同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章微分方程

1、第十二章 微分方程 教学目的: 1 “了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2 “熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3 “会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4“会用降阶法解下列微分方程： y(n) = f(x), y f (x, y )和y=f(y,y) 5 “理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6“掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分 方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性 微分方程的特解和通解。 8会解欧拉方程，会

2、解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9 “会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、 可降阶的高阶微分方程 y(n) = f (x) , y f (x, y )和y = f (y, y ) 3、 二阶常系数齐次线性微分方程； 4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程； 教学难点： 1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微 分方程的

3、特解。 4、欧拉方程 2 , 1微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 .利用函数关系又可以对客观事物的规律性 进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系 .在实践中具有重要意义 ，在许多问题中.往往不 能直接找出所需要的函数关系 .但是根据问题所提供的情况 .有时可以列出含有要找的函数及其 导数的关系式，这样的关系就是所谓微分方程 ，微分方程建立以后.对它进行研究.找出未知函 数来.这就是解微分方程， 例1 一曲线通过点(1.2).且在该曲线上任一点 M(x.y)处的切线的斜率为 2x.求这曲线的方 程， 解 设所求曲线的方程为 y刁(x),根据导数的几何意义.可知未知函

4、数 y=y(x)应满足关系式 (称为微分方程) (1) 此外.未知函数y=y(x)还应满足下列条件： x=1 时.y=2 .简记为 y|xm：=2 . 把(1)式两端积分.得(称为微分方程的通解) y = 2xdx 即 y/ C 其中C是任意常数， 把条件 X=1时.y=2代入式.得 2 2=12 C 由此定出C =1 .把C =1代入式.得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 yx=1=2的解)： y/ 1 . 例2列车在平直线路上以 20m/s(相当于72km/h)的速度行驶“当制动时列车获得加速度 -0 4m/s2 “问开始制动后多少时间列车才能停住 .以及列车在这段时间里行驶了多少路程

5、？ 解设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米，根据题意.反映制动阶段列车运动规律的函数 s =s(t)应满足关系式 牛T.4 dt2 此外.未知函数s弋(t)还应满足下列条件： ds t=0 时 s=0 v 20 .简记为 s|t =0 s|t =20 . dt 把(4)式两端积分一次.得 ds vQ = _0.4t G (6) dt 再积分一次.得 2 s-0 2t2 Cit C2. (7) 这里Ci C2都是任意常数. 把条件v|t =20代入得 20i 把条件s|t卫=0代入得0 2 . 把Ci C2的值代入及式得 v=-0 4t 20. (8) 2 s=0 2t 20t , (9) 在

6、(8)式中令v=0 .得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t=50(s), 0.4 再把t=50代入(9).得到列车在制动阶段行驶的路程 2 s=0 2 50 20 50 500(m). 解设列车在开始制动后t秒时行驶了 s米 4 .并且 s|t=0 s|t=0=20 . 把等式s=0 4两端积分一次.得 s亠0 4t Ci .即v=-0 4t Ci (Ci是任意常数). 再积分一次.得 s-0 2 Cit C2 (Ci C2都Ci是任意常数). 由 v|t a=20 得 20=Ci .于是 v-0 4t 20 2 由 s|tn=0 得 0 =C2 .于是 s=-0 2t 20t. 令v=

7、0 .得t=50(s).于是列车在制动阶段行驶的路程 2 s0 2 50 20 50 犬00(m). 几个概念： 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程.叫常微分方程“ 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.叫偏微分方程， 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .叫微分方程的阶. 3 2 2 x 厂 x y -4xy =3x . y-4y 10y 42y 5y=sin2x y(n) 1 =0. 一般n阶微分方程： F(x y y . .y)=0 . y f(x y y . y ). 微分方程的解：满足微

8、分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 )叫做该微 分方程的解，确切地说.设函数y=F(x)在区间I上有n阶连续导数.如果在区间I上 Fx . (x)(x) . . (n) (x) =0 . 那么函数y= (x )就叫做微分方程F(x.yy；.：y(n) )=0在区间|上的解 通解：如果微分方程的解中含有任意常数 .且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 .这样 的解叫做微分方程的通解 . 初始条件：用于确定通解中任意常数的条件 .称为初始条件.如 x=x 时 y 二y .yF 0 . 一般写成 I y xn0 y 灭之=丫0， 特解：确定了通解中的任意常数以后 .就得到微分方程的

9、特解.即不含任意常数的解. 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 ym(x. y)满足初始条件yxm=yo的解的问题“记为 f(x, y) y 积分曲线：微分方程的解的图形是一条曲线 “叫做微分方程的积分曲线 ， 例3验证：函数 xCcos kt C2 sin kt 是微分方程 与 k2x =0 dt2 的解 解求所给函数的导数： 晋二-kC| sin kt kC2 coskt - -k2Gcoskt -k2C2S in kt - -k2(C1coskt C2S in kt). 将尋及x的表达式代入所给方程 得 dt2 2 2 -k (Ci cos kt C2S

