第二章拉普拉斯变换及其应用ppt课件

1、式中的式中的 s s 被称为是被称为是LaplaceLaplace算子，它是一个复数变算子，它是一个复数变量，即有量，即有 。jsdttfLsFetfst0)()()(定义：已知有实函数)(tf，其Laplace变换为：j这个平面就被这个平面就被我们称为是我们称为是S S域或复数域域或复数域条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。 )(tf0)(dtetfstt)(sFss)(tf)(sF)(sF)(tf在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合号，相当一个开关的闭合( (或断开或断开) )。在求它的象函数前，首先应给出单位

2、阶跃函数的定义在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式。式。在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。它的拉氏式由定义式有：用信号。它的拉氏式由定义式有： )()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL)()()(sKFtfKLtKfL1.叠加定理两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即:2.比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即:0)0()0()0(1nfff3.微分定理在零初始条件下，即： )()(sFstfLnn那么：上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的 阶导数的拉氏

3、式等于其象函数乘以 。 nns4.积分定理在零初始条件下，即： 0)()()(01020 tnttdttfdttfdttf那么：nnssFdttfL)()( 上式表明，在零初始条件下，原函数的 重积分的拉氏式等于其象函数除以 nns5.延迟定理 当原函数 延迟 时间，成为 时，它的拉氏式为：)(tf)(tf)()(sFetfLs上式表明，当原函数 延迟 ，即成 时，相应的象函数 应乘以因子 。 )(tf)(tf)(tFse6.终值定理 )(lim)(lim0ssFtfst上式表明原函数在 时的数值(稳态值)，可以通过将象函数 乘以 后，再求 的极限值来求得。条件是当 和 时，等式两边各有极限存

4、在。 )(tf)(tFs0s0st终值定理在分析研究系统的稳态性能时终值定理在分析研究系统的稳态性能时( (例如分析系统例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等) )有着很多的有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。 jcjcstdsesFjsFLtf)(21)()(1拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常拉氏变换和反变换是一一对应的，所以通常可以通过查表来求取原函数。可以通过查表来求取原函数。 atetf 2)()(tfstLL2)( 122aseLat1解：由比例定理可知：)(2312

5、2)(assasasseLtFat通过查表可知：再根据叠加定理，可求得 的象函数为：) 1(12sss解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：1) 1(12sBsAsss其中，A、B是待定系数，将上式进行通分后可得：) 1()() 1() 1(1ssAsBAssBssAsBsA比较以上两式的分子，可得：112BAABA通过查表，可求得：tessLsssLtf1111) 1(12()(11S (t=0)+-RC+-UC这是一个一阶电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即：0)0(cu在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。则根据KVL定理，有：sc

6、RUuus代入电路，可得到电路的RiuRdtduCicc把和微分方程：sccUudtduRC如今，我们就来解这个微分方程0sccUudtduRCdtduRCUucscRCdtUuduscc分离变量，有：1)ln(cRCtUusc两边同时积分：两边再同时取指数：1)()ln(cRCtUueesc1)(cRCtsceeUu2)(ceUuRCtscsUc 2)1 (RCtsceUu整理得：并令：12cec则有：将初始条件：t=0时，c(0-)=0代入上式，可得：所以最后求得该微分方程的解为：现在对于上面的微分方程，我们有Laplace变换再求解一次。sccUudtduRC由题可知：开关闭合瞬间的输入信号可视为阶跃信号，且当t=0时，Uc(0+)=0，所以上式有：sUsURCssc1)() 1()()()(sRUsUsRCsUscc单位阶跃函数的单位阶跃函数的Laplace变换变换利用待定系数法可求得：)1 ()()1 ()1 ()1 ()1()1 (1)(RCsssBARCAURCssBsRCssRCAURCsBsAURC