，0），b（0，3）， 设抛物线的解析式为 y=ax 2 +bx+c，由题意，得 030 9 3a b cca b c= - + ì&#

21、239;=íï= + +î，解得123abc= - ìï=íï=î， 抛物线的解析式为 y=-x 2 +2x+3=-(x-1) 2 +4， 抛物线的对称轴为 x=1 设 q（1，t）， 当 aq=bq时，如图，过点 b 作 bfqf，交对称轴于 f. 试卷第 8 页，总 18 页 由勾股定理可得 2 2 21 (3 ) bq bf qf t = + = + -，2 2 2 22 aq ad qd t = + = +， 得2 2 21 (3 ) 2 t t + - = +，解得 t=1， q（1，1）； 当 ab 是

22、腰时，q是对称轴与 x 轴交点时，ab=bq，如图. 21 ( 3) 10 t + - =，解得 t=0或 6， 当 q点的坐标为（1，6）时，其在直线 ab 上，a、b 和 q三点共线，舍去， 则此时 q的坐标是（1，0）； 当 aq=ab 时，如图. 2 22 10 t + =，解得 6 t = ± ， 则 q的坐标是 (1, 6) 和 (1, 6) - ， 综上所述：q的坐标可能为 (1,1),(1,0),(1, 6),(1, 6) - 故选：ab. 【点睛】 本题考查二次函数相关相关的几何问题，属于中档题. 12 已知关于 x 的方程 ( )23 0 x m x m + -

23、+ = , , 下列结论正确的是 ( ) ) a 方程 ( )23 0 x m x m + - + = 有实数根的充要条件是 1 m m m Î < ，或 9 m> b 方程 ( )23 0 x m x m + - + = 有一正一负根的充要条件是 0 m m m Î < c 方程 ( )23 0 x m x m + - + = 有两正实数根的充要条件是 0 1 m m m Î < £ d 方程 ( )23 0 x m x m + - + = 无实数根的必要条件是 1 m m m Î > e. 当 3 m= 时,

24、,为 方程的两实数根之和为 0 【答案】bcd 【解析】 【分析】 依次判断每个选项： 1 m 或 9 m³ ,故a错误；充要条件是 0 m m m Î < ,故b正确；解得 0 1 m < £ ,故 c 正确； 1 9 1 m m m m < < Í > ,故 d正确；无实数根,故 e 错误，得到答案. 【详解】 在 a 中,由 ( )23 4 0 m m d = - - ³ 得 1 m 或 9 m³ ,故 a 错误； 试卷第 10 页，总 18 页 在 b 中,当 0 x = 时,函数 ( )23 y

25、 x m x m = + - + 的值为 m ,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是 0 m m m Î < ,故 b 正确； 在 c 中,由题意得( )23 4 0,3 0,0,m mmmì d =- - ³ï- >íï>î解得 0 1 m < £ ,故 c 正确； 在 d中,由 ( )23 4 0 m m d = - - < 得 1 9 m < < ,又 1 9 1 m m m m < < Í > ,故 d正确； 在 e 中,当

26、3 m= 时,方程为23 0 x + =,无实数根,故 e错误. 故选：bcd. 【点睛】 本题考查了不等式相关的充分必要条件，意在考查学生的计算能力. 三、填空题 13 若命题" x r $ Î ，使得 ( )21 1 0 x a x + - + £ ' 为假命题，则实数 a 的范围_ 【答案】 1 3 a - < < 【解析】 由题意：x 2 (a1)x10 恒成立 则对应方程 x 2 (a1)x10 无实数根 则 (a1) 2 40， 即 a 2 2a30，所以1a3. 14 数 正数 a ，b 满足 ab a b 3 ，则 ab 的取值

27、范围是_. 【答案】 ) 9,+¥ 【解析】 【分析】 由题得 abab32ab 3，解不等式 2 3 0 ab ab - - ³ 即得解. 【详解】 a，b 是正数， abab32ab 3(当且仅当 ab3 时等号成立)， 所以 2 3 0 ab ab - - ³ ， 所以 ( 3)( +1) 0 ab ab - ³ ， 所以 3 ab ³ 或 1 ab £ - ， 所以 ab9. 故答案为： 9, ) +¥ 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15 设 , 0,5 a b a

