解含绝对值的方程

1、“解含绡对值的方程”例题解析绝对值阀念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。辭含绝 对值的方程在朋中数学竞赛中经常岀现，同学m往往感到困惑，难于解答。下面 举例说明解越类方程的几种常用方法。一.运用基本公式：若冈二。仏巴°),则兀=±匕解方程M 1.解方程HX_1HI=1解：去掉第一重绝对值符号，得|-1|-1=±1移顶，得1兀一1|=2或|x_l|=°所以兀一 1 = ±2或乂一1 = 0所以原方程的解为:例2.解方程Xxx = 3, x2 = -1, j3 = 1+4x-5|= 6-2x解：g|+4x-5|=6-2xx2+4x-

2、5 = ±(6-2x)即 x2 +4x- 5= 6-2x(1)解方程（1 ），得切八3±2苗解方程（2）,得® = T2因为6-2二0,所以兀所以原方程的解为x = _1- 一3±2厉a二.运用绝对值的代数克义（心）（S解方程例3.方程|"忙-1=0的解的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 或 4 以上解：方程可化为卜-1=-（工-1）所以1兰0,所以7兰1所以方程的解有无数个，故选（D） o三.运用绝对值的非负性解方程例4方程|卩卅兀一+ 1|二0的图像是（）A.三条直线：怎=°，尹=0,入_丁 + 1=0B. 两条直

3、找：只=°，+C. 一点和一条直线：(0, 0) , x-+1=0D. 两个乩(0, 1 ) , (-1,0)解：因为|孕|20,卜_? + 1|工0而 | 心 |+|a-y + l|= 0所以11= 0且卜_丁 + 1|=0所以即仁。xp + 1 二所以原方程的图象为两个点(0, 1 ) , (-1, 0)故选(D)。EL运用绝对值的几何愆义解方程例5.解方程|"3卅+ 2|=5解:设心、5(3). C(-2),由绝对值的几何恿义知x-3=AS9 x + 2=ACABAC=5可修编JH 5C=|3-(-2)|=5所以 4E+ AC= BC从数辆上看，M)落在点*2)与点巩

4、3)的部(包播胃CV2)与点段(3)在),即原方程的解为-3<x<2o五.运用方程的图象研究方程的解例6.若关于x的方程II"牛11"有三个整数解,|1 a的值是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：作卩引2|1|的图象，如图1所示，由于方程II"2卜1|二°解的个数就是直线尸復与厂衣一 2|-1|的图象的交点个数，把直线卩皿平行于x轴上、下務动，通过观察得仅肖Q = 1时方程有三个整数解。於选(B) o同时,Sflia可以得到以下几个结沱:(1 )当QUO时，方程没有解；(2)当 = 0或。>1时，方程有两f解;（3）当0&l

5、t;«7< 1时，方程有4个解。中考数学试題分类解桥汇编专題1:实数一、选择题1. （2012省3分）-5的绝对值是【】A.5 B.1丄-5C.5 D. -"5【答案】A。【考点】绝对值。【分析】根据负数的第对值等于它的相反数，得1-5|=5。故选A。2. （2012省3分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A.0.64x107B. 6.4x106C. 64x105D. 640x10“【答案】B。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形武为ax10其中1 |a|<10, n为整数，表示时关建要正确确定a的值以及n的值

6、。在确定n的值 时，看该数是大干或等于1还是小干1。当该数夫于或等于1时，n为它的整数 位数减1;肖该数小干1时，-门为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前 的 1 个 0 ）。6400000 一共 7 位,从而 6400000=6.4x106o 故选 B。可修编-13. （ 20123分）-的绝对值是【】1 1A. 2B. -2C. 2D. 2【答案】C。【考点】绝对值。【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对値的定义，在数轴上, _1 11 1厂到原虑的距离是，所以-的绝对值是。故选C。4. （ 20123分）与2三3詔运算结果相同的是【】A. 4-2-3B. 2m （ 3x