10、in kt) k (Cicos kt Gsin kt)三0 , 这表明函数xicoskt，C2Sinkt满足方程 密，k2x=0 .因此所给函数是所给方程的解 dt2 d 2x 例4已知函数x=Cicoskt C2Sinkt(k=0)是微分方程 2 k2x = 0的通解.求满足初始条件 dt2 x| t =A X tz0 =0 的特解， 解 由条件 x| tz0 =A 及 x=Ci cos kt C2 sin kt.得 Ci A 再由条件 x | tz0 =0 .及 x (t) =-kCisin kt kC2COS kt.得 C2 =0 . 把Ci、C2的值代入xicos kt C2Sin k

11、t中.得 x=Acos kt . 12 ,2可分离变量的微分方程 观察与分析： i “求微分方程yx的通解“为此把方程两边积分.得 y=x2 C 一般地.方程y f(x)的通解为y = f (x)dx C (此处积分后不再加任意常数 ). 2，求微分方程 y=2xy2的通解 因为y是未知的.所以积分.2xy2dx无法进行.方程两边直 接积分不能求出通解 1 为求通解可将方程变为 -12 d2xdx两边积分得 y -1 =X C .或 y J y x2 C 可以验证函数y 1 是原方程的通解， 一般地.如果一阶微分方程 y= (x y)能写成 g(y)dy(x)dx 形式.则两边积分可得一个不含

12、未知函数的导数的方程 G(y)扌(x) C 由方程G(y)扌(x)C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 ： 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 ： P(x y)dx Q(x y)dy=0 在这种方程中.变量x与y是对称的. 若把x看作自变量、y看作未知函数.则当Q(x,y)=O时.有 dy _ _ P(x, y) dx Q(x, y) 若把y看作自变量、x看作未知函数.则当P(x,y)=O时.有 dx_ Q(x, y) dyP(x,y) 可分离变量的微分方程 ： 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyh(x)dx (或写成 y = (x)-(y) 的形式.就是说.能把微分

13、方程写成一端只含 y的函数和dy.另一端只含x的函数和dx.那么原 方程就称为可分离变量的微分方程 ， 讨论：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y =2xy . 是二 y dy=2xdx . 2 . 2 (2) 3 x 5x -y =0. 是 尸 dy=(3x 5x) dx 2 2 (3) ( x y )dx-xydy=O .不是 y ： z1 x y2 xy2 .是，=y 千1 x)(1 y2). (5) y z1Qx V 是.=10d1Qxdx . y =虫上 不是 y x 可分离变量的微分方程的解法 ： 第一步 分离变量.将方程写成g(y)dy =f(x)dx的形式“ 第二

14、步 两端积分：g(y)dy= f(x)dx.设积分后得G(y)=F(x) C 第三步 求出由G(y)=F(x) C所确定的隐函数 y =(x)或x-?(y) G(y)=F(x) C ,y- (x)或x-?(y)都是方程的通解.其中G(y)=F(x) C称为隐式(通)解 例1求微分方程 =2xy的通解 dx 解此方程为可分离变量方程.分离变量后得 1 dy =2xdx y 两边积分得 yd j2xdx . 即 In|y| =x2 Ci . 从而 y = x2 Ci =Ciex2 . 因为_eCi仍是任意常数.把它记作C .便得所给方程的通解 2 y 二Cex . 解此方程为可分离变量方程.分离变

15、量后得 1 dy=2xdx y 两边积分得 ydy 二 2xdx 即 ln|y|=x2 InC 2 从而 y =Cex . 例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M成正比，已知t =0时铀的含量为 Mo.求在 衰变过程中铀含量 M(t)随时间t变化的规律. 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间t的导数 - dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比 .故得微分方程 dM dt 其中(0)是常数“前的曲面号表示当t增加时M单调减少，即现：0 dt 由题意.初始条件为 M|t =Mo , 将方程分离变量得 两边积分 即 In M lnC .也即 M e_ t 由初始条件.得M=Ce0 所以铀含量M(

16、t)随时间t变化的规律M知oe-l 例3设降落伞从跳伞塔下落后 .所受空气阻力与速度成正比 .并设降落伞离开跳伞塔时速 度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系 . 解 设降落伞下落速度为 v(t)，降落伞所受外力为 F=mg-kv( k为比例系数)，根据牛顿第二运 动定律F旳a .得函数v(t)应满足的方程为 dv . m mg -kv dt 初始条件为 方程分离变量.得 dv 二 dt mgkv m 两边积分.得 鱼. mg_kv f m ln(mg _k 二上 C1 k m mg - eCi v Ce m (C ).-(i )dt . 将初始条件v|t卫=0代入通解得。=_空 k 上t

