人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式导学案

1、2019-2020年高中数学必修四1.3三角函数的诱导公式导学案【学习目标】1 .诱导公式(一)、(二)的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式.2 .利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明.【导入新课】1 .复习公式一，公式二2 .回忆公式的推导过程新授课阶段1 .诱导公式二：思考：(1)锐角a的终边与180，+口的终边位置关 系如何？(2)写出a的终边与180c +a的终边与单位圆交点 P,P'的坐标.(3)任意角a与180c +a呢？结论：任意“与180 +口的终边都是关于原点中心对称的.则有P(x, y), P'(-x, -y),

2、由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin a = y ,cos a = x ；sin(180'+) =-y ,cos(180'+a) =x .从而，我们得到诱导公式二：sin(180' +a) = sina ； cos(180 +a) = _ cosa .说明：公式中的a指任意角；若 a是弧度制，即有 sin(兀 +u) = -sina , cos(n +a) = _ cosa ；公式特点：函数名不变，符号看象限；，sin(180 :可)一sin：可以导出正切：tan(180 十/ sin(180.一L= sin =-tana .cos(180 七)-cos。：2 .诱导

3、公式三：思考：(1) 360 7 的终边与 V 的终边位置 关系如何？从而得出应先研究内；(2)任何角”与*的终边位置关系如何？可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20 口与20，+180:20"与20°-180°的终边的关系.从而易知，ct 十几与ot -n,a +3n, a 一3n,|, ct +(2k+1)n,(k z)终边相同，所以三角函数值相等.由 a与口的终边与单位圆分别相交于P与P',它们的坐标互为相反数P( x , y) , P' (-x，-y)(见课本图1-18),所以有cos !：(2k 1)二 I - -cos：s

4、in la +(2k +1)n =-sin a .(三)tan !：(2k 1)二 I - tan 二结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：.sin(-ot) =sin久；cos(-a) = cosot .说明：公式中的a指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名不变，符号看象限；可以导出正切：tan(-a) =tanot .3 .诱导公式四：sin(180'口)=sinct ；cos(180 -叼=cos口 .4 .诱导公式五：sin(360c -a) = -sina ；cos(360' -a) =cosa .说明：公式四、五中的 a指任意角；在角度制和弧度

5、制下，公式都成立；公式特点：函.数名不变，符号看象限；可以导出正切：tan(180'一口)=tans ； tan(360一支)=tanot5 .公式六： sin(- - : ) = cos:cos、-：)=sin：nnsin( 二)=cos-cos( 二)-sin二说明：公式六中的 口指任意角；在角度制和弧度制下，公式都成立；公式特点：函数名变化，符号看象限.结合公式(一)和(三)可以得出下结论：-sina, 当n为奇数sin(a +ng =4,sina,当n为偶数当n为奇数当n为偶数一 cosa, cos(x +nn)=cosa,tan（二，n二）二tan : , n Z由o（与兀o

6、t和单位圆分别交于点 P'与点巳由诱导公式（二）和（三）或 P'与点P 关于y轴对称，可以得到 a与n a只见的三角函数关系（见课本图 1-19 ）sin（n -a） =sinacos（冗- a） =-cosa例1下列各三角函数值：2二19二sin120" cos135 tan-cos（-）34解：例2将下列三角函 数化为02到45之间角的三角函数：sin68' cos75l? tan126：解：例3求下列三角函数值：（1） sin960'；（2） cos（空三）.6解：2 .、例 4 (1)化简 cot"os(n+? sin (3"

7、;+; tan 二 cos (-二-)(2) sin120 cos330 sin(-690；)cos(-660)tan675 cot765.解：(1)(2)2cos(二-：)3sin( - y)田 例 5 已知：tano(=3,求的值.4cos( y) sin(2 二-：)解：3 _.例6已知sin ol =且ct是第四象限角，求tanacos(3n -a ) 一sin(5n +a)的值.解：例 7 化简 sin（a+nS+sin（a-n书（nwz> sin（Q（ +n二）cos（二 一n二）解：课堂小结1 .五组公式可概括如下：« +k 360C（k= Z）,-a,180&#

8、176;±a,360! -«的三角函数值,等于汽的同名函数值，前 面加上一个把口看成锐角时原函数值的符号；2 .要化的角的形式为 k 90o 士口 （ k为常整数）；3 .记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限” ；（k为奇数还是偶数）；4 .利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”.作业课本第32页习题B组第1、2题拓展提升1.则«的取值集合为若 sin(：-) = cos(二 )：)2A.JT: | : -2k二 k ZB.JT: | : - 2k二一一k ZC.k ZD.、工 |= k二+2