7、4 ） C. 2- （ 4-2 ）D. 3-2-4【答案】B。【考点】有理数的乘除运算。【分析】根弼连除的性质可得：2-3-4=2- （ 3x4 ） o故选B。5. （ 20123分）实数3的倒数是【】丄丄A. - 3B. 3C. -3D. 3【签案】B。【考点】倒数。【分桥】根弼两f数乘枳是1的数互为僧数的定义，因此求一个数的fi'IUPJl1用1除以这个数.所以3的倒数为仁3=$。故选B。6. （ 20123分）已知卜一屮用之，| a+b=A. -8B. -6C. 6D. 8【答案】B。可修编【考点】非负数的性质，绝对值，算术平方,求代数式的值。【分析】JTSJ, IT"

8、，用対，.一仁0,7+b=o,解得吐1, b=-7o.-.a+b=1 + （ - 7 ） = - 6O 故选 Bo7. （ 20123 分）一卜£ =A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】D。【考点】零指数幕。【分析】根据任何非o数的o次幕等干1解答即可：一卜2）=_1o故选D。8. （ 20124分）5的绝对值是A.5 B.2 1-5C.5 D.【答案】A。【考点】绝对值。【分林】根据负数的绝对值等于它的相反数，得1-5|=5。故选A。9. （ 20124分）地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为【】A. 0.64x107B. 6.4x106 C. 64x10

9、9;D. 640x10"【答案】B。【考贞】科学记数法。【分桥】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形武为ax10n,其中1 |a|<10, n为整数，表示时关建要正确确定a的值以及n的值。在确定n的値 时，看该数是大干或等于1还是小干1。当该数大于或等于1时，n为它的整数 位数减1;肖该数小干1时，-门为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前 的 1 个 0 ）。6400000 一共 7 位，从而 6400000=6.4x106o 故选 B。10. （ 20123分）一 3的倒数是1 1A. 3 B. -3C. 3Do 3【答案】D。【考点】制数。【分林】根船两f数乘枳是1

10、的数互为倒数的定义，因此求一个数的倒数即1用1除以这个数.所以一 3的倒数为1-3）= 故选D。11. （20123分）第八届中国（）文博会以总成交8 143 300 000 000元再曲新高.将数143 300 000 000用科学记数法表示为【】A, U勿灯 O10Bo 1-433 xio11Co U33 乂 1卢Do0JL4勢 xldP【答案】B。【考点】科学记数法。【分斯】根据科学记裁法的定义，科学记数法的表示形武为ax10n,其中1 |a|<10, n为整数，表示时关建要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值 时，看该数是大干或等于1还是小干1。当该数大于或等于1时，n为它的整

11、数 位数减1;当该数小干1时，-n为它第一彳、有效数字前0的个数（含小数点前 的 1 个0 ）o 143 300 000 000 -ft 12 位，从而 143 300 000 000=1.433x10% 故选Bo可修编-12. 20124分）2的倒数是1丄A. 2B. -2C. 2D.【答案】C。【考点】（Oo【分析】根据两个数乘枳是1的数互为倒数的定义,因此求-个数的倒数即用11除以这个红 所以2的倒数为U2=2O故选C。13. 20124分）国家发改委已于2012年5月24日核准拠鉄基地项目，项 目由宝卿跌投资建设,预计投产后年产10200000 « 鉄，数折10200000用

12、科 学记数法表示为【】A. 102x10sB. 10.2x106C. 1.02x106D. 1.02x107【答案】D。【考点】科学记数法。【分桥】根册科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为ax10n,其中1w|a|<10, n为整数，表示时关建要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时， 看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数1;当该数小T 1 W, -n为它第一彳、有效数字前0的f数（含小数自前的1 个 0 ）。10200000 一共 8 位,从而 10200000=1.02x107o 故选 D。14. （ 20123分）计算一乡+2的结果是【】A.

