运筹学第09章北邮

1、管理与人文学院管理与人文学院 忻展红忻展红 1999，4第十章第十章 存储理论存储理论Inventory Theory Inventory Theory 平抑波动，保障供给平抑波动，保障供给2存储理论存储理论 (Inventory Theory)与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象与排队现象一样，存储是一种常见的社会和日常现象平抑波动，保障供给平抑波动，保障供给两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用两方面的矛盾：短缺造成的损失和存储形成的费用起源于物资管理和生产过程控制起源于物资管理和生产过程控制经典存储理论和现代经典存储理论和现代物流管理物流管理 经典研究最佳订货周期和订货量

2、经典研究最佳订货周期和订货量 现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如现代研究如何将存储降至最低，减少和优化物流环节，如 JIT，MRPII，Supply Chain现代物流管理的原因现代物流管理的原因 产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商产品个性化、地皮价格暴涨、专业化生产、信息系统、商业信誉业信誉本章只介绍经典存储理论的基础本章只介绍经典存储理论的基础310.1 存储系统、费用和管理存储系统、费用和管理存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求存储过程通常包括三个环节：订购进货、存储和供给需求存储系统的中心可视为仓库，如下图存储系统的中心可视为仓库，如下图对

3、对存储系统而言，外部存储系统而言，外部需求一般是需求一般是不可控不可控的因素，但可以的因素，但可以预测；总体上需求可分为预测；总体上需求可分为确定型确定型的和的和随机型随机型的的但但订购时间订购时间和和订购量订购量一般是一般是可控可控的因素。问题是：什么时的因素。问题是：什么时间订货，一次订多少？间订货，一次订多少？仓仓库库( (库库存存量量) )订订购购进进货货供供给给需需求求输输入入输输出出备运期备运期：从订购单发出到物资运到入库这段时间：从订购单发出到物资运到入库这段时间 备运期可能是确定型的，也可能是随机型的备运期可能是确定型的，也可能是随机型的几种相关的费用几种相关的费用 订购费订购

4、费：包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无：包括联系、质检、运输、入库等与订购数量无关的一次性费用关的一次性费用 物资单价物资单价：是否与时间有关？是否与批量有关？：是否与时间有关？是否与批量有关？4 存储费存储费：包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存：包括保管费、仓库占用费、流动资金利息、存储损耗费等，与时间和数量成正比储损耗费等，与时间和数量成正比 缺货损失费缺货损失费：两种形式，停产形成的真正损失；商店断：两种形式，停产形成的真正损失；商店断货形成的机会损失货形成的机会损失存储策略存储策略：确定订货的间隔时间和订购量：确定订货的间隔时间和订购量 定期补充法定期补充法：以固定的时间间

5、隔订货，每次订货要把储：以固定的时间间隔订货，每次订货要把储量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压量恢复到某种水平。简单但容易造成缺货或积压 定点补充法定点补充法：当存货量下降到某点就订货，每次的订货：当存货量下降到某点就订货，每次的订货量可以是固定的。称为量可以是固定的。称为(s, S)策略，策略，s 代表代表订货点订货点，S 代代表最大储量，因此表最大储量，因此订货量订货量为为 Q=S s。要监视订货点。要监视订货点分类管理法分类管理法：按照占用流动资金的多少或总的存储费的大：按照占用流动资金的多少或总的存储费的大小将存储物资分为三类，如下表所示。第一类是管理重点，小将存储物资分为三类

6、，如下表所示。第一类是管理重点，第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货第二类适当控制，第三类大体估算，可多存一些以免缺货60 % 以上以上510 %2030 %6070 %1520 % 10 % 以下以下占总资金的占总资金的 %占全部品种的占全部品种的 %第一类第一类第二类第二类第三类第三类510.2 确定型存储模型确定型存储模型备运期和需求量都是确定性的称为备运期和需求量都是确定性的称为确定型模型确定型模型，若其中有一，若其中有一 个是随机的，则称为个是随机的，则称为随机型模型随机型模型。本节只介绍确定型模型。本节只介绍确定型模型 10.2.1 不允许缺货模型不允许缺货模型模型假