17、于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 齐) k 例4求微分方程 矽=1 +x + y2 +xy2的通解, dx 解方程可化为 dX=(1 x)(1 y2). 分离变量得 两边积分得 = J(1+x)dx .即 arctany =1x2+x+C 于是原方程的通解为 y 二ta门(才2 x C) 例4有高为1m的半球形容器.水从它的底部小孔流出.小孔横截面面积为1cm2 .开始时容 器内盛满了水.求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h随时间t变化的规律 解 由水力学知道.水从孔口流出的流量 Q可用下列公式计算： =0.62S、2gh dt 其中0 , 62为流量系数.S为孔口横截面面积.g为重力加

18、速度现在孔口横截面面积 S=1cm2.故 dV=0.62h2gh .或 dV =0.62、2ghdt . dt 另一方面.设在微小时间间隔t t dt内.水面高度由h降至h，dh(dh ：0).则又可得到 dV-二r2dh . 其中r是时刻t的水面半径.右端置负号是由于 dh：0而dV 0的缘故.又因 r F1002 -(100 -h)2 =900h - h2 . 所以 dV-二(200h*2)dh 通过比较得到 0.62、2ghdt 二 -31 (200h-h2)dh 这就是未知函数h才(t)应满足的微分方程1 1 y2 dy =(1 x)dx . 此外.开始时容器内的水是满的 .所以未知函

19、数h(t)还应满足下列初始条件： h2=100 . 将方程0.62、,2ghdt =- ：(200h-h2)dh分离变量后得 1 3 dtO.62、2g（2O01j2）dh 两端积分.得 1 3 f 2g（200h）dh 0.62、2g（4FhlC 其中 C是任意常数. 由初始条件得 3 5 -0.62化晋 1002 I 1002） C C_ 二 (400000 200000)二 二 14。厶 0.62、2g( 3 5 0.62g 15 3 5 因此 t-一:(7 105 -103h2 3h2). 0.62届 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h与时间t之间的函数关系 12 ,3齐

20、次方程 齐次方程： 如果一阶微分方程 中的函数f(x, y)可写成 dx 的函数.即f (x, y) = (y).则称这方程为齐次方程. x x F列方程哪些是齐次方程? (4) (2 x y-4)dx (x y-1)dy=0 不是齐次方程 = = - 一匚4 dx x + y1 (2xsh x 3ych ) dx3xch dy = 0 是齐次方程， x x x dy严已3泗型為 dx 3xchy dx 3 x x x 齐次方程的解法： 在齐次方程dy = (y)中.令u =.即y=ux .有 dx x x u x= (u). dx 分离变量.得 du dx (u) -u 一 x 两端积分.得

21、 du (u) -u 求出积分后.再用y代替u .便得所给齐次方程的通解 x 例 1 解方程 y2 x2d-xyd . dx dx 解原方程可写成xy -y -y2 _x2 =0是齐次方程 孚丄)2-1 dx x . x 1 -x2 y = 1 _ y2不是齐次方程 2 2 (x y )dx_xydy=0是齐次方程 2 2 dy _x y _ dy = x ,_y dx xy dx y x dy_ y2 _(X)2 dx xy x2 _y x 因此原方程是齐次方程，令l=u则 x dy ii+xdu y=ux u x - dx dx 于是原方程变为 u x雯笔 dx u -1 即 x血二亠 d

22、x u -1 分离变量.得 (1)du型. u x 两边积分.得un|u|CTn|x|. 或写成In|xu|刃C 以乂代上式中的u.便得所给方程的通解 x In |y C x 例2有旋转曲面形状的凹镜 .假设由旋转轴上一点 0发出的一切光线经此凹镜反射后都与 旋转轴平行，求这旋转曲面的方程. 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L ：y=y(x)(y0)绕x轴旋转而成.光源在原点.在L上任取一点 M(x, y).作L的切线交x轴于A “点0发出的光线经点M反射后是一条平行于 x轴射线.由光学及几 何原理可以证明0A9M 因为 OA =AP -OP =PM cot ： OP 二- x . y 而 OM

23、 二 X2 y2 . 于是得微分方程 乂-x=、x2 y2 . y 整理得(x)2 i .这是齐次方程 dy y y 问题归结为解齐次方程 学=仝+（虫）2 +1 , dy y Y y 令=v 即 x=yv 得 v ydv =v、v2 1 y dy 即 yJv2 1 ydy 分离变量.得y牛 两边积分.得 In（v、v2 1） =1 n yInC ,二 v 、v2 1 二C , = （v）2 二v2 1, 2 1 C2 C 以yv承代入上式.得y2 =2C(x -号)， 这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线 .它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为 y2 z2 =2C（x 这就是所求的旋转曲面方程 例

