北航 时间序列与谱估计(2017x_L8)

1、空间谱估计信号模型n应用问题：应用m个阵元的传感器阵列估计n个信源的空间方位。对应的应用领域包括雷达探查、声纳、通信以及地震测震等。n基本方法：确定能量关于空间的分布情况。采用空间谱估计方法。n主要参数：在远场和平面波的假设下，主要参数为（信源）到达方向(DOA)或到达角(AOA)。信号模型n假设传感器阵列为均匀线阵列信号模型n则接受信号模型可写为n其中，参考阵元(k=1)的接受信号为s(t)， 为信号载频，( )( ) ( )( )ts ttyae12( )( )( )( )Tmty ty tyty12( ) ( )( )( )Tmte te tete2( )1cc mjjTee acsin

2、(1), 90 ,90 kdkc sin/(1)sin/( )1ccjdcj mdc Teea信号模型n设有n个信源，则有n其中 为第k个信源的到达方向， 为第k个信源。1212( )( )( )()()()( )( )( )( )nns ts ttts tttyaaaeAsek( )ks t时域与空域滤波器n阵列接收信号n设空域滤波器为：n记2( )( )1( )( )( )mjjets tteye011,mh hh0 11mh hhh时域与空域滤波器n空域滤波输出为：n不考虑噪声，则有01121( )( )( )( )Fmmyth y th y thyt2( )( )011( )1( )(

3、 )( )mjjFmythh ehes ts t *h a空域滤波器n设计空域滤波器应满足：n(1)DOA为 的信号无失真通过；n(2)尽可能减小DOA不为 的其他信号。n根据(1)，h应满足：( )1*h a空域滤波器n对于给定的方位范围，设计滤波器 ，计算滤波器输出功率其中n滤波器输出功率峰值给出信源到达方向。( )h22|( )|( )|( )( )*h yhRhFEytEt*( )( )RyyEtt波束形成n假设阵列输出是空间白的，即则有n波束形成滤波器设计： 满足*( )( )RyyEttI22|( )|( )|*h yh hFEytEtmin()h*h Rh( )1*h a波束形成

4、n波束形成DOA估计：n(1)计算n(2)n(3)根据峰值 确定n个信源波达方向11( )( )*yyNtRttN( )( )/ham2|( )|( )( )*hRhFEyt|1,2,kknCapon估计n滤波器设计： 满足nCapon估计滤波器：min()*h Rhh( )1*h a1*1( )( )/( )( )haaR aRCapon估计nCapon滤波DOA估计：n(1)计算n(2)n(3)根据峰值 确定n个信源波达方向11( )( )*yyNtRttN21|( )|1/( )( )*aR aFEyt|1,2,kkn1*1( )( )/( )( )haaR aR信号模型n设有n个信源，

5、则有n其中 为第k个信源的到达方向， 为第k个信源。1212( )( )( )()()()( )( )( )( )nns ts ttts tttyaaaeAsek( )ks t相关矩阵的特征分解n相关矩阵n令n那末sin/(1)sin/12( )1() ()()()aaaaccjdcj mdc TneeAmn相关矩阵的特征分解n相关矩阵n n其中 相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n设R的特征值为：n由于 为奇异矩阵，因此有：n 为R的特征值，设v为对应的任一特征向量2022vAPAvRvIvvAPA相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解nR的特征值 对应的特征向量v为 零子空间，由于 ，

6、零子空间是m-n维的，且 的零子空间也为 的零子空间；n由于 零子空间为m-n维的，从而 是相关矩阵R的m-n重特征值，对应的m-n维特征子空间称为R的噪声子空间；2APAnAPArank)(APAAAPA2相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解nR为正定矩阵，R的特征值为非负，任一对应于 的特征向量 有：n由于 为半正定矩阵，特征值为非负，而矩阵P为正定矩阵：iiviiiiiiivvAPAvRvIvvAPA)(222121mnn相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n对应于特征值 的特征子空间称为R的信号子空间，它 的值域子空间；n设对应特征值 的规范正交特征向量为：n设对应特征值 的规范正

7、交特征向量为：n1APA相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n令n那末相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n令n那末 nnnnsssRsRsRssssRRS22112121相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n从而n由于n因此相关矩阵的特征分解n相关矩阵子空间分解n由 得0)det(0CGACGSACSMUSIC算法n由 有*1*2*( )()0()*aaA GGan()( )akR GMUSIC算法n因此 是下列方程的解：n设 为基于估计的相关矩阵 的特征矩阵(分别对应于S,G矩阵的估计)，而 1nkkR*( )( )0*aGG a11( )( )*yyNtRttNMUSIC算法n谱M

8、USIC算法n谱MUSIC算法是求使下式最大的n个 1nkk*1( )( )*aGG aESPRIT算法nESPRIT算法的基本关系n设n那末21( )1( )1( )cc mjjeae 23( )( )2( )( )ccc mjjjeeae ( )21( )( )( )sin( )/( )(1) sin( )/cjkaaedckdc ESPRIT算法nESPRIT算法的基本关系n设n那末1()()00ccnjjeDe 12()()()Aaaan2( )1cc mjjTee aESPRIT算法nESPRIT算法的基本关系n设n由CAACISISCAACISISmmmmmmmm2111121111110000ESPRIT算法nESPRIT算法的基本关系n由n可知 与 有相同得特征值；DESPRIT算法nESPRIT算法原理：n由关系n得n得 的特征值n从而得频率估计：12SS2*111*1)(SSSS