7、设模型假设 单位时间的需求量为常数单位时间的需求量为常数 D (称为称为需求率需求率) 备运期为备运期为 0；不允许缺货；各种参数均为常数；不允许缺货；各种参数均为常数 设订货量为设订货量为 Q，订货周期为，订货周期为 t，需求率为，需求率为 D 一次订购费为一次订购费为 Cd，单位物资单位时间的存储费为，单位物资单位时间的存储费为 Cs定性分析定性分析 每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加每次订购量小，则存储费用少，但订购次数频繁，增加订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减订购费；每次订购量大，则存储费用大，但订购次数减少，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期少

8、，减少订购费；因此有一个最佳的订货量和订货周期定量分析定量分析 每次订购量每次订购量 Q=Dt(1) 平均储量平均储量 = 0.5Q6不允许缺货模型的推导不允许缺货模型的推导可比性原则可比性原则 单位相同，时间相同；目标函数的含义相同单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期 Q 不同，周期长度不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为也不同，因此目标函数应为单位时单位时间内的总费用间内的总费用)2(2121)(QCQDCQCtCQCsdsd 单单位位时时间间的的存存储储费费单单位位时时间间平平均均订订购购

9、费费单单位位时时间间内内总总费费用用 单位时间内总费用是订货量单位时间内总费用是订货量 Q 的非线性函数的非线性函数ttttQ1/2Q储储量量平平均均存存量量7不允许缺货模型的推导不允许缺货模型的推导由由 C(Q) 曲线可见曲线可见 Q0 点使点使单位时间总费用最小，称单位时间总费用最小，称为为经济订货量经济订货量 (Economic Order Quantity, E.O.Q)根据根据 (2)式求经济订货量式求经济订货量 Q0，对，对 C(Q) 求导求导)5(2)()4(2 ,)1( )3(2021)(00002sdsdsdsdCDCQCDCCtQCDCQCQDCdQQdC 得得式式代代入入

10、将将解解得得QQ0QCs21QDCd)(QC8 不允许缺货模型的及点说明不允许缺货模型的及点说明1、没有考虑物资单价、没有考虑物资单价 若物资单价与时间和订购量无关，为常数若物资单价与时间和订购量无关，为常数 k，则单位时，则单位时间内的物资消耗费用为间内的物资消耗费用为) ,(均无关均无关与与tQkDQkQDtkQ 2、若备运期不为零，、若备运期不为零，(3)(4)(5)式仍成立式仍成立设备运期设备运期 L 为常数为常数，则可得订货点则可得订货点 s=LD，Q0 和和 t0 都不变都不变tttQ1/2Q储储量量平平均均存存量量Ls3、灵敏度分析、灵敏度分析设实际订购量设实际订购量 Q=rQ0

11、，r 为一比例常数为一比例常数9 则实际订购量的平均总费用为则实际订购量的平均总费用为)6(121)()()(12122122121)()(000000 rrQCrQCQCrrCDCrCDCrrQCrQDCrQCQCdsdssd当当 r 由由 0.5 增大到增大到 2 时时25. 125. 1)()(00 QCrQC当当 r=1.1 比值仅为比值仅为 1.0045，可见灵敏度很低可见灵敏度很低10例例1 某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需某工厂生产载波机需电容元件，正常生产每日需600个，每个，每个存储费个存储费 Cs =0.01 元元/周，订购费每次为周，订购费每次为 Cd =50

12、元，问元，问：(1)经经济订货量为多少？济订货量为多少？(2)一年订购几次？一年订购几次？(一年按一年按 52 周计周计)，(3) 一一年的存储费和订购费各是多少？年的存储费和订购费各是多少？解解： 以周为时间单位，每周按以周为时间单位，每周按 5 天计，则天计，则 D=5 600=3000个个/周周(1)由由(3)式得式得)(547701. 0503000220个个 sdCDCQ)(48.288257. 1/52)(8257. 130005477 )2(00次每年订购次数周 DQt元元每每年年存存储储费费约约为为元元每每年年订订购购费费约约为为142454770.01520.5 142450

13、48.28 )3( 11 10.2.2 允许缺货模型允许缺货模型允许缺货，但到货后补足允许缺货，但到货后补足缺货，故仍有缺货，故仍有 Q=DtQ 为订货量，为订货量，q 为最大缺为最大缺货量货量；t 是订货周期，是订货周期，t1 是是不缺货期不缺货期， t2 是缺货期；是缺货期；最大存储量为最大存储量为 H=Q qCq 为单位缺货损失为单位缺货损失费费，其其它费用参数符号同不允许它费用参数符号同不允许缺货模型缺货模型 QqQttqQDqtDqQt22 2121 平平均均储储量量缺缺货货时时间间不不缺缺货货时时间间ttt1qH储储量量Qt20QCqQs2)(2 单单位位时时间间存存储储费费12Q