28、b > + = , 则1+ +3 a b + 的最大值为 _ 【答案】 3 2 【解析】 【分析】 【详解】 由2 22ab a b £ +两边同时加上2 2a b + 得2 2 2( ) 2( ) a b a b + £ + 两边同时开方即得：2 22( ) a b a b + £ +（ 0, 0 a b > > 且当且仅当 a b = 时取"='）， 从而有 1+ +3 a b + 2( 1 3) 2 9 3 2 a b £ + + + = ´ = （当且仅当 1 3 a b + = + ,即7 3,2

29、2a b = =时，"='成立） 故填： . 考点：基本不等式. 【名师点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式2 22ab a b £ +转化为2 22( ) a b a b + £ +（a0,b0 且当且仅当 a=b 时取"='）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件. 16 设函数 ( )21 f x x = - ，对于 ( ) ( ) ,0 0, m " Î -¥ +¥ u ，不等式( ) ( ) ( )24 1 4xf m f x f x f mmæ

30、 ö+ ³ - -ç ÷è ø恒成立，则实数 x 的取值范围是_ 【答案】 )51,3æ ù-¥ - +¥çúè ûu ， 【解析】 【分析】 把不等式恒成立，转化为22 21 5 24 1 mm x x+ ³ - + 在 ( ) ( ) ,0 0, mÎ -¥ +¥ u 恒成立，利用基本不等式 试卷第 12 页，总 18 页 求得2214mm+ 的最小值，进而得到25 24 1x x³ - + ，结合一元

31、二次不等式的解法，即可求解. 【详解】 由题意，函数 ( )21 f x x = - ， 因为对于 ( ) ( ) ,0 0, m " Î -¥ +¥ u ，不等式 ( ) ( ) ( )24 1 4xf m f x f x f mmæ ö+ ³ - -ç ÷è ø恒成立， 即2 2 2 2 2( ) 1 4 ( 1) ( 1) 1 4( 1)xm x x mm- + - ³ - - - - 在 ( ) ( ) ,0 0, mÎ -¥ +¥ u

32、恒成立， 即22 21 5 24 1 mm x x+ ³ - + 在 ( ) ( ) ,0 0, mÎ -¥ +¥ u 恒成立， 又由2 22 21 14 2 4 4 m mm m+ ³ × = ，当且仅当2214mm= ，即22m = ± 时，等号成立， 所以25 24 1x x³ - + ，即23 2 5 0 x x + - ³ ，即5( 1)( ) 03x x - + ³ ， 解得53x £ - 或 1 x ³ ，即实数 x 的取值范围是 )51,3æ 

33、49;-¥ - +¥çúè ûu ， . 故答案为： )51,3æ ù-¥ - +¥çúè ûu ， . 【点睛】 本题主要考查了不等式的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 四、解答题 17 知 已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc=1 证明： （ （1） ）2 2 21 1 1a b ca b c+ + £ + + ； （ （2） ）3 3 3( ) (

34、 ) ( ) 24 a b b c c a + + + ³ + + 】 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 1 abc = 将所证不等式可变为证明：2 2 2a b c bc ac ab + + ³ + +，利用基本不等式可证得( )2 2 22 2 2 2 a b c ab bc ac + + ³ + + ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 33 a b b c c a a b b c c a + + + + + ³ + + + ，再次利用基本不等式可将式转化为( )

35、 ( ) ( ) ( )3 3 3 224 a b b c c a abc + + + + + ³ ，在取等条件一致的情况下，可得结论. 【详解】 （1） 1 abc = 1 1 1 1 1 1abc bc ac aba b c a b cæ ö + + = + + × = + +ç ÷è ø ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 a b c a b b c c a ab bc ac + + = + + + + + ³ + + 当且仅当 a b c = = 时取等