13、 1 B. -1C. 5D. -5【答案】B。【考点】有理数的加法。可修编-【分林】根据有理数的加法运算法则廿算即可得辭：-3+2=- （3-2） = -1o 故选Bo15. （20123分）用科学记数法表示5700000,正确的是【】A. 5.7x10*B. 57x10sC. 570xlO4D. 0_57xl07【答案】A。【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形武为ax10n,其中1|a|<10, n为整数，表示时关建要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小干1。当该数夫于或等于1时，n为它的整数EUJ4 1;当该数小干1时，

14、-n为它第一彳、有效数字前0的个数（含小数点前的 1 个 0 ）。5700000 一共 7 位,从而 5700000=5.7x106o 故选 A。16. 20123分）2的倒数是【】2 1A. 2B. -2C. 2D. -2【答案】C。【考点】倒数。【分林】根弼两个数乘枳是1的数互为倒数的定义，因此求一个数的6'ISfill 用1除以这个数.所以2的倒数为1 2=2O it a CoMU二、填空题M的值1. （2012省4分）若x, y为实数，目满足区比戸"，则1丫丿是【答案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根,绝对值。2012【分林】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要

15、使X比耐"，必M Q 须有衣丹冃丫一口，pjx=3, y=3。.W匕丿2. （ 20123分）使式子亠2有总义的最小整数m是 【答案】2。【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根船二次根武被开方数必须是非负数和分式分骨不为0的条件，要 使&在实数围有恿义，必须10-2>0»>20所以最小整数m是2。3. （ 20123分）水资源丰富，水力资源的理论发电量为775000干瓦，魁个 数据用科学记数法可表示为干瓦.【笞案】7.75x105o【考点】科学记数法。【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形武为ax10n,其中1 |a|<10, n为整数

16、，表示时关建要正确确定a的值以及n的值。在确定n的値时，看该数是大于或等于1还是小干1。当该数大于或等于1时，n为它的整数 位数减1;当该数小干1时，-n为它第一彳、有效数字前0的个数（含小数点前 的 1 个 0 ）。775000 一共 6 位,从而 775000=7.75x105o4. （ 20124分）若二次根式沪有意义，则x的取值围是 .【答案k>1o【考点】二次根式有意义的条件。【分析】根稠二次根武被开方数必须是非负数的条件，要使、门在实数围有怠义，助须 x-l>0X>lo5. （ 20123分）it算用缶的结果是【答案】2。【考贞】二次根式的乘法。【分林】根据二次根

17、式乘法进行廿算:可修编t r w它门杲按定规釋排列的,26. coizr筆庆3分）观蔡下列一组数，-3那么这一组数的第k个数是躊案】苕【考点】分类归纳（数字的变化类）.【分析】根据已知得出数字分母与分子的变优规律,分子是连绫的偶数，分母杲连绫的奇数, 第“数分子罡北分母是如这-组数的第g是磊7曲生海讪计算匕【答案】十【考点】有理数的减法。【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可求解:11 1一一=一十32 3 I 2丿8. （20124分）使岳巨有总义的x的取值围是【答案】虫2。【考胃】二次根式有竄义的条件。【分桥】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使R在实数围 有恿义

18、，助须亞0门宀2。三、解答題1. (2012省6分)廿算：血-235。_(1+可+2【答案】解：z"咨-哙气。【考贞】实数的运算，特殊角的三角函数值，零捋数幕，负整数指数幕。【分ff ft对特殊角的三角函数值，零指数黑,负整数指数幕3个考点分别 ii It it算,然后根据实数的运算法则求得廿算结果。2. (2012省7分)观察下列等式：a. = =xdl)=x ()第1个等武： 1x3 23 ；第2个等式："3x5 23 5 ；第3个等武：巧一而飞込7 ;第4个等恥而飞& 9 ；请解答下列I'nJl：(1 )按以上规律列出第5个等式：a5=；(2)用含有n

