材料力学习题答案

1、 5-1 第二章 轴向拉伸与压缩 2- -1 试求图示直杆横截面 1-1、2-2、3-3 上的轴力，并画出轴力图。 FN2 F F F F=2kN 2 2 3 3 1 1 F FN1 FN3 2 2 FN (kN) F4=10kN F2=3kN F3=25kN F1=18kN 2 2 1 1 3 3 FN (kN) 18 15 10 18kN FN1 3kN 18kN FN2 10kN FN3 FN1= -2kN FN2 = 0kN FN3= 2kN FN1= -18kN FN2= -15kN FN3= 10kN F F F + (a) (b) + 2- -2 图示中部对称开槽直杆，试求横截面

2、 1-1 和 2-2 上的正应力。 1FF=14kN221410 20420. 解：解： 1轴力 由截面法可求得，杆各横截面上的轴力为 kN14NFF 2应力 4201014311N11AFMPa175MPa 410201014322N22AFMPa350MPa 5-2 2- -3 图示桅杆起重机，起重杆 AB 的横截面是外径为mm 20、内径为mm 18的圆环，钢丝绳 BC 的横截面面积为2mm 10。试求起重杆AB 和钢丝绳 BC 横截面上的应力。 F=2kN15A45CB. 解：解： 1轴力 取节点 B 为研究对象，受力如图所示， 0 xF： 045cos30cosNNFFFABBC 0

3、yF： 045sin30sinNFFAB 由此解得： 83. 2NABFkN， 04. 1NBCFkN 2应力 起重杆横截面上的应力为 223N182041083. 2ABABABAFMPa4 .47MPa 钢丝绳横截面上的应力为 101004. 13NBCBCBCAFMPa104MPa 2- -4 图示由铜和钢两种材料组成的等直杆， 铜和钢的弹性模量分别为GPa 1001E和GPa 2102E。若杆的总伸长为mm 126. 0 l，试求载荷 F 和杆横截面上的应力。 F400600钢铜.4021. 解：解： 1横截面上的应力 由题意有 2211221121ElElAEFlAEFllll 由此

4、得到杆横截面上的应力为 3322111021040010100600126. 0ElEllMPa9 .15MPa 2载荷 24049 .15AFN20kN BFNABFFNBCyx30o15o 铜 钢 5-3 2- -5 图示阶梯形钢杆，材料的弹性模量GPa 200E，试求杆横截面上的最大正应力和杆的总伸长。 解：解： 1最大正应力 由于杆各横截面上的轴力相同，故杆横截面上的最大正应力发生在 BC 段的任一横截面上，即 1 2 7 . 3 M P aM P a204104023NmaxBCAF 2杆的总伸长 mm57. 0mm20800404001020010404 444 22332222B

5、CBCABABBCBCABABBCBCABABBCABdldlEFdEFldEFlEAFlEAFllll 2- -6 图示电子秤的传感器为一空心圆筒形结构， 圆筒材料的弹性模量GPa 200E。 在秤某一沿圆筒轴向作用的重物时， 测得筒壁产生的轴向线应变6108 .49。试求此重物的重量 G。 P80.9 解：解： 圆筒横截面上的轴力为 GFN 由胡克定律 EAGE 可以得到此重物的重量为 kN20 N298080410200108 .49 2236EAG 400 800 F=40kN 4020 FN (kN) A C B 40 G 5-4 第三章 材料的力学性质 拉压杆的强度计算 3- -1

6、 图示水压机，若两根立柱材料的许用应力为MPa 80，试校核立柱的强度。 F=600kN.工件.80 解：解： 立柱横截面上的正应力为 59.74802106002MPaMPa23AF 所以立柱满足强度条件。 3- -2 图示油缸盖与缸体采用 6 个螺栓连接。已知油缸内径mm 350D，油压MPa 1p。若螺栓材料的许用应力MPa 40，试求螺栓的内径。 FpD. 解：解： 由于内压的作用，油缸盖与缸体将有分开的趋势，依靠六个螺栓将它们固定在一起。 油缸盖受到的压力为 42DpF 由于 6 个螺栓均匀分布，每个螺栓承受的轴向力为 46162NDpFF 由螺栓的强度条件 2222N64461dp

7、DdDpAF 可得螺栓的直径应为 dmm6 .22mm 3504061 6Dp 5-5 3- -3 图示铰接结构由杆 AB 和 AC 组成，杆 AC 的长度为杆 AB长度的两倍，横截面面积均为2mm 200A。两杆的材料相同，许用应力MPa 160。试求结构的许用载荷F。 4530BCFAFAFNACFNABxy 解：解： 由0 xF： 045sin30sinNNABACFF 可以得到： ABABACFFFNNN2 即 AC 杆比 AB 杆危险，故 32N 200160NAFACkN 21621NNACABFFkN 由0yF： 030cos45cosNNFFFACAB 可求得结构的许用载荷为