24、3设河边点0的正对岸为点A .河宽OA=h .两岸为平行直线.水流速度为a .有一鸭子从 点A游向点0 .设鸭子的游速为b(ba).且鸭子游动方向始终朝着点 O求鸭子游过的迹线的方 程， 例3设一条河的两岸为平行直线 .水流速度为a .有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 0.设 鸭子的游速为b(ba).且鸭子游动方向始终朝着点 0 .已知OA=h .求鸭子游过的迹线的方程 . 解 取0为坐标原点.河岸朝顺水方向为 x轴.y轴指向对岸.设在时刻t鸭子位于点P(x, y). 则鸭子运动速度 另一方面 -a+b=蝕皿贰怎)“ 沪代启八 因此血亠二 （x）2 1 x 即 dx =_a （x）2 r x

25、dy vy My y dy b y yy2 2yv 问题归结为解齐次方程齐-二(x)2补 令=U .即x=yu .得 y 2 J y dy b 分离变量得 du 旦dy 耐 by - 两边积分.得 arshu - -(ln y In C) a .x i i早 i +a 将u=x代入上式并整理.得x = 2c【(Cy) b_(Cy) b. 以X|y出乂代入上式.得C =4 .故鸭子游过的轨迹方程为 h 1 b .0勻9 “ b _ x 二shln(Cy) a 二 y 1 二 - F2(Cy)a -(Cy)a b 1 1 卫 1 b =x=2C(Cy) a -(Cy) a, 12.4线性微分方程

26、一、 线性方程 线性方程： 方程 岁 P(x) y二Q(x)叫做一阶线性微分方程 “ dx 如果Q(x0.则方程称为齐次线性方程 .否则方程称为非齐次线性方程 , d a x=h【() J*) 将u十 代入arshu = - b(ln y In C)后的整理过程： arsh- - -b(ln y InC) y a =x=*(Cy)a-(C y冋 方程dy P(x)y =0叫做对应于非齐次线性方程 dy P(x)y二Q(x)的齐次线性方程 dx dxF列方程各是什么类型方程? 2 2 (2) 3x 5x_5y ： y x 5x .是非齐次线性方程 y屯cos x=enx .是非齐次线性方程, d

27、y =10 x y不是线性方程 dx 2 (5)(y 1)2孚 x3=o=孚 x 2=o或d_(r_)_不是线性方程 dx dx (y 1)2 dy x3 齐次线性方程的解法： 齐次线性方程 鱼-P(x)y=0是变量可分离方程.分离变量后得 dx 业=-P(x)dx . y 两边积分.得 ln |y|- - P(x)dx Ci . 或 y 二CeP(x)dx(C 二eCi). 这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数) 例1求方程(x-2) = y的通解 dx 解这是齐次线性方程.分离变量得 dy _ dx y x _2 两边积分得 ln|y|=ln|x | InC . 方程的通解为 y

28、Ox-2). 非齐次线性方程的解法 ： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x的未知函数u(x).把 P(x)dx y =u(x)e(x2)沿匸 dy 1 dx x -2 y =0是齐次线性方程 设想成非齐次线性方程的通解，代入非齐次线性方程求得 u(x)eP(x)dx _u(x)eP(x)dXp(x) P(x)u(x)e_ 呛曲=Q(x). 化简得 u(x)二Q(x)e P(x)dx . u(x) = JQ(x)edXdx +C . 于是非齐次线性方程的通解为 y-P(x)dx Q(x)eP(x)dxdx C. 或 y 二Ce P(x)dx eP(x)dx Q(x)e P(x)dxdx 非齐次线

29、性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 d 2 5 例2求方程 d- =(x+1)2的通解, dx x+1 解这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程史-创 0的通解 dx x+1 分离变量得 dy _ 2dx y x 1 两边积分得 In y =21 n (x 1) In C 齐次线性方程的通解为 2 C(x 1) 用常数变易法“把C换成u .即令y p(X 1)2 .代入所给非齐次线性方程 .得 2 5 u (x 1)2 2u (x 1)-； qu (x 1)2=(x 1)2 1 u =(x 1)2 . 两边积分.得 u =2(x 1)2 C 3 再把

30、上式代入y=u(x 1)2中.即得所求方程的通解为 y=(x 1)2|(x 1)2 C. 5 解：这里 P(x) 牛.Q(x)=(x 1)2 , x+1 2 P(x)dx= i(_)dx=-21 n(x 1) J $ x+1 e-P(x)dx=e|ln(x1)=(x 俨. 5 丄。 m Q(x)e P(x)dxdx 二(x 1)2(x 1)dx 二(x 1pdx =Z(x 1卩. 3 所以通解为 3 ybP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx*(x1)|l(C, 例l有一个电路如图所示 .其中电源电动势为 E壬msint(Em、，都是常数).电阻R和电感L 由电学知道.当电流变化时 丄上有感应

31、电动势 -，由回路电压定律得出 dt di Ri 上 dt L L 把E壬ms in t代入上式.得 di R. i dt L 初始条件为 i|t =0 P(t)二半 Q(t-Em s int . 由通解公式.得 i(t)hP(t)dt Q(t)eP(叫t C弋-訥(.甲sin te 叫 C) Em t -t Le L ( sin teL dt C)因为 都是常量 求电流i(t). 方程 站Ri 二Esint为非齐次线性方程.其中 _Rt (Rsin，t -，Leos t) Ce L R22L2 其中C为任意常数， R. I - R2 . .,2L2 二、伯努利方程 伯努利方程：方程 d +