19、的代数武表示第n个等式：an= ( n为正整数)；(3 )求 Qi+82+83+84+e "+8100 的值.1 1 11 !,【答案】解:(1 ) 2X 9il o ( 2 )(2n-lMai+l) 2 2n-l 2n±l丄心岸心心(j+m-丄(3 )缶+盘+亦汁+亦 2325 52572199201【考点】分类旧细(数字的变化类)。【分林】(1) (2)观察知，找等号后面的式子规律是关i8：分子不变，为1;分骨是两个连续奇数的乘枳，它们号式子序号之间的关系为：序号的2倍减 1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律廿算。可修编-3. （ 20127 分）it»：卜

20、氏 |一 2i-2sm60oi-Qj【答案】解:【考点】实数的运算，绝对值，算术平方根，特姝轴的三轴函数值，负整数【分林】针对绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幕4 个考点分别a hit算,然后根据实数的运算法则求得廿算结果。4. (20127ft)廿算：屁2口5。_(1+娜+2=S-2x-l+l=-i【答案】解：原式二22 2O【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幕，负整数指数幕。【分iff It对特殊角的三角因数值,零指数黑,负整数指数幕3个考点分别 iS It it算，然后根据实数的运算法则求得廿算结果。5. (lonryils分)计算；|4|+4r1-(73-

21、l)0-cos4502【答案】解：原式=4 + 2-1-272=4+ 2-1-2=3 .2【考点】实数的运算，绝对值，负整数指数幕,零指数幕，二次棍式化简，恃殊角的三角函数值。I：分析】针对绝对値，负整数指数幕,零指数爲,二次根式化简，特殊角的三角函数值5个考点分别进行 计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。6. (2012r?Kl 6分)计|-3|-V4+ ( -20 °【答案】解；原式=3 - 2+1=2.I：苇点】实数的运算，绝对值，算术平方根，零指数黒。分析】针对绝对值，算术平方根，零指数幕3个考点分别迸行计算，然后根据实数的运算法则求得计属 結果.7. （ 2O12r庆

22、 6 分）计算：|-372|-6sin 45°+4-1.【答案】解*原式二-3走-6x逅+丄二-3花"+ 3近+丄二1。244 4【考蠱】实数的运算，绝对值，持殊角的三角函数值，负整数:指数幕。【分析1针对绝对值，持殊角的三角函数:值，负整数指数爲3个考点分别逬行计算，然后根据实数的运曙法则求得计算结果。8. (20126 )0：面十啊)弋【笞案】解:原式=2-1+1-2=0o【考点】实数的运算，算术平方根，绝对值，零抿数幕，负整数拒数幕。【分桥】针对算术平方根，绝对值，零指数幕，负整个考点分别»fiit算,然后根据实数的运算法则求得廿算结果。专題2：代数式和式分

23、解可修编A.爪B.，C.滤D.丿【答案】A。【考点】同)K数幕的乘法。【分析】根弼同底数昴的乘法法则，同底数幕相乘，底数不变，荷数相加，即：*2-a3=a2=a5o 故选 A。2. ( 20123分)下面的廿算正晞的是【】A. 6a - 5a=1 B. a+2a2=3a3C. - ( a - b ) = - a+bD. 2 ( a+b ) =2a+b【笞案】C。【考点】去括号与添祐号，合并同类«o【分析】根据合并同类项迭则：把同类顶的系数相加，所得箱果作为系数，字 母和字骨的指数不变；去祐号法则：如果扌舌号外的因数是正数,去括号后原括号 各顶的符号与原来的符号相同；如果祐号外的因数是

24、负数，去括号后原括号各顶 的符号与原来的轩号相反，a hit算，即可选岀答案：A、6a - 5a=a,故此选顶錯淚；B、a与2(不是同类项，不能合并，故 眈选项錯溟;C、- (a-b)=-a+b,於此选顶正确；D、2 ( a+b ) =2a+2b,故此选顶 錯溟。故选C。3. (20124分)下列运算正确的是【】A. a+a=a2 B. ( - a3) 2=a5 C. 3a(=a D.(屆)_2a【笞案】D。【考点】合并同类项，幕的乘方与枳的乘方，同底数幕的乘法。【分析】根据合并同类顶，幕的乘方与枳的乘方，同底数幕的乘法运算法W- 廿算作岀判BhA. a+a=2a,故此选项錯i吴;B、 ( -