8、F7 .43kN 3- -4 承受轴力kN 160NF作用的等截面直杆，若任一截面上的切应力不超过MPa 80，试求此杆的最小横截面面积。 解：解： 由切应力强度条件 AF22Nmax 可以得到 A80210160 23NFmm21000mm2 5-6 3- -5 试求图示等直杆 AB 各段内的轴力。 BDCA2aaa2FFyFAFBFAFAFNCDFNACF2F2FFBFNDB 解：解： 为一次超静定问题。设支座反力分别为AF和BF 由截面法求得各段轴力分别为 AACFFN，FFFACD2N， BDBFFN 静力平衡方程为 0yF： 02BAFFFF 变形协调方程为 0DBCDACllll

9、物理方程为 EAaFlACACN， EAaFlCDCD2N，EAaFlDBDBN 由联立解得：FFA47，FFB45 故各段的轴力分别为：FFAC47N，4NFFCD，FFDB45N。 3- -6 图示结构的横梁 AB 可视为刚体，杆 1、2 和 3 的横截面面积均为 A，各杆的材料相同，许用应力为。试求许用载荷F。 FACBDEFyFNADFNCE FNBFFl2llaa 解：解： 为一次超静定问题。 由对称性可知，BFADFFNN，BFADll。 静力平衡条件： 0yF： 0NNNFFFFBFCEAD 变形协调条件： CEADll 即 EAlFEAlFCEAD2NN 即 CEADFFNN2

10、 由解得：FFFFCEBFAD522NNN 由 AD、BF 杆强度条件AFBFAD52，可得该结构的许用载荷为 5-7 AF25 3- -7 图示铰接正方形结构， 各杆的材料均为铸铁， 其许用压应力与许用拉应力的比值为3tc，各杆的横截面面积均为 A。试求该结构的许用载荷F。 aaFFCBAD (b)NFFNFNDFFNFN(a)B 解：解： B 点受力如图(a)所示，由平衡条件可得：2NFF 由对称性可知，AD、BD、AC、BC 四杆受拉，拉力均为2F，由拉杆的强度条件 AF2tt 可得 FA2t D 点受力如图(b)所示，由平衡条件可得：FFFNN2 CD 杆受压，压力为F，由压杆的强度条

11、件 AFc 3tc 可得 FA 3t 由可得结构的许用载荷为AF2t。 3- -8 图示横担结构，小车可在梁 AC 上移动。已知小车上作用的载荷kN 15F， 斜杆 AB 为圆截面钢杆， 钢的许用应力MPa 170。若载荷 F 通过小车对梁 AC 的作用可简化为一集中力， 试确定斜杆 AB的直径 d。 0.8m1.9mABFCFCFNABxA 解：解： 由几何关系，有388. 09 . 18 . 08 . 0sin22 取 AC 杆为研究对象 0CM： 09 . 1s i nNFxFAB 由此可知：当m 9 . 1x时， kN66.38kN388. 015sinmaxNNFFFABAB 由 4

12、2m a xNm a xdFABAB 可得 5-8 dmm17mm1701066.38443maxNABF 3- -9 图示联接销钉。已知kN 100F，销钉的直径mm 30d，材料的许用切应力MPa 60。 试校核销钉的剪切强度， 若强度不够，应改用多大直径的销钉。 FF.d 解：解： 1校核销钉的剪切强度 232230101002242dFdFMPa7 .70MPa 销钉的剪切强度不够。 2设计销钉的直径 由剪切强度条件422dF，可得 d6010100223Fmm6 .32mm 3- -10 图示凸缘联轴节传递的力偶矩为mN 200eM，凸缘之间用四个对称分布在mm 800D圆周上的螺栓

13、联接，螺栓的内径mm 10d，螺栓材料的许用切应力MPa 60。试校核螺栓的剪切强度。 M.n.nn-n截面螺栓D0.eMe 解：解： 设每个螺栓承受的剪力为QF，则由 e0Q42MDF 可得 0eQ2DMF 螺栓的切应力 5-9 80101020022422302e20eQDdMdDMAFMPa9 .15MPa 螺栓满足剪切强度条件。 3- -11 图示矩形截面木拉杆的接头。已知轴向拉力kN 50F，截面的宽度mm 250b，木材顺纹的许用挤压应力MPa 10bs，顺纹的许用切应力MPa 1。试求接头处所需的尺寸 l 和 a。 FFllab 解：解： 1 由挤压强度条件 abFbsbs 可得

14、 a1025010503bsbFmm20mm 2 由剪切强度条件 blF 可得 l125010503bFmm200mm 3- -12 图示螺栓接头。已知kN 40F，螺栓的许用切应力MPa 130，许用挤压应力MPa 300bs。试求螺栓所需的直径d。 FFd10.2010. 解：解： 1 由螺栓的剪切强度条件 422dF 可得 d1301040223Fmm14mm 2 由螺栓的挤压强度条件 20bsdFbs 可得 5-10 d300201040203bsFmm7 . 6mm 综合 1、2，螺栓所需的直径为d14mm。 3- -13 图示结构的 AB 杆为刚性杆， A 处为铰接， AB 杆由钢