32、P(x)Q(x)yn (n O1) dx 叫做伯努利方程， 下列方程是什么类型方程？ 岁 h J(i-2x)y4 是伯努利方程 dx 3 3 (2) dy =y xy=矽-y = xy5 .是伯努利方程 dx dx y =仝,二y-y二xy .是伯努利方程 y x x (4) dy -2xy =4x .是线性方程.不是伯努利方程 dx 伯努利方程的解法：以yn除方程的两边.得 yndy P(x)y1* =Q(x) dx 令z =y141 .得线性方程 券(1 -n)P(x)z=(1-n)Q(x). 例4求方程 申 y -a(ln x)y2的通解 dx x 解以y2除方程的两端.得 -2 dy

33、1 _1 . y y al nx dx x 即 一如 ly =g|n x . dx x将初始条件 i|7=0代入通解.得C二丄铅. 因此.所求函数 i(t)为 Em 令z=y.则上述方程成为 dz 1 | z - -aln x . dx x 这是一个线性方程.它的通解为 z=XC_2(lnx)2. 以y代z .得所求方程的通解为 yXC|(l nx)2=1 经过变量代换.某些方程可以化为变量可分离的方程 例5解方程dy -. dx x +y 解若把所给方程变形为 dx x y dy 即为一阶线性方程.则按一阶线性方程的解法可求得通解 令x y二u .则原方程化为 即屯二口 dx u 分离变量.

34、得 du =dx u 1 两端积分得 uTn|u 1|承Tn|C| . 以u =x y代入上式.得 y-ln|x y 1|=Tn|C| .或 x=Cey_yT , 12 , 5全微分方程 全微分方程：一个一阶微分方程写成 P(x, y)dx Q(x, y)dy=0 形式后.如果它的左端恰好是某一个函数 u=u(x, y)的全微分 du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy .或化为已知其求解方法的方程 但这里用变量代换来解所给方程 那么方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=O就叫做全微分方程，这里 卫二P(x,y).卫七(x,y). x :-y 而方程可写为 du(x,

35、y)=0 . 全微分方程的判定：若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 r r * .y :x 则方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0是全微分方程 全微分方程的通解： 若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0是全微分方程.且 du(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 u(x, y) 是方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0的通解 4 2 3 2 2 2 例 1 求解(5x 3xy -y )dx (3x y-3xy 亠y )dy=0 . 解这里 所以这是全微分方程，取(xo, yo)彳0, 0).有 x u(x, y) =

36、 L (5x4 +3xy2 y3)dx 十 =xFyxyiy3 于是.方程的通解为 x5 啟勺2 -xy3 y3 =C 2 3 积分因子：若方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0不是全微分方程.但存在一函数 鼻*x, y) (*x, y)=0).使方程 “仅 y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程.则函数J(x, y)叫做方程P(x, y)dx Q(x, y)dy=0的积分因子， .且 x y xoP(X,y)dX yo Q(xo, y)dx=C(xo,y) G). .:P =6xy-3丫2 =孚 ex y2dy 例2通过观察求方程的积分因子并求其通解

37、ydxxdy=0 (1 xy)ydx (1 _xy)xdy=0 . 解(1)方程ydx彳dy=O不是全微分方程 因为 所以J_是方程ydx *dy d0的积分因子 于是 y ydx 了dy =o是全微分方程 所给方程的通解为 二C y2 y (2)方程(1 xy)ydx (1夕y)xdy=0不是全微分方程. 将方程的各项重新合并.得 (ydx xdy) xy(ydxxdy) =0 再把它改写成 d(xy) x2y2(鱼 -% =0 . x y 这时容易看出 1石为积分因子.乘以该积分因子后.方程就变为 (xy)2 d(xy) .dx_dy=0 (xy)2 x y 积分得通解 丄 -丄 In|=

38、lnC 即Cexy . xy y y 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 yP(x)yg(x). 可以验证 i(x)=eP(x)dx 是一 一阶线性方程 y P(x)y =Q(x)的一个积分因子 d(x2 ydx -xdy .在一阶线性方程的 两边乘以J(xe P(x)dx得 yeP(x)dxyP(x)eP(x)dQ(x)eP(x)dx. 即 yeP(x)dx，yeP(x)dxr.Q(x)eP(x)dx . 亦即 yeP(x)dxQ(x)eP(x)dx. 两边积分.便得通解 P(x)dx P(x)dx ye = Q(x)e dx C . 或 y =e_(x)dx jQ(x)e(x)dxd