25、a3)2=a6,故此选项錯淚;C、3a-a2=3a3,故此选顶錯淚;D、(屆)二曲，故此选顶正晞。故选Do4. ( 20123分)下列运算正确的是【】A, 2fl+36=5o& Bo o3 = fl5 Cc (2a)3 =6 Dc /于/=«?【笞案】B。【考点】合并同类项，同底幕乘法和除法，幕的乘方和枳的乘方。【分析】根据合并同类顶，同底幕乘法和除法，幕的乘方和枳的乘方运算法则逐 一廿算作岀判ShA. 2任和站不是同类呱，不可以合并，选顶錯锲；B. ，& =严=贰，选顶正确；C.(勿卜尸&电5,选顼错误；D. /壬/ =选顶路误。故选B。5. ( 20124

26、分)下列运算中，正晞的是【】A. 3a2 - a2=2B. ( a2) 3=a5C. a3-a6=a9D. ( 2a2) 2=2a4【答案】C。【考点】合并同类项，同底幕乘法，幕的乘方和枳的乘方。【分析】根据合并同类顶，同底幕乘法，幕的乘方和枳的乘方运算法则逐一计算作出判撕：A. 3a2-a2=2a2,故本选顶錯蹊；B、 ( a2) 3=a6,故本选顶措锲;C. a3-a6=a9,故本选顶正确；D、 ( 2a2) 2=4a故本选顶錯锲。故选Co6. （ 20123分）要使式子庞三有jg义，则的取值围是【】A. x>0B. x>-2C. x>2D. x<2【答案】A。【考

27、点】二次根武有总义的条件。【分折】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使右在有总义，必 ®2-X>0X<2o 故选 A。7. （20123分）廿算-2a2+a2的结果为【 】A. - 3aB. - a C. - 3a2D. - a2【笞案】D。【考点】合并同类项。【分析】根据合并同类顶法则（把同类顼的系数相加作为结果的系数，字骨和字 傍的揭数不变）相加即可得岀答案:-2a2+a2= - a2° o故选D。二、填空题1. （2012 省 4 分）分解因St： 2x2-10x=A.【答案2x（x-5） o【考点】提公因武法因式分解。【分析】要将一个多顶式分解因

28、式的一般步骤是首先看各顶有没有公因式， 若有公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是 就考虑用公式法址续分解因武。因此，直接提取公因式2x即可：2x2 - 10x=2x （x-5） o2. （ 20123 分）分解因式：a3 - 8a= A.可修编-6. （2UL2广东深圳3分）分解因式- ab2 =A【笞案】a（a+2血）（a-2<5 ）。【考点】提公因式法和公式法因式分解。【分林】先提取公因式a,再对余下的名顶式利用平方差公式掘续分辭：a3 - 8a=a （ a2 - 8 ） =a （ a+2 血）（a - 2 血）o3. （ 20123分）若代数贰-4XW

29、与x2,是同类项，则常数n的值为 .【答案】3。【考点】同类顶。【分林】根据同类顶的定义列式求解即可:.代数式-4x°y与/勺是同类项,/.2n=6,解得：n=3o4. （ 20124 分）分解因式：2x2- 10x=A.【笞案2x （ x - 5 ） o【考点】提公因武法因式分解。【分林】要将一个多项武分解因武的一般步骤是首先看各项有没有公因武，若有 公因式，则把它提取岀来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考 虑用公式法继续分解因式。因此，直接提取公因式2x即可：2x2-10x=2x（ x-5）o可修编5. （ 20124 分）若 x,为实数，且满足XT+沪刊，则的值是