15、杆 BE与铜杆 CD 吊起。已知 CD 杆的长度为m 1，横截面面积为2mm 500，铜的弹性模量GPa 1001E；BE 杆的长度为m 2，横截面面积为2mm 250，钢的弹性模量GPa 2002E。试求 CD 杆和 BE 杆中的应力以及 BE 杆的伸长。 FNBE F lCD D C E B 0.5m F=200 kN A 0.5m 1m lBE FNCD A 解：解：为一次超静定问题。 静力平衡条件： 0AM： 05 . 120012NNCDBEFF 变形协调方程：CDBEll2 即： 11N22N122AEFAEFCDBE 即： 15001002502001122NNAEAEFFCDB

16、E 由解得：kN100NNCDBEFF 各杆中的应力： MPa400MPa250101003BE MPa200MPa500101003CD 钢杆伸长： mm4mm10210200400332BEBEBEBEBElEll 3- -14 由两种材料粘结成的阶梯形杆如图所示，上端固定，下端与地面留有空隙mm 08. 0。铜杆的21cm 40A，GPa 1001E，161C 105 .16； 钢 杆 的22cm 20A，GPa 2002E，162C 105 .12，在两段交界处作用有力 F。试求： (1) F 为多大时空隙消失； (2) 当kN 500F时，各段内的应力； (3) 当kN 500F且温

17、度再上升C20时，各段内的应力。 1mF2m.1铜钢2. F1 F2 F 解：解： 1由111AElF 可得 铜 钢 5-11 32311110110401010008. 0lAEFN32kN 2当kN500F时，空隙已消失，并在下端产生支反力，如图所示，故为一次超静定问题。 (1) 静力平衡方程 0yF： 021FFF 即 32110500 FF (2) 变形协调方程： 22221111AElFAElF 即： 08. 010201020010210401010010123322331FF 即： 32221 FF 由解得： 3 4 41FkN， 1562RkN 231104010344MPa8

18、6MPa 232102010156MPa78MPa 3当kN500F且温度再上升 20时，仍为一次超静定问题，此时静力平衡方程仍为式，而变形协调方程为 221122221111ltltAElFAElF 即 08. 010220105 .1210120105 .16 102010200102104010100101363649322331FF 即： 321103002 FF 由解得： 3 .2331FkN， 7 .2662RkN 3 .58MPa1040103 .233231MPa 4 .1 3 3M P a1020107 .266232MPa 5-12 第五章 梁的基础问题 5- -1 试用截

19、面法求图示梁中nn横截面上的剪力和弯矩。 FQ (b) q=4kN/m n n (a) A B 1m 2m 1m n n A B C C FAy 2m 2m 2m F1=8kN F2=6kN FQ 4kN/m 6kN M O 8kN 6kN M O 解：解： (a) 将梁从 n-n 横截面处截开，横截面的形心为 O，取右半部分为研究对象，设 n-n 横截面上的剪力弯距方向如图所示。 0yF： 068QF， 14QFkN 0OM： 03618M， 26MmkN (b) 对整个梁 0BM： 01644AyF， 6AyFkN 将梁从 n-n 横截面处截开，横截面的形心为 O，取左半部分为研究对象，设

20、 n-n 横截面上的剪力弯距方向如图所示。 0yF： 0246QF 2QFkN 0OM： 012426M 4MmkN 5- -2 试用截面法求图示梁中 1-1 横截面和 2-2 横截面上的剪力和弯矩。设 1-1 横截面和 2-2 横截面无限接近于载荷作用位置。 Me FBy FAy FBy FAy A B 1 2 2 1 (b) l/2 l/2 (a) A B 1 2 2 1 l/2 l/2 F FQ1 M1 F/2 FQ2 M2 F/2 FQ1 M1 Me /l FQ2 M2 Me /l 解：解： (a) 以整个梁为研究对象，求得支反力： 2FFFByAy 由截面法，分别以 1-1 横截面的

21、左半部分和 2-2 横截面的右半部分为研究对象， 5-13 求得： 21QFF， 41FlM 22QFF， 42FlM (b) 以整个梁为研究对象，求得支反力： lMFAye，lMFBye 由截面法，分别以 1-1 横截面的左半部分和 2-2 横截面的右半部分为研究对象， 求得： lMFe1Q， 2e1MM lMFe2Q， 2e2MM 5- -3 试写出图示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 (a) F=10kN Me=12kNm A B C FAy FBy x x x FQ(kN) 7 3 M(kNm) 12 9 3m 3m 解：解： 1求支反力 0CM： 0310126AyF， kN7A

22、yF 0yF： 010 ByAyFF， kN3ByF 2列内力方程 63 kN 330 kN 7)(QxxxF 63 30 mkN )6( 3mkN 127)(xxxxxM 3作内力图 (b) FQ FBy FAy q A C B l l/2 ql x x ql ql M ql2/2 解：解： 1求支反力 0BM： 02212lqlqllFAy， 0AyF 5-14 0yF： 0qllqFFByAy， qlFBy2 2列内力方程 23 0 )(QlxllxqlqxxF 23 0 )23(2)(2lxllxxlqlqxxM 3作内力图 5- -4 试画出图示梁的剪力图和弯矩图。 q (b) a

