圆锥曲线常用结论(无需记忆,会推导即可)

1、b2 koM kAB 2，即 KAB = a b2Xo 2 0 a yo 若P0(xo, yo)在椭圆 2 yy =1内，则被 Po 所平分的中点弦的方程 b 2 2 xx yy _ X。 y。 2 t 2 2 . 2 a b a b 若P0(xo, yo)在椭圆 2 x 2 a 2 y2 1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程 b 椭圆与双曲线-经典结论 点 P 处的切线 PT 平分 PFF2在点 P 处的外角. PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点

2、半径 PR 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 2 2 若PXxny。)在椭圆 笃 当=1上，则过P)的椭圆的切线方程是 竽卷 =1. a b a b 2 2 若R(xo,yo)在椭圆 笃 -y2 =1外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P、R,则切点 a b 弦 P1P2的直线方程是x 2x =1. a2 b2 X2 y2 椭圆 2 =1 (a b 0)的左右焦点分别为 F1, F2，点 P 为椭圆上任意一点 a b Y F1PF2 =，则椭圆的焦点角形的面积为 SF1PF2 =b2ta n?. 2 2 椭圆X-2 每=1 (ab0)的焦半径公式： a b | MR |=a ex0,

3、 IMF? |=a -ex)( FJ-c,。)，F2(c,0) M (x,y。). 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MFL NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A为椭圆长轴上的顶点， AP 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 AQ 交于点 N 贝U MFLNF. 2 2 AB 是椭圆务占=1的不平行于对称轴的弦，M(xo, y0)为 AB 的中点， a b 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 双

4、曲线 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角. PT 平分 PFF2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 2 2 x y 2 =1 (a 0,b 0)夕卜，则过 Po 作双曲线的两条切 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 2 2 x y Xx yy a b2 _ a2 b2 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切: P 在左若P0(xo, yo)在双曲线 2 2 笃-当=1 (a0

5、,b 0)上，则过F0的双曲线的切线方程 a b XX a yoy 一 b2 若F0(x0,y)在双曲线 a b 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2的直线方程是 警缨 =1. a2 b2 2 2 x y 双曲线二 2 -1 ( a 0,b 0)的左右焦点分别为 F1, F2,点 P 为双曲线上任意 a b 一点N FfF2 = 丫，则双曲线的焦点角形的面积为 S击pF? =b2co笃. 2 2 x y 双曲线 2 =1 (a 0,b 0)的焦半径公式：(F1(-c,0) , F2 (c,0) a b 当 M (x,yo)在右支上时，|MR |乂怡 a, | MF2 卜 exo - a.

6、当 M(Xo, yo)在左支上时，|MF1 |= -exo a, |MF2 卜-e - a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，则 MFL NF. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点， AP 和 A2Q 交于点 M A2P 和 AQ 交于点 N,贝U MFL NF. 2 2 x y AB 是双曲线 2=1 (ao,b o)的不平行于对称轴的弦， M(Xo, yo)为 AB a b b2 b2 的中点，贝 y KOM KAB =

7、，即 KAB =。 a yo ay。 2 2 若P)(xo, yo)在双曲线-7=1 (a o,b o)内，则被 Po 所平分的中点弦的 a b 2 2 方程是弩一辔.每一乌. a b a b6. 2 2 x y 若F0(x0,y)在双曲线 2 =1 (a0,b 0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方 a b sin sin 2 X y 若椭圆二 2 =1 (a b0)的左、右焦点分别为 Fi、F2,左准线为 a b ve-1 时，可在椭圆上求一点 P,使得 PFi是 P 到对应准线距离 d 与 PFz的比 例中项 2 2 x y P 为椭圆二 2 =1 (a b 0) 上任一点,Fi,F2为二

8、焦点，A 为椭圆内一定点, 1. 2. 3. 4. 程是$ a xx yoy b2 _ a2 b2 椭圆与双曲线推导的经典结论 2 x 椭圆2 =1 ( a b o)的两个顶点为 A(-a,O), A2(a,0)，与 y 轴平行的直 a b 线交椭圆于 P、P2时 AiR 与AP交点的轨迹方程是 X y 过椭圆- 2 =1 (a 0, b 0)上任一点A(X0,y。)任意作两条倾斜角互补的直 b x2 2 线交椭圆于 b2X0 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC 产(常数). a y。 2 2 若 P 为椭圆 令占=1 (a b 0)上异于长轴端点的任一点 ,Fi, F 2是焦点, a

9、 b ty a -c a P /PF|F2 - - , PF2F1 =，贝 U tan co t . a +c 2 2 2 2 设椭圆-y2 b2 a2 =1( ab 0)的两个焦点为 Fi、F2,P (异于长轴端点) 为椭圆上 任意一点, PF1F2 中，记.F1PF ： , PRF2 = 1 , F1F2P ，则有 13. 5. L,则当 0 6. a b 则2a-1 AF2问PA| | PFi卜2a | AFi |,当且仅当A, F?,P三点共线时，等号成 7. 8. 9. 一 0 型=1与直线Ax By C=0有公共点的充要条件是 b A2a2 B2b2 _ (Ax0 By0 C)2.