36、号 ( )2 2 21 1 12 2 a b ca b cæ ö + + ³ + +ç ÷è ø，即：2 2 21 1 1a b ca b c+ + + + （2） ( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 33 a b b c c a a b b c c a + + + + + ³ + + + ，当且仅当 a b c = = 时取等号 又 2 a b ab + ³ ， 2 b c bc + ³ ， 2 a c ac + ³ （当且仅当 a b c = = 时等号同时成立） (

37、 ) ( ) ( ) ( )3 3 3 23 2 2 2 24 a b b c c a ab bc ac abc + + + + + ³ ´ ´ ´ = 又 1 abc = ( ) ( ) ( )3 3 324 a b b c c a + + + + + ³ 【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立. 18 " 足寒伤心，民寒伤国 ' ，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大 " 中国梦 '

38、; 的重要保障 某地政府在对石山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量 q 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费 x 万元之间的函数关系为24xq+= 过 （其中推广促销费不能超过 3 万元）已知加工此批农产品还要投入成本14( ) +万元（不包含推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为20(4 )q+元 元/ 件 （1 ） 试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数；（利润 = 销售额 - 成本 - 推广促销费） （2 2 ）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(

39、1)详见解析;(2) 当推广促销费投入 2万元时，利润最大为 14万元. 【解析】 试题分析：（1）结合题意可得20 1 16y 4 4 20 ,0 32q q x x xq q xæ ö æ ö= + × - + - = - - £ £ç ÷ ç ÷+è ø è ø；（2）由 试卷第 14 页，总 18 页 16y 202xx= - -+，通过变形利用基本不等式可得 y 14 £ ，即得最大利润为 14 万元。 试题解析： （1）由题

40、意知 20 1y 4 4 q q xq qæ ö æ ö= + × - + -ç ÷ ç ÷è ø è ø 420 xq= - - 1620 ,0 32x xx= - - £ £+ （2）由（1）得 ( )16 16y 20 22 x 22 x 2xxé ù= - - = - + +ê ú+ +ë û 22-2 1614 £ = ， 当且仅当16x 2x 2= +且 0 3 x

41、 £ £ ，即 2 x = 时等号成立。 当 x2 = 时，maxy 14 = 。 答：当推广促销费投入 2 万元时，利润最大为 14万元. 19 已知函数 ( )22 4 f x x x k = + - ， ( )22 g x x x = - . （ （1 ）若对任意 3,3 xÎ - ，都有 ( ) ( ) f x g x £ 成立，求实数 k 的取值范围； （ （2 ）若存在 3,3 xÎ - ，使 ( ) ( ) f x g x £ 成立，求实数 k 的取值范围； （ （3 ）若对任意 1 2, 3,3 x x Î

42、- ，都有 ( ) ( )1 2f x g x £成立 ，求实数 k 的取值范围. 】 【答案】（1） )27,+? ；（2） ) 9, - +¥ ；（3） ) 31,+¥ . 【解析】 【分析】 （1）通过分离变量将问题转化为26 k x x ³ +对任意 3,3 xÎ - 恒成立，通过二次函数性质求得26 x x +的最大值，进而得到结果； （2）通过分离变量将问题转化为存在 3,3 xÎ - ，使得26 k x x ³ +成立，通过二次函数性质求得26 x x +的最小值，进而得到结果； （3）将问题转化为 ( ) (

43、 )max minf x g x £ ，根据二次函数性质可分别求得最值，进而构造不等式求得结果. 【详解】 （1）由题意得： ( ) ( )26 0 g x f x x x k - =- - + ³ 对任意 3,3 xÎ - 恒成立， 即26 k x x ³ +对任意 3,3 xÎ - 恒成立， 当 3 x= 时，26 x x +取得最大值 27 ， 27 k ³ ，即 k 的取值范围为 )27,+? . （2）由题意得：存在 3,3 xÎ - ，使得 ( ) ( )26 0 g x f x x x k - =- - + &

44、#179; 成立， 即存在 3,3 xÎ - ，使得26 k x x ³ +成立， 当 3 x=- 时，26 x x +取得最小值 9 - ， 9 k ³- ，即 k 的取值范围为 ) 9, - +¥ . （3）由题意得：当 3,3 xÎ - 时， ( ) ( )max minf x g x £ ， 当 3 x= 时， ( ) max 18 12 30 f x k k = + - = - ；当 1 x= 时， ( ) min 1 2 1 g x = - =- ， 30 1 k - £- ，解得： 31 k ³ ，即