39、x+C, 例3用积分因子求2xy =4x的通解 dx 解方程的积分因子为 2 方程两边乘以ex得 2 2 2 2 2 y ex 2xex y = 4xex .即(ex y) =4xex . 2 2 2 于是 ex y = 4XW dx =2ex C 2 2 因此原方程的通解为 y= 4xexdx=2，Ce“ , 12 , 6可降阶的高阶微分方程 一、y(n旨(x)型的微分方程 解法：积分n次 y(Z = f(x)dx G . yW f(x)dx C1dx C2 例1求微分方程yx-cos x的通解 解对所给方程接连积分三次.得 y 二土 -sinx C . y=e2x cosx C1x C2

40、这就是所给方程的通解 y =-4e2x cosx 2Gx C2 . y =fe2x sinx Gx2 C2x G 这就是所给方程的通解 ， 例2质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间t的函数F=F(t).在 开始时刻t=0时F(0) =F .随着时间t的增大.此力F均匀地减小.直到t二T时.F(T)=0 .如果开始 时质点位于原点.且初速度为零.求这质点的运动规律. 解 设Xh(t)表示在时刻t时质点的位置“根据牛顿第二定律“质点运动的微分方程为 由题设.力F(t)随t增大而均匀地减小.且t=0时.F(O)=F .所以F(t)=Fo-kt “又当t=T时.F(T)=0 从

41、而 F(t)=Fo(1-*). 于是质点运动的微分方程又写为 尊込(1丄) 把微分方程两边积分.得 再积分一次.得 6T)Gt C2. 于是所求质点的运动规律为 其初始条件为dt 由初始条件x|t护0. dx|t-0 . dt 解设X承(t)表示在时刻t时质点的位置. 根据牛顿第二定律.质点运动的微分方程为 mx 于(t), 由题设F(t)是线性函数.且过点(0 Fo)和 (T .0). 即 F(t)=Fo(1*). 于是质点运动的微分方程又写为 其初始条件为x|t =0 x |t =0 , 把微分方程两边积分.得 甘诘)C1 再积分一次.得 由初始条件x|t =0 .x|tz0=0 . 得

42、C1 =02=0 . 于是所求质点的运动规律为 3 x 吩2t2 话)-g 二、y二f(xy)型的微分方程 解法：设y “中则方程化为 pT(x .p) 设p:N(x p)的通解为p= (xCi).则 dy=p(x,Ci) dx 原方程的通解为 y= (x,G)dx C2 例3求微分方程 (1 x2)y: =2xy 满足初始条件 y|x =1 . y |x =3 的特解“ 解 所给方程是yf(x.y)型的“设y .代入方程并分离变量后6T)C2 6T 孔半dx. p 1 x2 两边积分.得 2 In|p|Tn(1 x ) C 即 ph =Ci(1 x) (Ci= e ), 由条件y |x卫=3

43、 .得Ci =3 . 所以 y3(i x2), 两边再积分.得y=x3 3x C2 . 又由条件.得C2=1 于是所求的特解为 3 y 承 3x 1 例4设有一均匀、柔软的绳索 .两端固定.绳索仅受重力的作用而下垂 状态时是怎样的曲线？ 三、y f(y y)型的微分方程 解法：设y 羊有 原方程化为 黔5) 设方程pdp = f(y, p)的通解为，中h(y.C1).则原方程的通解为 dy 例5求微分yy予2=0的通解 解设/=p .则y =卩亚. dy 代入方程.得 dp 2 c yp p 0 dy 在y -0、p=0时.约去p并分离变量.得 dp dy p y 两边积分得 In|p| =l

44、n|y| Inc . 即 p y 或 y Qy(c-_c).试问该绳索在平衡 y他型鱼 dx dy dx dy dy (y,C1) x C2 再分离变量并两边积分.便得原方程的通解为 In|y|=Cx Inci . 或 y -Cie (Ci = ci), 例5求微分yy审2=0的通解 解设y书.则原方程化为 yp % 一 p2 =0 . dy 当y=0、p=0时.有 心p=0 dy yp (-dy 于是 p=ey C-y. 即 yCiy=0 从而原方程的通解为 y te Cldx =C2eC-x . 例6 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由静止开始落向地面 .求它落 到地面时的速度和所需

45、的时间(不计空气阻力) 12,7高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1设有一个弹簧.上端固定.下端挂一个质量为 m的物体，取x轴铅直向下 平衡位置为坐标原点， 给物体一个初始速度 V0=0后.物体在平衡位置附近作上下振动 .在振动过程中 x是t的函数：x(t). 设弹簧的弹性系数为 c .则恢复力f-CX. 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 .比例系数为则 R-血 dt 由牛顿第二定律得 d2x | dx dt2 dt 卜 2 c 移项.并记2n k=-. m m 2 .并取物体的 .物体的位置 则上式化为 dx - 2ndx - k2x=0 dt2 dt 这就是在有

