第二章 导数微分及其应用ppt课件

1、第二章第二章 导数微分及其应用导数微分及其应用 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在中用究竭法求出抛物线弓形的面积，没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。微

2、积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。微积分的创始人是牛顿和莱布尼茨。 解析几何为微积分的创立奠定了基础解析几何为微积分的创立奠定了基础 。第一节第一节 函函 数数区间区间一、预备知识一、预备知识设a，b是两个实数，且ab开区间 ： 满足不等式 axb一切实数的全 体。, a b闭区间 ： 满足不等式 axb的一切实数的 全体。 , a b半开区间 ：满足不等式 axb的一切实数的 全体。 ：a x b, a b, a b表示全体实数，或写成 x ；, 表示大于a的全体实数，或写成a x +；, a 表示小于a的全体实数，或写成 x a；,a表示 a x +； ,)a 表示 x a。(, a2.邻域邻

3、域xaxaaxa 或 xa 例：2的0.001邻域为（1.999 , 2.001） 2的0.001去心邻域为 (1.999 , 2)(2 , 2.001) 二、函数二、函数函数的概念函数的概念符号 f 可以任意选取。函数概念最重要的是两个构成要素：定义域 D 和对应法则 f。定义域定义域D是函数是函数存在的前提存在的前提，对应法则是构建函数关系的规则。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数相同，否则这两个函数不相同。注注函数的表示方法有三种函数的表示方法有三种:数学表达式、列表和图形。数学表达式、列表和图形。 2.复合函数复合函数 设y是的z函数： y=f(z)， 而z又是x

4、的函数：z=g(x)。 设D是g(x)的定义域或其一部分。如果对于x在D 上取值时所对应的z值，函数y=f(z)是有定义的，将函数z=g(x)代入函数y=f(z)得 y=f(g(x)Dg(D)F(g(D)这个函数叫做由函数y=f(z)和z=g(x)复合而成的复合函数，记作 fg 。变量z叫做中间变量。函数f的定义域gf例例1.23.初等函数初等函数 基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。示的函数，称为初

5、等函数。 第二节第二节 数列的极限数列的极限 无穷多个实数排成一列a1,a2,a3,an,称为数列，记为an，其中的每一个数称为数列的一个项，an称为数列的通项。1、数列的极限、数列的极限(1)、定义、定义（13.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592， 3.1415926，；（22，4，8，16，2n， ；（31/2，1/4，1/8，1/16，1/ 2n，；（41，-1/2，1/3，-1/4，(-1)n+1/n，；（51，1/2，2/3，3/4，(n-1)/n，；(2)、单调数列、单调数列单调增加数列和单调减少数列统称单调数列。 (3)、有界数列、有界数列对

6、于数列an，如果存在正数M，使得数列中的每一项an(n=1,2,3,)都满足不等式-M anN的一切an，有不等式 |ana|0，总存在一个0，当0|x-x0|时，有 | f(x)-A|0，作直线，作直线 y=A+，y=A-,这两条直这两条直线形成一横条区域线形成一横条区域. 对于这个对于这个,存在点存在点x0的一个邻域的一个邻域(x0-，x0+)，当，当x(x0-，x0+)但但xx0时，有不时，有不等式：等式：点x, f(x)）落在上面所做的一横条区域内。( )Af xA( )f xA2252 2( ).24 2xxxf xxx、当x时函数f(x)极限解解 、 极限的四则运算法则当当x 时，

7、性质也成立。时，性质也成立。数列极限四则运算也有类似的定理:所以 解解 11lim 22212limlim113133lim 3nnnnnnnnnn注意到11lim 2lim2lim2nnnnn11lim 3lim3lim3nnnnn分母的极限不为零。解解222323222lim11lim23lim23xxxxxxxxx22232222limlim1=limlim2lim3xxxxxxxx22232222limlim1lim2 limlim3xxxxxxxx4 15=82 433 4、两个重要极限、两个重要极限011sin( ). lim,xxx121( ). lim.xxex解解000sin

8、2sin2sin2limlim22lim22xxxxxxxxx2 ,00,txx令当时，t00sin2sinlim2lim2xtxtxt因而解解- ,txx令当时，t11lim 1lim 1xxxxxx1lim 1ttt1lim11ttt111lim 1ttet解解先用x去除分母及分子，然后取极限.00sin1sinlimlimsinsin1xxxxxxxxxx00sin1 limsin1 limxxxxxx1 101 1解解112212limlim 111xxxxxxx2122lim 11xxx2111limlim 11xtxtxxt2e5、无穷小量和无穷大量、无穷小量和无穷大量 、无穷小量