45、 k 的取值范围为 ) 31,+¥ . 【点睛】 本题考查与二次函数有关的恒成立和能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为二次函数的最值的求解问题，属于常考题型. 20 于 已知关于 x 的二次函数 ( )2 22 1 1 y x k x k = - - + + 与 的图象与 x 轴有 2 个交点. （ （1 ）求 k 的取值范围； （ （2 ）若图象与 x 轴交点的横坐标为1x ，2x ，且它们的倒数之和是32- 求 ，求 k 的值. 】 【答案】（1）34k < - ；（2） 1- . 【解析】 【分析】 （1）根据二次函数 ( )2 22 1 1 y x k x k =

46、- - + + 的图象与 x 轴有两交点，得出( )2 22 1 1 0 x k x k - - + + = 时，有两个不相等的实数根，从而可知 >0 d ，解不等式即可得出答案； （2）由根与系数关系得出方程，解方程即可得出答案 【详解】 （1）二次函数 ( )2 22 1 1 y x k x k = - - + + 的图象与 x 轴有两交点， 当 0 y = 时， ( )2 22 1 1 0 x k x k - - + + = 有两个不相等的实数根. 试卷第 16 页，总 18 页 ( )( )22 24 2 1 4 1 1 0 b ac k k d = - = - - - 

47、0; ´ + > é ùë û. 解得34k < - ； （2）当 0 y = 时， ( )2 22 1 1 0 x k x k - - + + = ， 则1 22 1 x x k + = - ，21 21 x x k × = + ， 1 221 2 1 21 1 2 1 31 2x x kx x x x k+ + = = = -× +， 解得： 1 k =- 或13k = - （舍去）， 1 k =- . 【点睛】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 21 某地区

48、上年为 度电价为 0. .8 元 元/ / （ kw h × ），年用电量为 kw h a × ，本年度计划将电价下降到区间 0.55,0.75 （单位：元/ / （ kw h × 为 ）内，而用户期望电价为 0. .4 元 元/ / （ kw h × ） ）. 经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 k ） ）. 该地区 的电力成本价始终为 为 0. .3 元 元/ / （ kw h × ） ）. （ （1 ）写出本年度电价下调后电力部门的利润 y （单位：元）关于实际电价 x （单位，元/ / ( )

49、kw h × ）的函数解析式； （ （2 ）设 0.2 k a = 长 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长 20% %？ ？ 】 【答案】（1） ( ) 0.30.4ky a xxæ ö= + -ç ÷-è ø， 0.55,0.75 xÎ ；（2）0.6 元/（ kw h × ）时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，结合反比例的定义进行求解即可； （2）根据题意得到不等式组，解不等式组进行求解即可. 【详解】 （1） ( ) 0.30.4ky a xxæ &#

50、246;= + -ç ÷-è ø， 0.55,0.75 xÎ （2）当 0.2 k a = 时， ( )0.20.30.4ay a xxæ ö= + -ç ÷-è ø 由题意可得：( ) ( )( )0.20.3 0.8 0.3 1 20%0.40.55 0.75aa x axxìæö+ - ³ - +ï ç÷-è ø íï£ £î 整理得：21.

51、1 0.3 00.55 0.75x xxì - + ³í£ £î，解得 0.6 0.75 x £ £ 所以当电价最低定为 0.6 元/（ kw h × ）时，仍可保证电力部门本年度的利润比上年至少增长 20% 【点睛】 本题考查了数学能力，考查了一元二次不等式的解法应用，考查了数学运算能力. 22 设函数2( ) ( 2) 3( 0) f x ax b x a = + - + ¹ , （ （1 ）若不等式 ( ) 0 f x > 的解集为 ( ) 1,3 - ，求 2a b + 的值； （ （2 ）若 (1) 4, 1 f b = > - ，求11aa b+的最小值 （ （3 ）