46、阻尼的情况下 .物体自由振动的微分方程 . 如果振动物体还受到铅直扰力 F =Hsi n pt 的作用.则有 弩 2n鱼 k2x=hsin pt . dt2 dt N H 其中.这就是强迫振动的微分方程 . m 例2设有一个由电阻 R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路.其中R、L、及C为常 数.电源电动势是时间t的函数:E =Emsin，t.这里Em及;.-；也是常数， 设电路中的电流为i(t).电容器极板上的电量为 q(t).两极板间的电压为 比.自感电动势为EL .由 电学知道 欝2如和厂且sin 7 dt2 dt 0 c LC = 1.这就是串联电路的振荡方程 2L x LC 如果电

47、容器经充电后撤去外电源 (E 0 .则上述成为 2 今2匹晶厂0. dt2 dt 二阶线性微分方程：二阶线性微分方程的一般形式为 y P(x)y Q(x)y =f(x). i _dq I -q E _dt c EL 根据回路电压定律 得 E-LG -q-Ri=0 dt C 即 LC令 RC如u dt2 dt 或写成 c = Em sin ，t . 7 若方程右端f(x)=0时.方程称为齐次的.否则称为非齐次的 、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 2 y P(x)y Q(x)y=O 即 d-y P(x)dy Q(x)y=O , dx2 dx 定理1如果函数yi(x)与y2(x)是方

48、程 y P(x)y Q(x)y=O . 的两个解.那么 y-Ciyi(x) C2y2(x) 也是方程的解.其中Ci、C2是任意常数， 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明Ciyi C2y2 1 yi C2 y2 . Ciyi C2y2八=Ci yi C2 y2 . 因为yi与y2是方程y P(x)y Q(x)y=O.所以有 yi P(x)yi Q(x)yi =0 及 y2 P(x)y2 Q(x)y2=0 . 从而 Ciyi C2y2 P(x) Ciyi Czy Q(x) Ciyi C2y2 二Ciyi P(x)yi Q(x)yi C2y2 P(x)y2 Q(x)y2 =0 0=0

49、 这就证明了 y iyi(x) C2y2(x)也是方程y，P(x)y Q(x)y=0的解 函数的线性相关与线性无关 ： 设yi(x) y2(x) .yn(x)为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 ki k2 . kn .使得当x I时有恒等式 kiyi(x) k2y2(x) knyn(x)=0 成立.那么称这n个函数在区间I上线性相关“否则称为线性无关. 判别两个函数线性相关性的方法 ： 对于两个函数.它们线性相关与否.只要看它们的比是否为常数 .如果比为常数.那么它们 就线性相关.否则就线性无关， 例如.i .cos2x . sin2x在整个数轴上是线性相关的 ，函数i.x

50、.x2在任何区间(a, b)内是线性无 关的 定理2如果如果函数yi(x)与y2(x)是方程 y P(x)y Q(x)y=0 的两个线性无关的解.那么 y=Ciyi(x) C2y2(x) (Ci、C2是任意常数) 是方程的通解“ 例3验证yi=cosx与y2二sin x是方程y、y=0的线性无关解.并写出其通解 解因为 yi ：yi =_COS x COS x=0 y2 y2=_sin x sin x=0 所以yi =cos x与y2=sin x都是方程的解， 因为对于任意两个常数 ki、k2.要使 ki cos x k2Sin x 三0 只有ki*2=0 .所以cos x与sin x在(-匚

51、:，：)内是线性无关的. 因此yicos x与y2=sin x是方程yy乂的线性无关解， 方程的通解为 yCicos x C2Sin x 例4验证yi =x与y2=ex是方程(xi)y_xy y =0的线性无关解.并写出其通解 解因为 (x-i)yi y2=esin ：x 也是方程解， 可以验证.yiwEcosfix、yeasinPx是方程的线性无关解, 因此方程的通解为 y =e x( Ci cos x C2Sin x ). 求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy乂的通解的步骤为： 第一步 写出微分方程的特征方程 r2 pr q=0 第二步 求出特征方程的两个根 、J , 第三步 根据特征

52、方程的两个根的不同情况 .写出微分方程的通解“ 例1求微分方程y y =0的通解 解所给微分方程的特征方程为 2 r -2r-3=0 .即(r 1)(r )=0 . 其根1=一12弋是两个不相等的实根.因此所求通解为 y=Cie C2e3x. 例2求方程y2yy=0满足初始条件yk =4、y|x2的特解 解所给方程的特征方程为 2 2 r 2r 1=0 .即(r 1) =0 . 其根ri =r-i是两个相等的实根.因此所给微分方程的通解为 y=(Ci C2X)e： 将条件y|x詔代入通解“得C4.从而 y=(4 C2X)e. 将上式对x求导.得 x yi y2 =2e 一 cos y=C2-4