23、a qa2 a a (a) C Fa 2F A B C A B Fa Fa M FQ qa2 2qa qa2/2 qa2/2 M FQ 2F 解： 5-15 q B A q=30kN/m (d) 1m 1m 1m 1m F=20kN D C E (c) l/2 l/2 q B A C FCy=40kN FEy=40kN M ql2/16 9ql2/128 FAy=3ql/8 FBy=ql/8 30 FQ (kN) 10 10 30 M(kNm) 15 15 5 FQ 3l/8 3ql/8 ql/8 解： 5- -5 试用QF、M 与 q 之间的微分关系判断图示梁的内力图形态，画出内力图，并求出

24、maxQF和maxM。 (a) qBAaaqC M FQ qa qa2/2 qa2 解：解： FQ图： AC 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。 M 图： CB 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。 在 C 截面处，FQ图连续，M 图光滑。 5-16 (b) qCAB2 aaqa2 M FQ 5qa/3 qa2 18252qa qa/3 342qa 5a/3 解：解： 1求支反力 0BM： 02232qaaaqaFAy， 35qaFAy 0yF： 02 aqFFByAy， 3qaFBy 2判断内力图形态并作内力图

25、 FQ图: AC 段：q为常数，且0q，FQ图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在距A端a35截面处，M 取极大值。 M 图： CB 段：0q，FQ图为水平直线，且0QF，M 图从左到右为向下的斜直线。 在 C 截面处，FQ图连续，M 图光滑。 (c) qDABaaP=qaaC 3qa2/2 M FQ 2qa qa qa2 解：解： 1求支反力 0BM：02223aqaaaqaFAy， qaFAy2 0yF： 02qaaqFFByAy， qaFBy 2判断内力图形态并作内力图 FQ图: AC 段：q为常数，且0q，QF图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。C截面处，有

26、集中力F作用，QF图突变，M 图不光滑。 M 图： CD 段：q为常数，且0q，QF图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。 DB 段：0q，QF图为水平直线，且0QF；M图从左到右为向下FBy FAy FAy FBy F 5-17 的斜直线。 (d) q =6kN/mCAB1mm =8kN m.1m4mD FQ(kN) 9.3 14.7 9.3 18.0 1.3 2.45 M(mkN) 解：解： 1求支反力 0BM： 04621862AyF，kN 3 . 9AyF 0yF： 046ByAyFF， kN 7 .14ByF 2判断内力图形态并作内力图 QF图： AD 段，0q，为水平直

27、线； DB 段，0q，从左到右为向下的斜直线。 M 图： AC 段，0q，且0QF，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶eM作用，有突变； CD 段，0q，且0QF，从左到右为向上的斜直线，且与 AC 段平行； DB 段，0q，为向上凸的抛物线； 在距B端2.45m截面处，0QF，M 取极大值。 5- -6 6 图示起吊一根单位长度重量为 q（kN/m）的等截面钢筋混凝土梁，要想在起吊中使梁内产生的最大正弯矩与最大负弯矩的绝对值相等，应将起吊点 A、B 放在何处（即?a）？ 解：解： 作梁的计算简图如图（b）所示，作梁的弯矩图，图（c）所示。 由maxmax MM， 即 2482q

28、aalql 即 0422llaa 由此求得上述方程的非负解为 lla2 0 7. 0212 22222lqalql q M 22qa 22qa ql/2 ql/2 F=ql B A a a l eM FBy FAy 5-18 5- -7 图示简支梁受移动载荷 F 的作用。试求梁的弯矩最大时载荷 F 的位置。 B A l F x Flxlx M 解：解： 设载荷 F 移动到距 A 支座为 x 位置，梁的弯距图如图（b）所示梁的最大弯矩发生在载荷 F 所在截面，其值为 1、 求支反力 0BM：0)(xlFlFAy，FlxlFAy 2、做 M 图，并求 Mmax FlxxlxMmax 3、求 Mma

29、x最大时的位置 由 02ddmaxxllFxxM 由此求得 2lx 即：当移动载荷F位于梁的中点时梁的最大弯矩Mmax达到最大。 5- -8 长度mm 250l、 横截面宽度mm 25b、 高度mm 8 . 0h的薄钢尺，由于两端外力偶矩的作用而弯成中心角为60的圆弧。已知钢的弹性模量GPa 210E，试求钢尺横截面上的最大正应力。 解：解： 根据题意 l， zEIM1 可以得到 lEEIMz 故钢尺横截面上的最大正应力为 M P a 9 .3 5 1 MPa 28 . 0250310210 23maxmaxhlEIMyz 5-19 5- -9 图示矩形截面简支梁。试求 1-1 横截面上 a、

30、b 两点的正应力和切应力。 8kN1AB1000120010001.101504075ba 解：解： 1求 1-1 横截面上的剪力和弯矩 0BM： 0182 . 2AyF， kN 1140AyF 截面上的剪力和弯矩为：kN 114011QF，mkN 114011M 2求 1-1 横截面上 a、b 两点的应力 4643mm101 .21mm1215075zI MPa 0 . 6MPa101 .214021501011406611zaaIyM MPa 0.4MPa 101 .21752402150407510114063*11QzzabISFMPa 9 .12MPa101 .21215010114