10、 2 y 2 =( (a b 0) ,O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OP _ OQ . b2 1 + - |OQ |2 a2b2 2 2 . a b x2 y2 过椭圆二 2=1 (a b0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 a b 椭圆 lx。) (y-y) 2 已知椭圆笃 a (1) |OP |2 的最小值是 MN 的垂直平分线交 10. 2 2 已知椭圆爲y2 a2 b2 线与 x轴相交于点 11. 12. 13. 14. 2 2 甘 2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为行；(3)SOPQ x 轴于P,则 If 匚！ = e | MN | 2 =1 (

11、a b 0) ,A、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分 2 , 2 2 , 2 a b a b P(x0,0)，贝y Xo ： a a 记.RPF2 - V 2 b”1( a b0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点 2b2 y 则 TFjPE2) Spb2ta巧. 2 2 x y + =1 ( a b0)的长轴两端点， P 是椭圆上的一点， a b PAB m , PBA=2, BPA= b 0)的右准线I与 x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F a b 的直线与椭圆相交于 A B 两点，点C在右准线I上，且BC _ X轴，则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 过椭圆焦半径

12、的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 4. 半径互相垂直 16. 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e（离心率）. （注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.） 17. 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 椭圆与双曲线的经典结论 双曲线 2 2 X y 双曲线 2 -1 （a0,b 0）的两个顶点为 A,（-

13、a,0）, A2（a,0），与 y 轴 a b 2 2 平行的直线交双曲线于 P1、P2时 AR 与 A2P2交点的轨迹方程是 笃+爲=1. a b 2 2 X y 1. 2. 12. 3. 补的直B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC b2x。 2 a y。 （常2 2 若P为双曲线 务 与=1 （a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点F1, a b F 2 是焦点， PF1F2 m , PF2F1 =匕,则 冗an2coE (或 2 2 X y 设双曲线 2=1 (a0,b 0)的两个焦点为 a b F1、 F2,P 为双曲线上任意一点，在厶 PF1F2 PF1F2 = 1 ,

14、 F1F2P =，则有 Sin- -(sin -sin -) 过双曲线 2 =1 （a 0,b 0）上任一点 A（x0, y0）任意作两条倾斜角互 a b 12. 2 2 X y 5. 若双曲线 牙=1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为 Fi、艮，左准线为 L, a b 则当 1v ew、一 2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得 PFi是 P 到对应准线距离 d 与 PH 的比例中项. 2 2 6. P 为双曲线 笃与=1 (a0,b 0) 上任一点,F i,F 2为二焦点，A 为双曲线 12. a b 内一定点，贝 V | AF2 | -2a勻PA| | PFi |,当且仅当A, F?

15、, P三点共线且P和 A, F2在 y 轴同侧时，等号成立 且 OP _ OQ . 1 1 (1) r - 2 |OP |2 |OQ |2 2b2 的最小值是-0- b2-a2 x2 过双曲线 a 1 1 a2 _b2 2 2 ;(2) |OP| +|OQ|的最小值为 2 2 4ab (3) S 2 丿 SQPQ b - a 9. 2 y 2=1 (a 0,b 0)的右焦点 b2 F 作直线交该双曲线的右支于 10. 11. M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x轴于 P,则 |PF | e | MN | 2 2 2 x y 已知双曲线 2 =1 (a 0,b 0) ,A、B 是双曲线上的

16、两点, a b 垂直平分线与 2 .2 a 十b x 轴相交于点P(x0,0),则x0 或x0乞 a 线段 AB 的 a2 b2 2 2 x y 设 P 点是双曲线 2二1 (a 0,b 0)上异于实轴端点的任一点 ,F 1、F2 a b 2b2 为其焦点记 F1PF2- V ,贝 U (1) |PF1 |PF2| 一 .(2) 1 cos 日 2 丫 S.PF1F2= b cot2. 2 2 设 A、B 是双曲线 令 = 1 (a 0,b 0)的长轴两端点，P 是双曲线上的 a b 一点，NPAB=G ,NPBA = 0 ,NBPA = Y , c、e 分别是双曲线的半焦距 2 离心率，则有(1)|PAF兽呼. | a -c cos * | PF1F2 7. 2 双曲线务- a 件是A2a2 8. 已知双曲线 2 = 1 (a 0,b 0)与直线 Ax By C = 0有公共点的充要条 b 2 2 2 -B2b2 EC2. 2 x 2 a 2 补1(b a 0),。为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点, 2 -* （a0，b 。）的右准线1与 x 轴相交于点E，过双曲 线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点，点C在右准线丨上，且BC _ X 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线