53、 2x)e 再把条件y 1x2代入上式.得C2 .于是所求特解为 x=(4 2x)e. 例3求微分方程y 2y 5y0的通解 解所给方程的特征方程为 r2-2r 5=0 . 特征方程的根为1=1 2 .2=1 -2i .是一对共轭复根. 因此所求通解为 x y=e (Cicos2x C2sin2x). n阶常系数齐次线性微分方程：方程 (n) (n) (n-2) y piy p2 y 亠 亠 pny pny=0. 称为n阶常系数齐次线性微分方程.其中Pi . p2 . -pnd pn都是常数. 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 .可推广到 线性微分方程上去. 引入微分算子

54、D.及微分算子的n次多项式： n , nJ, n_2 , L(D)=D piD P2 D 亠 亠 pn/D 卩n . 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn pDnJL P2 Dn . pnjD 卩 n)y=0 或 L(D)y=0 . 注：D叫做微分算子D0yT.DymlD2yh： .Dny弓. 分析：令y毛伙.则 rxnn nV n-2, , , rx rx L(D)y二L(D)e (r pir p2 r pnjr pn)e L(r)e . 因此如果r是多项式L(r)的根.则是微分方程L(D)y=0的解 n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 ： L(r)二rn pirn4 卩2 rn -

55、 pnjr pn=0 称为微分方程L(D)y=0的特征方程. 特征方程的根与通解中项的对应 ： 单实根r对应于一项 Ce 一对单复根ri .2R才卩对应于两项:ecx(Cico+C2SinBx)； rx k i k重实根r对应于k项e (Ci C2x Ckx )- n阶常系数齐次 一对k重复根ri i 1对应于2k项 e*(Ci C2X亠 CkXk)cosx ( Di D2X亠 亠DkXk)sin x. 例4求方程y_2y5y=0的通解 解这里的特征方程为 r4-2r3 5r2 .即 r2(r2-2r 5)=0 . 匕的根是ri 2 =0和3.4 1 2i , 因此所给微分方程的通解为 x y

56、1 C2X e (C3cos2x C4Sin2x), 例5求方程y ： 4y=0的通解.其中卩：0 . 解 这里的特征方程为 r4 J . 它的根为 r1,2=2(1 二j) - r3,4 = (1 自) 因此所给微分方程的通解为 ：X 1 y =e 2 (G cos 2 x C2 sin 2, 10二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 ：方程 y py qy 他 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 .其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解yh(x)与非齐次方程本身的一个特解 y=y*(x)之和 y 欽x) y*( x). 当f(x)为

57、两种特殊形式时.方程的特解的求法： 一、f(x)二Pm(x)e X 型 当f(x)=Pm(x)eX时.可以猜想.方程的特解也应具有这种形式 “因此“设特解形式为 y* -Q(x)e x .将其代入方程.得等式 Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x)二Pm(x). (1)如果不是特征方程r2 pr q=0 的根.则处邛人+q丸要使上式成立.Q(x)应设为m次多项 Qm(x)二box bi - bm jx bm . 通过比较等式两边同次项系数 .可确定bo bi . .bm.并得所求特解 X 1-：, 1-：, e 2 (C3COS X C4sinX). y* m(x)e 兀,

58、 (2) 如果，是特征方程r2齐rp=0的单根.则h2+pA/q=0 .但2Z/巾刘要使等式 2 Q (x) (2 p)Q (x)pq)Q(x)二Pm(x). 成立.Q(x)应设为m+1次多项式： Q(x)=xQm(x). Qm(x) =boxm 亠bixm亠 亠bm .ix bm . 通过比较等式两边同次项系数 .可确定bo bi . .bm .并得所求特解 y* 朮Qm(x)ex, (3) 如果，是特征方程 prRf的二重根.则7了巾人勺=0 .2h+p=0.要使等式 2 Q (x)丸2 九p)Q (x)珥九4pMQd) =Pm(x), 成立Q(x)应设为m 2次多项式： 2 Q(x)=x

59、 Qm(x). Qm(x)二boxm biXm，亠 亠bmx bm . 通过比较等式两边同次项系数 .可确定bo b bm .并得所求特解 y* =x2Qm(x)e 赵. 综上所述.我们有如下结论 ：如果f(x)二Pm(x)ex.则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy =f(x)有形如 y* nkQm(x)e 的特解.其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式.而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或 是特征方程的的重根依次取为 0、1或2 例1求微分方程y_2y，y=3x V的一个特解. 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 .且函数f(x)是Pm(x)e x型(其中Pm(x3x V

60、 =0). 与所给方程对应的齐次方程为 y -2/-30 . 它的特征方程为 2 r -2-3二0 由于这里=0不是特征方程的根.所以应设特解为 y* =box bi . 把它代入所给方程.得 3box_2bo -3bi =3x 1 . 比较两端x同次幕的系数.得 念=3 1 由此求得bo=_i , b,=丄.于是求得所给方程的一个特解为 3 yx 例2求微分方程yyPyne2x的通解, 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 .且f(x)是Pm(X)ex型(其中Pm(X)=X =2). 与所给方程对应的齐次方程为 y dy 6y=0 . 它的特征方程为 2 r -5r 6=0 . 特征方程有两个