30、【笞案】1。【考点】非负数的性质，算术平方根，绝对值。【分林】根据算术平方根和绝对值非负数的性质，要使X比戸二必须有20U迹1=即 Xf 3。.£【答案】 匕十3 II £7-6 I o【考点】提取公因式法和应用公式法因式分解。【分析】4腑亠2 i=» ab Ia -b。三、解答題1 （20口广东省6分）先化简，再求值：（好3）（玄-引-玄（龙-2）,其中玄=4. 【答案】解：瘵式$ - 9 -以+2沪2玄-9。当 >：=4 时，原式二2>4 - 9= - Io【薄点】整式的混合运算（化简求值）。【分析】先把整式逬行化简，再把代入进行计算即可°

31、;art_b+c2. （ 20126分）化简：王-盂【答案】解：原式二11 c-a二a C 3E【考点】分武的加城法。【分林】应用分配率较简便，也可先通分，再廿算。丄十丄二訴一二一_一-一3. （201210 分）已知匚 b （a#b）,求蚱-b） f-b）的值.b _ 乂一戸 _(artj)(a-b)_ aft ，-賂案】解戸，弊2.昭为 aa-b) A(a-b) ab(a-b) 3【考点】分武的化简求值。1十1=J5鈕二訴【分析】由a b 得出，对Hah）通分（最简公分骨为a+b必（“b）,分子因武分解，约分，化简得出書，代人求岀即可。4. ( 20127 分)先化简，再求值：(x+3)

32、(x-3) -x(x-2),其中 x=4.【答案】解：原S=x2-9-x2+2x=2x-9o当 x=4 时，原式=2x4-9=-1o【考点】整武的混合运算(化简求值)。【分桥】先把整武进行化简，再flJxM代入进行廿算即可。5. ( 20129分)观察下列等式:a. =xd)第1个等式： 狂3 23 ；卄丄=1x(1-!)第2个等式： 3x5 23 5；十丄=lxd-l)第3个等式：5x725 7 ;巧丄=lxd-l)第4个等式： 7x9 27 9 ;请解答下列间题：(1 )按以上規律列出第5个等式:35=；(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an= ( n为正整数)；(3 )求 81+82

33、+83+84+aioo 的值.丄,)【笞案】解：(1 ) 9x11 29 11 o 1： 1 1(2)(2n-l)x(ai+l) 2 2n-l 4(3)31+82+83+84+丄"尼£("5丄一丄)+aioo 2325 52572199 201可修编【考点】分类IH纳(数字的变化类)。【分林】(1 ) (2)观察知，找等号后面的式子规律是关罐：分子不变，为1;分骨是两个连续奇数的乘枳，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1。(3)运用变化规律廿算。1 J 0脅2a&十沪6. ( 20126分)已知区二-3, *=2,求代数式匸亠討”云石

34、的值.a+b a+b _ 1【答案】解：原応必w+矿心位=-3,苑2时，原式=：H)x2 6【考点】分式运算法则。【分析】先将括号里侖的通分后，将除法转换成乘法，约分化简。滋后代3, "2的值，求出特殊角的三角函数值后迸行二次根式化简.7. 分）计算=丄-期X-1 X -1【答案】解：原式=-=-=亠。IX+1 II X - 1 I IX+1 II X - 1 I I x+1 II x-1 x -1【考点】分式的加减法。【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简.先化简，后求值：（14亠）-持一，其中龙=一4X-1 X -1IN 十L1 I=K+ 1B必十 L IIN 1 I8. aours：肇氏 7 分）【答案】解：瘵式匕IX原式=4+l=3ox- 1当x=4时，【考点】分式的化简求值。【分祈】先将括号內的部分通分，再将括号外的分式因式分解，然后根据分式的除法法则，将除法转化为乘法解答。9. （20126分）先化简，再求值:x2-l 1 _(xMXx-l) J_=l【答案】解：原応咿T)X+1 冷-1) x+l