2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(4)

1、第1页（共 17 页）2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（4）一选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1. （ 5 分）设集合 A= x| 1VxW2, B = - 1 , 0, 1 , 2, 3，贝 U AAB =（）A - 1, 0, 1 , 2B. 0, 1, 2C 0 , 1D. x|-1Vx0,30,0v 0 4?+4y 满足 ?+ 2?+ 6 0,则?= 粘的最大值为? 4,第4页（共 17 页）的概率为_ 16. ( 5 分)已知函数？(?= (2)?-V?+ ?,?(?= ?- 2?- ? + 2x+3，若？x1R , ?x2第 3 页(共 17 页)(

2、0, 1), f (X2)vg (xi),贝Um 的取值范围为 _三解答题(共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分)害?+ ?- 1,?为奇数、recO17 ( 12 分)已知数列an满足：ai= 1, ?+i= 2，记？?= ?(? ?).?- 2? ?为偶数(1 )求 b1, b2的值；(2) 证明：数列 bn是等比数列；(3) 求数列an的通项公式.18. (12 分)在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，/ BAD = 120 , PA=2, PB = PC = PD, E 是 PB 的中点.(1) 证明：PA 丄平面 ABCD ;(2) 设 F

3、 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 FAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值.19.(12 分)已知函数 f (x)= ax - ex(aR).(1) 讨论 f (x)的单调性；(2) 讨论 f (乂)在(0, +g)上的零点个数.20.(12 分)调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.

4、根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设 n= 4，分别以 a1, a2, a3, a4表示第一次排序时被排为 1, 2, 3, 4 的四种调味品在 第二次排序时的序号，并令 X= |1 - a1|+|2- a2|+|3- a3|+|4- a4|,则 X 是对两次排序的偏 离程度的一种描述.(如第二次排序时的序号为 1, 3, 2, 4,则 X = 2).第6页（共 17 页）(1)写出 X 的所有可能值构成的集合；第7页（共 17 页）（2）假设 ai, a2, a3+a4的排列等可能地为 1, 2, 3, 4 的各种排列，求 X 的数学期望;（3）某调味品品评师在相继进行的三

5、轮测试中，都有X?b）过点 M（ 1，1）离心率为 .（1 ）求的方程；22. （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 椭圆 C以极坐标系中的点（0, 0）为中心、点（1, 0）为焦点、（迈,0）为一个顶点.直（I）求椭圆 C 的极坐标方程;（H）若直线 I 与椭圆 C 的交点分别为 M （x1, y1）, N （x2, y2）,求线段 MN 的长度.五解答题（共 1 小题）23.设函数 f (x)= |x+1|+|x- 2|(I)求不等式 f ( x) 4 的解集;*1 1 1(n)设 a, b ,cR ,函数f(x)的最小值为m,且一

6、+= ?,求证：2a+3b+4c2?3?4? 3线 I 的参数方程是?= 1 - ?= 2?,t 为参数）.ABCD 面积的最小值.2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1. ( 5 分)设集合 A= x| 1VxW2, B = - 1 , 0, 1 , 2, 3，贝 U AAB =()A - 1, 0, 1 , 2B. 0 , 1, 2C. 0 , 1D. x|- 1Vx 2,或 x= 3【解答】 解： A = x|- 1Vx0, 30,0VVn)的图象的一个最咼?点为(-打，3)，与之相邻的一个对称中心为(?

7、,0)，将 f (x)的图象向右平移-个单1266位长度得到函数 g (x)的图象，则()A . g (x)为偶函数C. g (x)为奇函数当 x= n时，f( n)?-?-?V0，排除 C,且-2Vf (n) V0，排除 D ,故选：B.& (5 分)已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18,则该圆柱的体积是()A.54nB.36nC.27n【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为r，高为 h,D.18n2? _ 1由题意得2?*2?=2,2(2?+ ?) = 18解得 r = h= 3,则该圆柱的体积是 V =n2h= 27n故选：C.22r9. ( 5 分)在厶 A

8、BC 中，已知 b= c, a = 2b (1 - si nA),则 A=()?B.4?3?D 匚 GB . g (x)的一个单调递增区间为r5?卜巨,視?D .函数 g (x)在0,多上有两个零点?QQ【解答】解：由题可得：4?=?-(-拐 f(x)=3cos(2x+0);QQQQQQ因为 f (-1?)=3cos(2X(-住)+0=3?-?+ =Kn;0=?f(x)=3COS(2x+?； g (x)= 3cos2 (x-?+?= 3cos ( 2x-6?；是非奇非偶函数;?5?.厂令一n+2knW2x-62kn?-看+ knWx，所以 v4,4?又 t 0,所以 0 4?+4214. （5

9、 分）已知实数 x, y 满足 ?+ 2?+ 6 0 ,则?=社的最大值为-7? 4,15. （ 5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中 的概率为-.3【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示,?=箸表示平面区域内的点（x,?芦?+4?-4?= 4?+ 2?+?=，解得0?=23，即?（-33-3，故?箸的最大值为843_2 12=第16页（共 17 页）【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数 n= ? = 3,甲被选中包含的基本事件个数m= ? = 2,oo o则甲被选中的概率为P=?=3-

10、故答案为：1 2.316. ( 5 分)已知函数?(?= (2)?-V?+ ?,?(?= ?- 2?- ?+2x+3，若？X1R , ?x25(0，1)，f(X2)vg(xi),则 m 的取值范围为(-g, -).【解答】解：函数？?(?=(1)?-V?+ ?, ?(?= ? - 2?- ? + 2x+3,若？X1R,?x2 (0,1) ,f(x2)vg(xi),即 f (x2)minvg(xi)min,42 2 2 2g (x)= x - 2x (x+1) +x +2x+1+2 = x -( x+1) +2 ,又 x2-( x+1 )= 0 有解，g (x)min= 2,又?(?= (1)?