31、06611zbbIyM 0b 5- -10 为了改善载荷分布，在主梁 AB 上安置辅助梁 CD。若主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为1zW和2zW， 材料相同， 试求 a 的合理长度。 4alF 4Fa 2al 2a 2a 2al B A F C D MCD MAB 解：解： 1作主梁 AB 和辅助梁 CD 的弯矩图 2求主梁和辅助梁中的最大正应力 主 梁： 11m a xm a x4zzABABWalFWM 辅助梁： 22m a xm a x4zzCDCDWFaWM 3求a的合理长度 最合理的情况为 maxmaxCDAB 即： 2144zzWFaWalF FAy 5-20 由此求得： lWWW

32、azzz212 5- -11 钢油管外径mm 762D，壁厚mm 9t，油的重度31mkN 3 . 8/， 钢 的 重 度32mkN 67/， 钢 管 的 许 用 正 应 力MPa 170。若将油管简支在支墩上，试求允许的最大跨长 l。 q ql2/8 l D d 解：解： 1油管的内径mm7442 tDd 作油管的受力简图如图所示，其中 k N / m 104)744762(761047443 . 8 4)(46226222221dDdq kN/m 2 . 5 2求允许的最大跨长 l 4124444m 107447626464dDIz 43m1051. 1 由zzzIDqlIDqlIyM16

33、2822maxmaxmax，得到 lm 1 .32m 107621023. 5101701051. 116163363qDIz 允许的最大跨长为m 1 .32。 5- -12 图示正方形截面悬臂木梁承受均布载荷作用。已知木材的许用正应力MPa 10。 现需要在梁的 C 截面中性轴处钻一直径为 d的圆孔，试问在保证该梁强度的条件下，圆孔的最大直径 d 可达多少（不考虑圆孔处应力集中的影响）？ 250 1000 2kN/m 5kN A B C 160 d y z C-横截面 解：解： 要保证在 C 截面钻孔后的梁的强度条件， 即要求 C 横截面上的最大正应力不超过材料的许用正应力，故 mkN 10

34、25010002211025010005623CM mkN 3 . 4 433433mm 160340mm 1216012160160ddIz mm 80mm2160maxy 由 16040333maxmaxmaxdyMIyMCzC，可得 dmm4031603max3yMC mm 115mm 104080103 . 43160363 5-21 5- -13 图 示 T 形 截 面 铸 铁 梁 。 已 知 铸 铁 的 许 用 拉应力MPa 40t，许用压应力MPa 160c。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将横截面由 T 形倒置成形，是否合理？为什么？ 解：解： q=10kN/m B

35、 A F=20kN D C 200 200 30 30 y zC 30kN 10kN 2m 3m 1m yC 10 20 M(kNm) 1求支反力，作弯矩图，并求Cy和zCI mm 5 .157mm30200302001003020021530200Cy 4642323mm 101 .60 mm5 .573020012200305 .57302001230200zCI 2强度校核 B 截面：24.1MPaMPa 5 .721020t6tzCBBI上 .4MPa25MPa5 .1571020c6czCBBI下 C 截面： 26.2MPaMPa5 .1571010t6tzCCCI下12.1MPaM

36、Pa5 .721010c6czCCCI上 3若横截面由 T 形倒置成形时，MPa 2 .52tt下上BBB，不合理。 5- -1 14 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知kN 5F，m 5 . 1a，木材的许用正应力MPa 10。试确定当抗弯截面系数最大时矩形截面的高宽比bh/以及锯成此梁所需木料的最小直径 d。 B A F C D F a a 3a h d y b z Fa M 解：解： 1作弯矩图 2求高宽比 2226161bdbbhWz 由0ddbWz，求得 3db ，bbdh222 抗弯截面系数最大时的高宽比为：2bh，此时，393dWz 3求所需材料的最小直径 由3maxmax3

37、9dFaWMz，得到 dmm 227mm 10105 . 110539393333Fa 5-22 5- -15 一悬臂梁长为mm 900，在自由端受集中力 F 作用，此梁由三块mm 100mm 50的木板胶合而成，如图所示，图中 z 轴为中性轴，胶合缝的许用切应力MPa 35. 0。试按胶合缝的切应力强度条件确定许用载荷F，并求在此载荷作用下梁的最大正应力。 F FQ M Fl F 100zy505050 解：解： 1求许用载荷 46433mm 101 .28mm1215010012bhIz 343*mm 1025mm5050100zS 由胶合缝的切应力强度条件 zzzzbIFSbISF*Q，

38、得到 FN 3934N 102535. 0101 .2810046*zzSbIF 2求梁的最大弯曲正应力 MPa 45. 9MPa 101 .28215090039346maxmaxmaxzIyM 5- -16 若图示梁的许用正应力MPa 160，许用切应力MPa 100，试选择工字钢的型号。 10kN/m B A 4kN C 4m 2m FAy=18kN FBy=26kN 22 16.2 8 M(kNm) 1.8m 18 4 FQ ( kN ) 解：解： 1求支反力，作剪力图和弯矩图。 kN 22maxQF，mkN 2 .16maxM 2按正应力强度条件选择工字钢型号 由zWMmaxmax，