14、CqtCtqQDCqqd2222 单单位位时时间间缺缺货货费费单单位位时时间间订订购购费费 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为将将 q 代入代入(7)式，得式，得)7(22)(),(22QCqQCqQQDCqQCqsd 先对先对 C(Q, q) 对对 q 求偏导，并令导数为求偏导，并令导数为 0QCCCqQqCQCqQqCqssqs 0)(解解得得13)8(2222)(022 qqssdqsqssdsdqqsssqsqCCCCDCQCCCCCQDCQCQDCQCCCCQCCCCQC)10( )9()(2 000DQtCCCCDCqqsqsd 最最优优订订货货周周期期最最优优缺缺货货量

15、量)11(2),( 00qsqsdCCCCDCqQC 最最小小费费用用由于由于 Cq / (Cs+Cq)1，故允许缺货是有利的，是松弛问题，故允许缺货是有利的，是松弛问题 拆借现象，商店中的期货拆借现象，商店中的期货 Cq ，退化为不允许缺货模型，退化为不允许缺货模型14例例：某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批：某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是一件好事。但由于激烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司

16、所售产品的需求为所售产品的需求为 200件件/季度，每次的订货费用为季度，每次的订货费用为150元，存元，存储费为储费为 3元元/件件.年，发生缺货的损失费为年，发生缺货的损失费为 5元元/件件.季度，试分析：季度，试分析：(a)计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费用；计算采用允许缺货策略较之不允许缺货策略每年节省的费用；(b)该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总量的该公司为保持一定信誉，规定缺货量不得超过订货总量的15%，且任何一名顾客等待补货的时间不超过，且任何一名顾客等待补货的时间不超过 3周，问允许缺周，问允许缺货的最优策略能否满足要求？货的最优策略能否满足要求

17、？解解：D=800件件/年，年，Cd150元，元，CS3元元/件件.年，年， Cq20元元/件件.年。年。(a) 不允许缺货策略不允许缺货策略 Q0=283件，件，C(Q0)=848.53； Cq/Cq+CS1/2 =0.9325；允许缺货策略；允许缺货策略 Q0=303件，件，C(Q0)=791.25；(b) CS/Cq+CS =0.13043；最大缺货量；最大缺货量 q040件，故缺货比例为件，故缺货比例为 40/303=13.2%；最长缺货等待时间为；最长缺货等待时间为 t2q0 /D=40/800(年年) =18.25天天D ；Q =K t1为生为生产期总产量产期总产量； t2 为转产

18、期，为转产期，t = t1 + t2 为生产周期，为生产周期， H 最大存储量最大存储量Cd 这里称为这里称为准备费准备费 2)(22)(21211DQttQKDDKDHtKQtQkCDKQkDKHQKDK tDKHs 单单位位时时间间平平均均存存储储费费平平均均储储量量最最大大存存量量ttt1H储储量量Qt2016QDCtCdd 单单位位时时间间平平均均准准备备费费 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为KD，C(Q0)0， Q0正是正是 无仓储生产的道理无仓储生产的道理K，退化为不允许缺货模型退化为不允许缺货模型KDKCCQCQDCKQCDKQDCQCsssdsd)()12(22)(

19、)( 直接应用不允许缺货模型的公式直接应用不允许缺货模型的公式(3)，得，得 )14(12)()13(2200KDCDCQCDKKCDCCDCQsdsdsd 17 10.2.4 两种存储费，不两种存储费，不允许缺货模型允许缺货模型自有仓库容量不够，需要租自有仓库容量不够，需要租用仓库用仓库t1 租用仓库存储时间；租用仓库存储时间；t2 自自有仓库存储时间有仓库存储时间，t = t1 + t2 =Q/D 为订货周期为订货周期W 为自有仓库容量为自有仓库容量 Cr 为租用仓库存储费率，且为租用仓库存储费率，且 Cr Cs ，所以先用，所以先用租用仓库租用仓库QDCtCQWQQAQBQWQttWQA