9、k Z2.已知tan（14 、) =a,那么 sin1992 =15A.|a|1a2B.a1 a2C.1 a2D.3.设角a35, 62sin(n +a)cos(n -a) -cos(n +a)的值等于22 ,、1 "in 岌，sin(二-:)-cos (二 ：)A.B.33C.3D. . 34.sin(kn-a) cos(kn+ot)的值为sin(k，1)二 : cos(k 1)二,：A.B. 1D.与a取值有关5.设 f(x) = asin(二x”) bcos(-：x) 4（a,b,a,P为常数），且f(2000) =5,那么 f (2004)=A. 1D. 76.已知31sin

10、(一 二)4则 sin( a）值为（A.B.C.7.cos (< a < 2n,sin(22n - a值为（A.32B.C.328.化简:v11 +2sin(n 2),cos(n 2)得()D. 土 cos2-sin 2A. sin 2 cos2 B.cos2 -sin 2 C. sin2-cos23 二9 .已知 tana =、，3 , n <a ?那么 cos« -sin« 的值是(A 1:3 b 13 c 1 -,?'3 d 1 3. 222210 .已知 sin a +3coso( =0,则 sin a c0sa _ ,.sin :x ,

11、cosq：11 .如果tan ot sin 口 < 0,且0 < sin 口 + cosot < 1,那么ot的终边在第 象限12 .求值：2sin( 1110o) sin960 o+*12 cos(225©) + cos(210 口)=-3 . 2 ,2cos 7 - sin 0 二)-2cos(-l-二)113 .设 f(e)=2,求 f(一)的值.2 2 cos (7二？)cos(-?)3sh(二-：)5cos(2二-：)山14 . 已知方程 sin( 3) = 2cos( 4), 求 的3 二2sn(- - ： ) - sn(- >)值.参考答案例13

12、3解：sin120' =sin(30，90，) =cos30 =-.1-'2cos135 -cos(45，90。= sin 45、=-一22 二tan =tan( ) = -cot =36 26,19 二、19 二，3二二二二cos(-): cos二 cos( 4 ); cos( ) = -sin =444424例2 解：略.例3解：（1） sin960，=sin（96007201）=sin2404 （诱导公式一）=sin（180； 60）= -sin601（诱导公式二）一 ，43二、43二(2) COS()=COS(诱导公式三)667 二=cos（ 6二）=cos7 二-6(

13、诱导公式一)= cos（ +兀）=-cos （诱导公式二）66=232例4.2 ,、解：（1）原式=向"（"产6+幻 tan cos （ r /）2cot 二（- cos： ） （ -sin）3z3itan - （- cos -）22 . cos . 2 sin -(2)原式cot _： （-cos一：）sin ;=tan : cos(二-：)-sin( ，：工)=tan： (一cos:，sin ：)= tan： sin: tan： cos： =sin ： (tan -1)4 -321由已知仔： cosa = 一，tana =-一， ，原式 =一.5420例7解：当n =2

14、k,k wZ时，原式sin(= -2k二)sin(: - 2k二)2sin(工二 2k二)cos(二 一2k二) cos工当 n=2k+1,kwZ 时,原式2cos 二sin：(2k 1)二sin二-(2k 1)二sin：(2k 1)二cos厂-(2k 1)二拓展提升 1.D 2 , C 3 . C 4. A 5 . C 6.C 7. A 8.C 9 . B10. 2 11 .二 12 . -23 .2 2cos 二-sin 1 2 cos1 113.解：.f (6) -22 2 cos 【cos2 cos 二-(1 - cos f)2 cos? 1=六：2 2 cos 二 cos 二-2co

15、s工" sin：-2cos< -2cos:-4 cos 二_ 2 cos3 1 cos 2 cos2 - cos f一一 2cos-(2cos - cos - 2)-=2: = cos U2 cos 二 cos 二 2.,二、二1f (一) = cos一 =一 3214.解：-. sin( 3) = 2cos( 4)sin(3) = 2cos(4)sin() = 2cos( )sin = 2cos 且 cos 0盾黄 sin - 15cos二 =-2cos-( 5cos：3cos：_ 3 f 2 cos二 :/3xtan ： （一cos ：）- 2 .sin -/2- =1cos 二=sin（180 -60） cos（360 -30；） sin（7200 - 690：）cos（7201