39、得到 zW336maxcm 25.101mm160102 .16M 查表选No14 工字钢，其 3cm 102zW，mm 5 . 5b，cm 0 .12*maxzzSI 3 切应力强度校核 M P a 3 .33MPa 1205 . 510223*maxmaxQ*maxmaxQmaxzzzzSIbFbISF 5-23 满足切应力强度条件。 选择No14 工字钢。 5- -17 图示木梁受移动载荷kN 40F作用。已知木材的许用正应力MPa 10，许用切应力MPa 3，m 1l，木梁的横截面为矩形截面，其高宽比2/3/bh。试选择此梁的横截面尺寸。 PAB1mbzyhx 解：解： 1求maxM和

40、maxQF 当移动载荷 F 位于任一位置 x时， 梁的剪力图和弯矩图如图所示， xFxxM1max 令 0maxxM，求得：当m 5 . 0 x时，4)(maxmaxmaxFxMM 当0 x或m 1x时 ，FFmaxQ 2选择截面 由正应力强度条件32maxmax4964hFlbhFlWMz，可得 hmm 208mm 10410110409 493333Fl 由切应力强度条件2maxQmax492323hFbhFAF，可得 hmm 173mm 3410409 493F hmm 208，32hb mm 139。 5- -18 试问在用积分法求图示梁的变形时有几个积分常数？试列出相应的边界条件和连

41、续性条件。 (a) 四个 当0 x时， 01Ay，01A； 当ax 时， CCyy21，CC21。 (b) 六个 当ax 时， 021AAyy，AA21； 当bax时， 032BByy， BB32。 (c) 六个 当0 x时， 01Ay，01A； 当ax 时， BByy21； Me Me F q Me a a (a) (b) F a b l (c) q l (d) l1 a b a 1 2 2 1 2 1 3 3 D A B C A B C A B C A B C F QF Fx(1-x) M F(1-x) Fx 5-24 当bax时， 032CCyy， CC32。 (d) 二个 当0 x时，

42、0Ay， 当lx 时，11112AEqlllyB 5- -19 试用积分法求图示外伸梁的A、B及Ay、Dy，设梁的抗弯刚度 EI 为常数。 y A B C D q F=ql/2 l/2 l/2 x x l 解：解： AB 段(20lx )： qlxxMyEI211 12141CqlxyEI 1131121DxCqlxEIy BC 段(232lxl)： xlqlxlqxMyEI2341232122 223223812361CxlqlxlqyEI 22342232324123241DxlCxlqlxlqEIy 边界条件： 当2lx 时，01y：022121 113DlClql 0 2y：02412

43、41 2244DlCqlql 当23lx 时，02y：02D 连续性条件： 2lx ，21：233128161241 CqlqlClql 由求得：022 DC，31485qlC，41241qlD 。 转角和挠曲线方程为 AB 段：EIqlxEIqly4854321 EIqlxEIqlxEIqly24485124331 BC 段：232238236xlEIqlxlEIqy 5-25 34223242324xlEIqlxlEIqy 由此可得到： 485301EIqlyxA， EIqlylxB24321， 24401EIqlyyxA， EIqlyylxD38442。 5- -20 试用叠加法求图示梁

44、指定截面的挠度和转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 (a) A,Cy MCABl/2Fl/2e 解：解： 1当 F 单独作用时，查表得 EIFlAF162 EIFlyCF483 2当eM单独作用时，查表得 EIFlEIlMAM662ee EIFlEIlMyCM161632ee 3当 F 和eM共同作用时， EIFlEIFlEIFlAMAFA4811616222e EIFlEIFlEIFlyyyCMCFC121648333e (b) C,Cy Cqy 1CF Bq eBM F Me=Fa a a F=qa q A C B F 5-26 解： 1当 q 单独作用时，查表得 EIqaBqCq243，

45、EIqaayBqCq244 2当 F 单独作用时，查表得 EIqaEIaqaEIaqaCFBMCF65233221e EIqaEIaqaaEIqayayCFBMCF32334331e 3当 q 和 F 共同作用时， EIqaEIqaEIqaCFCqC24196524333 EIqaEIqaEIqayyyCFCqC853224444 5- -21 欲在直径为 d 的圆木中锯出抗弯刚度最大的矩形截面梁。试求该截面高度 h 和宽度 b 的合理比值。 dbh. 解：解： 欲使抗弯刚度zEI最大，当E一定时，即要求zI最大。 方法一方法一： 322312112hhdbhIz 由 01243dd22222