9、、无穷小量例如一个函数一个函数 f (x)当当x x 0时以时以0为极限，称该函数为极限，称该函数 f (x)为当为当xx 0时的无穷小量。 .定理定理无穷小量阶无穷小量阶 ( ) ( );xx下面是几个常用的等价无穷小： 0 x、无穷大量、无穷大量第三节第三节 连连 续续1、连续的定义、连续的定义区间连续的定义区间连续的定义连续函数的图象是一条连续的曲线。 2、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理 基本初等函数在定义域内都连续。基本初等函数在定义域内都连续。定理定理 初等函数在定义域上的区间上连续。初等函数在定义域上的区间上连续。解解3、 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质、

10、定义、定义 如果存在如果存在M0，使得任意，使得任意xD,有有| f(x)|M,则称则称函数函数f(x)在定义域在定义域D上有界上有界.、定理有界性定理若函数、定理有界性定理若函数f(x)在闭区间在闭区间a, b上连续，上连续，则它在则它在a, b上有界。上有界。如果f()=0，我们就称是函数f(x)的零点。定理的几何解释是：一条连续的曲线段一端在x轴下方,另一端在x轴上方,那么该曲线一定和x轴相交。证明证明 如果记f(x)在闭区间a, b上的最的大值为M，最小值为m, 且mcM，那么存在一点a, b使得 f()=c。第四节第四节 函数的导数函数的导数一、导数的概念 两个例子 (1)、切线问题

11、设A点是曲线c上的一点。如何确定曲线c在A点的切线AT呢？ ABTABT00000f xxf xyyykxxxxx0limxykx (2)、瞬时速度、瞬时速度 设物体A沿着一条直线运动，我们用s=s(t)表示t时刻物体A离开初始位置的距离。求A在t0时刻的瞬时速度v(t0) ？ 0000000( )lim limttts ts tv ttts tts tt 1、定义、定义存在，则称这个极限为函数 f(x)在点x0处的导数，0000limlimxxf xxf xyxx 并称函数f(x)在x0处可导或有导数。(点导数点导数)如果这个极限不存在，就称函数f(x)在x0处不可导 。解：解：221122

12、xxxyxxxx 100|limlim 22xxxyyxx 2、定义、定义(区间导数区间导数) 00( )lim limxxfxxfxfxxyx 导函数的定义式为导函数的定义式为解：解：3、 基本求导公式和求导法则基本求导公式和求导法则基本求导公式导数的四则运算 解：解：44sinsinyxxxx 34cosxx解：解：333xxxyexxx ee 233xxx ex e23xx x e解：解：sintancosxyxx 2cos cossinsin= cosxxxxx2cossisincosn=cosxxxxx221=seccosxx复合函数的求导法则链锁法则 解：解：将函数分解的两个简单函

13、数 ， 99( )100,( )6f uug xx根据链锁法则，有( )( )yf u g x992991006600 (34)uxxx解：解：将函数分解的两个简单函数 ， 根据链锁法则，有( )( ) ( )yf u g v h x1122xuv 11( ),( ),( )22f ug vh xxuv2222112112 111xxxxxx4、高阶导数、高阶导数 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数二阶及二阶以上的导数称为高阶导数 解：解：先求函数的一阶导数 23yx 再求一阶导数的导数 236yxxy 二阶是一阶导数的导数二阶是一阶导数的导数 第五节第五节 函数的微分函数的微分一、微分的概念

14、1.定义定义 设设y=f(x)在点在点x处可导，那么处可导，那么 称为称为函数函数 y=f(x)在点在点x处的微分，记作处的微分，记作dy，即：，即：dy= 。 ( )fxx( )fxx( )dyfx dx微分的表达式微分的表达式2.定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。定理：可导函数一定可微，可微函数一定可导。二、微分的几何意义二、微分的几何意义( )yf xxdxACBTdyyAT是曲线y=f(x)上点A处的切线。( )tandyfxdx其中 是切线AT和x轴正方向的夹角。当自变量从当自变量从x变到变到x+dx时，曲线时，曲线y=f(x)在点在点A处的切处的切线的改变量是线的改变量是TC=dy。这就是微分的几何意义。这就是微分的几何意义。解：解：323yxx 23dyy dxx dx因为所以三、三、 基本微分公式基本微分公式四、四、 微分的运算微分的运算解：解：用函数乘积的微分法则， 33xxxdxdyexxed233xxex dxx e dx23xx x e dx第六节第六节 导数的应用导数的应用一、拉格朗日(Lagrange)中值定理( )( )( )().f bf afbaxyOABlP二、洛必塔法则 解：解：因为所以200lim 1 cos0,lim0 xxxx20021 cosliml1 cosimxxxxxx00sin1sin1limlim222xxxxxx解