20、DWQ tdd 平平均均订订购购费费自自有有仓仓库库的的平平均均储储量量租租用用仓仓库库的的平平均均储储量量租租用用仓仓库库存存储储时时间间2)(22 2)()(21 2211ttt1W储储量量Qt2018 故单位时间平均总费用为故单位时间平均总费用为Cr，Q0wWCr=Cs 时时，退化为不允许缺货模型退化为不允许缺货模型)15(2)()(2)(2QWQCCQCQDCBCACQDCQCsrsdsrd 对对(15)式导式导，解极值点，解极值点)16(1202)()(220222 rsrdwsrsdCCWCDCQQWQQWQCCCQDCdQdC)17( 2 )16(0才才有有效效式式只只有有当当s

21、dCDCQW 19 10.2.5 不不允许缺货，批量折扣模型允许缺货，批量折扣模型物资单价与购买批量有关。物资单价与购买批量有关。设共有设共有 n 个批量等级，等个批量等级，等级越高，批量越大，单价级越高，批量越大，单价越低越低令令 Kj 代表第代表第 j 级的批量单级的批量单价；价；Mj 代表该批量的最小代表该批量的最小一次订购量，即一次订购一次订购量，即一次订购量量 在区间在区间 Mj , Mj+1) 内，内，享有单价享有单价 Kj其它条件都同不允许缺货其它条件都同不允许缺货模型模型因此，批量折扣模型的单因此，批量折扣模型的单位时间平均总费用为位时间平均总费用为)18(2)(jdsjDKQ

22、DCQCQC Q0CCj(Q)MjMj+1DKj0.5CsQDCd /QQ0公式公式(18)只适用只适用Mj , Mj+1) 红线描出的一段红线描出的一段20 批量折扣模型最经济订货量的计算步骤批量折扣模型最经济订货量的计算步骤1、先用公式、先用公式(3)求求 Q0，若，若 Q0 落入落入 Mn , ) ，则，则 Qm= Q0；若落在若落在 Mi , Mi+1)内，则内，则2、计算、计算 Cj(Mj), j=i+1, ., n3、求、求 C(Qm)=minCi(Q0), Cj(Mj) ji例例2 某工厂每月需要某种零某工厂每月需要某种零件件 2000件，已知每件每月件，已知每件每月存储费为存储

23、费为 0.1 元，一次订购元，一次订购费为费为 100元。一次订购量与元。一次订购量与零件单价关系如下：零件单价关系如下：件件元元件件元元件件件件元元件件件件元元件件/05. 1 5000/10. 150003000/15. 130001000/20. 1100004321 KQKQKQKQ21解解：(1)不考虑单价，计算经济订货量不考虑单价，计算经济订货量 月月元元总总费费用用为为件件最最佳佳经经济济订订货货量量答答月月元元求求最最佳佳经经济济订订货货量量月月元元月月元元四四批批量量段段的的总总费费用用下下界界计计算算第第三三月月元元落落在在第第二二批批量量段段内内件件/2390 ,5000

24、 :/23902390,7 .2416,2500min)()3(/2390200005. 1500010020001 . 0500021)5000(/7 .241620001 . 1300010020001 . 0300021)3000(,)2(/2500200015. 11 . 010020002)(,20001 . 0100200022430200 mmisdQQCCCQCQCDCQ2210.3 多阶段存储模型多阶段存储模型是一种动态规划是一种动态规划可以用网路图来表示可以用网路图来表示用最短路解法用最短路解法10.4 随机型存储模型随机型存储模型 10.4.1 报童问题报童问题在合同期，

25、邮局每日定量向在合同期，邮局每日定量向“报童报童”供应报纸，但购买报供应报纸，但购买报纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入纸的顾客是随机的。报纸当日出售，一份可得纯收入 a 角角钱，若过期销售，每份亏损钱，若过期销售，每份亏损 b 角钱。如何确定日进货量使角钱。如何确定日进货量使合同期收入最大？合同期收入最大？(忽略订购费忽略订购费)供大于求：折价处理的损失相当存储费供大于求：折价处理的损失相当存储费 b供小于求：机会损失，相当缺货损失费供小于求：机会损失，相当缺货损失费 a由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小由于需求是随机的，因此应使总的期望损失最小23设设 Q 为每日定货量