46、hdhhdhIz 得到 dh23，dhdb2122 高度与宽度的合理比值为：3bh。 方法二方法二： 12sincos12sincos123433dddbhIz 由 cossin3cossin12dd244dIz 03tancossin122224d 和 900 得到高度与宽度的合理比值为：3tanbh 5- -22 已知一钢轴的飞轮 A 重kN 20F， 轴承 B 处的许用转角5 . 0B，钢的弹性模量GPa 200E。试确定轴的直径 d。 a=1m b=2m A F=20kN B C d F Fa （b） F （a） （c） d 5-27 解：解： 1作轴的受力简图，如图(b)所示 2由刚

47、度条件确定轴的直径 由图(c)， 42464601806433EdFabdEFabEIbFaBB 可得 dmm 112mm 5 . 01020010210110206460646043233342BEFab 5- -23 试用叠加法画出图示梁的弯矩图。 5-28 ql/4 q ql/8 ql/8 ql/4 5ql/8 q ql/8 3ql/4 C A q F=ql/4 D B (a) l/2 l/2 l/2 = + ql2/8 ql2/16 ql2/8 = + M ql/4 ql/2 ql/8 ql/8 = + FQ ql/8 ql/2 5-29 q qa qa 3qa2 qa qa qa2

48、q 2qa 4qa2 qa 2qa qa 2qa qa2 a 2a (b) q qa A B C FQ = = + + 4qa2 2qa2 3qa2 2qa2 M = + 2-30 5- -24 图示桥式起重机大梁上小车的每个轮子对大梁的压力均为 F，小车的轮距为 d，大梁的跨度为 l。试问小车在什么位置时梁内的弯矩最大？其最大弯矩值等于多少？最大弯矩在何截面？ 解：解： 1求支反力，作弯矩图 当小车的左轮运动到距梁左端 A 为 x 位置时，由 0AM： 0)(lFdxFxFBy 得 FldxFBy2 由 0yF： 02ByAyFFF 得 FldxlFAy22 FlxdxlxFMAyC)22(

49、 FldxldxdxlFMByD)(2()( FdldxlMdFFMCAyC2)( 2求最大弯矩及其所在截面和小车的位置 当02dxl，即2dlx时，小车右轮所在截面(即 C 截面)上的弯矩为最大弯矩，即CMMmax 令0ddxMC，得432dlx，故此时FldlM8)2(2max 当02dxl，即2dlx时，小车左轮所在截面(即 D 截面)上的弯矩为最大弯矩,DMMmax 令0ddxMD，得42dlx，故此时FldlM8)2(2max 5- -25 图示外伸梁用a25工字钢制成，其跨长m 6l，且在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用。当支座处的截面 A、B 以及跨中截面 C 上的最大正应力均

50、为MPa 140时，试问外伸部分的长度 a 及载荷集度 q 各等于多少？ qaEDBlaACl / 2zy 解：解： M 2242alq qa2/2 qa2/2 1求支反力，作弯矩图 由对称性可得， )2(alqFFByAy 2确定a和q 查表得：No25a 工字钢的4cm 5020zI，mm 250h。 对截面 A、B： 由zzBAIhqaIhqa42222maxmax，得到 mN 10124. 1mN10250105020101404453862hIqaz 对截面 C： FAy FBy + MC MD M FlFdxAB 2-31 由zzCIhaqIhalq49224222max，得到 m

51、N 1012. 14952hIaqz 由解得：kN/m 24.9q，m 12. 2a。 5- -26 图示起重机下的梁由两根工字钢组成，起重机的自重kN 50G，最大起重量kN 10P。钢的许用正应力MPa 160，许用切应力MPa 100。试先不考虑梁的自重影响按正应力强度条件选择工字钢型号，然后再考虑梁的自重影响进行强度校核。 PBA10mG1m4m1m 解：解： 1求支反力，作弯矩图 由起重机的平衡， 得到 kN 10CyF kN 50DyF 当起重机的 C 轮运动到距梁左端为 x 位置时， 由梁 AB 的平衡，得到 xFAy650 106 xFBy 2按正应力强度条件选择工字钢型号 由

52、于CyDyFF，所以梁中的最大弯矩发生在 D 截面 xxxMD8106 令0)( xMD，求得当m619x时，梁的最大弯矩为 mkN 2 .140)6/19(maxDMM 一根工字钢承担的弯矩为 mkN 70.1mkN 22 .140maxM 由正应力强度条件zWM1maxmax，得到 zW336maxcm 75.438mm 160101 .70M 查表选 Noa28工字钢，其 3cm 508zW，cm 6 .24*zzSI，mm 5 . 8b。 3考虑梁的自重时强度校核 查表得 Noa28工字钢的理论重量为m/kg492.43，两根工字钢的重量相当于N/m851q的均布载荷， 其受力简图和相

53、应的内力图如右图所示。 当起重机的 C 轮运动到距梁左端 A 为 x 位置时，得到 xFAy626.54 26.146 xFBy （1）正应力强度条件校核 xxxMD885.1043. 6 令0)( xMD， 求 得 当m16. 3x时，梁的最大弯矩为 mkN 9 .150)16. 3(maxDMM F P G FCy FDy C D 10kN 50kN FAy FBy x M (50-6x)x (6x+10)(8-x) (54.26-6.43x)x 6x+14.26 42.56-6.85x 54.26-6.85x 10kN 50kN FAy FBy x M (6.43x+10.85)(8-x