11、-V?+ ?在 0, 1)上单调递减，f (x)在(0, 1)上的值域为(m-1, m+1),1m- 2=耳,所以面 PAF 与面 EAC 所成二面角的正弦值为PrA讥/ i/Cx19.(12 分)已知函数 f (x)= ax- ex(aR).v3取 y = 1,则？?=(-才,1,- 1) , ?=?2T,|?|?第20页(共 17 页)(1)讨论 f (x)的单调性；(2)讨论 f (乂)在(0, +g)上的零点个数.【解答】解：(1) f( x)= a-ex,当 aw0 时，f( x)v0,函数在 R 上单调递减，当 a0 时，当 xvlna 时，f( x) 0,函数在 R 上单调递增，

12、当 x lna 时，f( x)v0，函数在 R 上单调递减，?(2 )令 f (x)= 0 可得 a=?设 g (x)=零 x 0,则? (?)(?；?当 x 1 时，g (x) 0，函数单调递增，当 0vxv1 时，g(x)v0，函数单调递减，故 g (x) g (1)= e，?当 ave 时，a=?在(0，+m)上没有零点，即 f (x)没有零点；?当 a = e 时，a=?在(0，+)上有一个零点，即 f (x)有一个零点；?当 a e 时，a=?在(0，+)上有 2 个零点，即 f (x)有 2 个零点；20.(12 分)调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，

13、调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设 n= 4，分别以 a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为 1，2，3，4 的四种调味品在 第二次排序时的序号，并令 X= |1 - a1|+|2- a2|+|3- a3|+|4- a4|，则 X 是对两次排序的偏 离程度的一种描述.(如第二次排序时的序号为 1，3，2，4,则 X = 2

14、).(1) 写出 X 的所有可能值构成的集合；(2)假设 a1, a2, a3+a4的排列等可能地为 1, 2, 3, 4 的各种排列，求 X 的数学期望；(3)某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有Xw2.(i)试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；(ii)请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由.第21页(共 17 页)【解答】解：(1) X 的可能值集合为0 , 2, 4, 6, 8,第22页(共 17 页)在 1 , 2, 3, 4 中奇数与偶数各有两个，所以 a2, a4中的奇数个数等于 ai, a3中的偶数个数，因此|1 - ai|+|

15、3 - a3|与|2 - a2|+|4- a4|的奇偶性相同，从而 X=( |1 - ai|+|3- a3|) + (|2- a2|+|4 - a4|)必为偶数，X 的值非负，且易知其值不大于 8.由此能举出使得 X 的值等于 0, 2, 4, 6, 8 各值的排列的例子.(2)可用列表或树状图列出 1 , 2, 3, 4 的一共 24 种排列,A1(3)(i)首先 P (XW2)= P (X= 0) +P (X = 2)=善善=1将三轮测试都有246概率记做 p,由上述结果和独立性假设，得P=2=二.63 216(ii)由于 P= 希V侖是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都

16、有XW2 的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.? ?孕v221.(12 分)已知椭圆？ 厨厨+為為=1(? ?0)过点 M (1 , 1)离心率为 .(1 )求的方程；X024P1372424241c 37小9c、, 4EX= 0X+2X+ 4X丄丄+ 6X + 8X=5.2424242468942424(2)如图，若菱形ABCD 内接于椭圆r,求菱形ABCD 面积的最小值.计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到1 1丙+矿33【解答】解:(1)由题意，?V2，解得? = 3,?=-=2 ? 2 ? = ?+? 2?椭圆r的方程为 一+ =

17、1:33（2）菱形 ABCD 内接于椭圆由对称性可设直线 AC: y= kix,直线 BD: y= k2x.3当且仅当 =?时取“=联立? + 2? =3 ?= ?，得方程(2?2+ 1) x2- 3 = 0,|OA|=|OCF “ + ?2?4-2?2+1同理,OB|=|OD|=Vi + ?2又 AC 丄 BD, |OB|= |OD|= “ +丄？3_?2V22+11?2，其中刘工 0.第 17 页（共 17 页）从而菱形 ABCD 的面积 S 为:/23 c13S=2|OA|?|OB|=2V1 + ? ?V_2?V1 +2? 厂2? +1 ?V+1?4?1当 k1= 1 或 k1=- 1

18、时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为4.四.解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）22. （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 椭圆C以极坐标系中的点（0, 0）为中心、点（1, 0）为焦点、（3, 0）为一个顶点.直 线 I 的参数方程是?:;? ，- （t 为参数）.（I）求椭圆 C 的极坐标方程；（n）若直线 I 与椭圆 C 的交点分别为 M（X1, y1）, N （x2, y2）,求线段 MN 的长度. 【解答】解：（I）椭圆 C 以极坐标系中的点（0,0 ）为中心、点（1,0）为焦点、（V2,0）第 16 页（共17 页）整理得 S= 61-一V2+(?4，其中 k1M0.第 17 页（共 17 页）为一个顶点.所以 c= 1, a= v2, b= 1,?所以椭圆的方程为 + ? = 1,转换为极坐标方程为（H）直线 I 的参数方程是?= 2? ? （t 为参数）.转换为直角