26、，常数；为每日定货量，常数；x 为每日需求量，随机变量为每日需求量，随机变量x 为离散随机变量，为离散随机变量，P(x) 为分布函数为分布函数则每日损失则每日损失 C(Q) 为为 )1()()()()()( )()()(10 QxQxxPQxaxPxQbQCEQxxQbQxQxaQC期期望望损损失失当当 Q0 为最优值时，应满足下两式为最优值时，应满足下两式 )5()()1()()1()1()4()()1()()1()1()1()3()1()()2()1()(2102100000 QxQxQxQxxPQxaxPxQbQCExPQxaxPxQbQCEQCEQCEQCEQCE式式可可写写出出由由2

27、4将将(4),(1)式代入式代入(2)式，解不等式，可得式，解不等式，可得baaxPQx 0)(故故 Q0 满足下式时，总期望损失满足下式时，总期望损失 EC(Q0) 最小最小将将(5),(1)式代入式代入(3)式，解不等式，可得式，解不等式，可得baaxPQx 10)()6()()(010 QxQxxPbaaxPa/(a+b) 称为称为临界比临界比。P(x)已知，通过求累积概率可得已知，通过求累积概率可得 Q00)()()()()()()()( ,)( , 00 QQQQdxxfadxxfbdQQCdEdxxfQxadxxfxQbQCExfx则则为为其其概概率率密密度度函函数数为为连连续续随

28、随机机变变量量当当25例例2 设报纸零售商出售一份报纸的净收入为设报纸零售商出售一份报纸的净收入为 a=1角，售不出去角，售不出去时，每份亏损时，每份亏损 b=3角，已知需求量角，已知需求量 x 的概率分布如表，求：的概率分布如表，求：(1)零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收零售商应订多少份报纸才能使纯收入期望值最高？纯收入期望值是多少？入期望值是多少？(2)当当 a=b=2角角时，应订多少？纯收入期时，应订多少？纯收入期望值为多少？望值为多少？(3)只订只订 30份，纯收入期望值为多少？份，纯收入期望值为多少？)7()(0)()()(00baadxxfdxxfadxxfbdQQ

29、CdEQQQ 解解得得需需求求量量 x3031323334353637P(x)0.05 0.08 0.15 0.20 0.30 0.12 0.07 0.03 P(x)0.05 0.13 0.28 0.48 0.78 0.90 0.97 1.00解解：(1) a/(a+b)=0.25，查表可知，查表可知 Q=32。期望净收入为。期望净收入为角角28.31)08. 005. 02(431)()32()13(1323130 xxPx(2) a/(a+b)=0.5，查表可知，查表可知 Q=34。同理期望净收入为。同理期望净收入为64.24角角(3)显然期望净收入为显然期望净收入为 2 30=60角角(

30、最保守的决策最保守的决策)26情报的价值情报的价值需需求求量量 x3031323334353637P(x)0.05 0.08 0.15 0.20 0.30 0.12 0.07 0.03 P(x)0.05 0.13 0.28 0.48 0.78 0.90 0.97 1.00 假设假设 P(x) 是市场需求的真实分布是市场需求的真实分布 完全情报指完全情报指100%可靠，因此，在完全情报下的决可靠，因此，在完全情报下的决策：按情报订购策：按情报订购 但是在事先研究的情况下，我们只能假定获得需但是在事先研究的情况下，我们只能假定获得需求求x的情报的概率就等于它出现的概率的情报的概率就等于它出现的概率

31、P(x) 因此，全情报的期望收入为：因此，全情报的期望收入为： 3730300.0531 0.08320.1533 0.22340.335 0.12360.07370.0366.82xaxP x27 10.4.2 随机需求存储模型随机需求存储模型 II 缓冲储备量缓冲储备量缓冲储备量缓冲储备量t0BsQt2t2E(y)yyt2=t2备运期备运期s 为订货点，备运期为订货点，备运期 t2 为常数，为常数，备运期内总需求为随机变量备运期内总需求为随机变量 y 已知已知 y 的概率分布的概率分布 P(y)，有备运，有备运期期 总需求的期望值总需求的期望值 1)()(yyyPyE syyPR0)(备运期内不缺货的概率为备运期内不缺货的概率为备运期内缺货的概率为备运期内缺货的概率为 1 R若给定若给定 R 很高，则订货点很高，则订货点 s 提高，当提高，当 s E(y)，就出现了缓冲储，就出现了缓冲储备量备量 B， 有有 B = s E(y)，即即订货点订货点 s = B +E(y