54、) QF 54.26-6x 6.85x+7.44 0.852kN/m 44.26-6.85x 2-32 一根工字钢承担的弯矩为 mkN 75.5mkN 29 .1501maxM 148.5MPaMPa105081043.7536maxmaxzWM （2）切应力强度条件校核 当起重机的 D 轮运动到梁右端 B，即m 8x时，梁的剪力最大，即 kN 62.26kN 26.14868maxQxByFF 一根工字钢承受的最大剪力为kN 13.312maxQ1QmaxFF MPa 9 .14MPa 2465 . 81013.313*1maxQmaxzzSIbF 满足强度要求。 5- -27 图示简支梁的

55、左右支座截面上分别作用有外力偶矩AMe和BMe。若使该梁挠曲线的拐点位于距左端支座3/ l处，试问AMe和BMe应保持何种关系？ MABleBMeA 解：解：由 0BM可求得lMMFeBeAAy 故梁的弯矩方程为 ABAAAyMxlMMMxFxMeeee 在拐点处有 03 lxy 因为 xMyEI 故要求 03233eeeeeABABAMMMllMMlM 即两外力偶矩之间的关系为 ABMMee2 5- -28 图示弹簧结构中mm 450a， 弹簧的平均半径mm 80R，簧丝直径mm 20d，圈数7n，材料的切变模量GPa 80G。在载荷N901F和N2202F作用下，若梁段 CDE 的端点 E

56、 的位移等于弹簧伸长的5 . 1倍，试求梁段 CDE 的抗弯刚度EI。 CAE45090N220N450 450 450DB 解：解： 1求支反力 对梁段 ABC 的由 0cM可得 N 180ByF 对梁段 CDE 的由 0cM可得 N 440DyF 对整个梁，由 0yF可得 N 310CyF 2求弹簧的伸长 mm 5.6mm201080780310646443343GdnRFCy FBy FAy FCy FDy 2-33 3求 E 点的位移 考虑梁段 CDE (a) 先将 C 点看作固定铰支座 由叠加法 EIaFaEIaaFayDEF333221 EIaFyEF3322 EIaFyyyEFE

57、FEF323221 (b) 由弹簧伸长引起的 E 点位移 Ey (c) E 点的总位移 EIFayyyEEFE323 4求梁段 CDE 的抗弯刚度 根据题意 5 . 1Ey 由式求得 223332mkN 8 . 4mN106 . 5345. 0220434aFEI 5- -29 图示悬臂梁 AB 和简支梁 CD 均用18 工字钢制成，BG为圆截面钢杆，直径mm 20d，钢的弹性模量GPa 200E。若kN 30F，试求简支梁 CD 中的最大正应力和 G 截面的挠度。 1.4m 2m 2m F B D C G A FN F FN FN FN B D C G A G B 解：解：为一次超静定问题。

58、 变形协调方程： GBGByly 即 zCDBGzABEIlFFEAlFEIlF4833NN3N 即 zzIFFAFIF344 . 138NNN 查表得 4cm 1660zI，3cm 185zW 由式求得： kN 8 . 9NF CD梁中的最大弯矩：mkN 2 .20mkN 448 . 930maxGCDMM 梁CD中的最大正应力：MPa 2 .109MPa 10185102 .2036maxmaxzCDWM G 点的挠度：mm 1 . 8mm 101660102004810410)8 . 930(43933Gy 2-34 5- -30 图示悬臂梁的抗弯刚度2mkN 30EI，弹簧的刚度mN

59、101753/K， 梁端与弹簧间的空隙为mm 25. 1。 当N 4 5 0F时，试问弹簧将分担多大的力？ 750F1.25BA 解：解： 若无弹簧，悬臂梁自由端的挠度为 mm 25. 1mm 11. 2mm103037504503933EIFlyB 因此，为一次超静定问题，弹簧受压。设弹簧力为RF，则变形协调方程为 EIlFFKF31025. 13R3R 即 93RR1030375. 045025. 1175FF 由此求得 N 6 .82RF 2-35 六 剪 切 6 1 如图所示拉杆接头。已知销钉直径30 dmm，材料的许用剪应力60 MPa，欲传递拉力100 PkN，试校核销钉的剪切强度

60、。若强度不够，则设计销钉的直径。 PP 解：解： 1校核销钉的剪切强度 623221030101002242dPdPPa7 .70MPa 销钉的剪切强度不够。 2设计销钉的直径 由剪切强度条件422dP，可得 d6310601010022Pm6 .32mm 6 2 如图所示凸缘联轴节。凸缘之间用四只对称分布在800 Dmm圆周上的螺栓联接，螺栓内径10 dmm，材料的许用剪应力60 MPa。若联轴节传递转矩2000 MmN ，试校核螺栓的剪切强度。 0MMD00 D0QM0QQQ 解：解： 设每个螺栓承受的剪力为 Q，则由 0042MDQ 可得 002DMQ 螺栓的剪应力 3620202001