二、点和直线

1、第二章 点和直线HVOX2.12.1 点的两面及三面投影点的两面及三面投影Aaa 点的两面投影能够唯一确点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。定点的空间位置。两面投影体系的建立：两面投影体系的建立：V正面投影面正面投影面H水平投影面水平投影面OX投影轴投影轴ax矩形aax=A点到点到H面的距离（高度）面的距离（高度）aax=A点到点到V面的距离（深度）面的距离（深度）矩形矩形1. 1.点的两面投影图的形成点的两面投影图的形成Aaa HVOXaxa V Haax OXa aaxOX展开展开 去边框去边框正面投影与水平投影的连线垂直于正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；轴；正面投影到正面投影到O

2、X轴的距离等于轴的距离等于A点的高度；点的高度；水平投影到水平投影到OX轴的距离等于轴的距离等于A点的深度；点的深度；HVOXYZ3. 3.点的三面投影点的三面投影Aaa axa ayaz通常我们用大写字母表示空间的点，相应的小写字母表示其水平投影，小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影。WAHVOXYZaa axa ayazWa aa OXYHZYWaxayazay3. 3.点的三面投影点的三面投影2.22.2 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系AHVOXYZaa axa ayazWxzyA点的点的x坐标坐标aay=aazA点的点的y坐标坐标aax=aazA

3、点的点的z坐标坐标aay=aay只要给出一点的任只要给出一点的任何两个投影何两个投影, ,就可以就可以求出其第三个投影求出其第三个投影a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一: :通过作通过作4545线线使使a a a az z= =aaaax x解法二解法二: :用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 两点的相对位置两点的相对位置XOZYa a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 XZYWYHOa a

4、 ab bb 重影重影点：点： 空间空间两点在某一投两点在某一投影面上的影面上的投影重合为投影重合为一点一点时，则称此两点时，则称此两点为为该投影面该投影面的重影点。的重影点。A A、C C为为H H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )( )A A、C C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c例例2 2 已知已知A A点在点在B B点的右点的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A点的投点的投影影a a aXZYWYHOb bb 12106直线的分类直线的分类直直 线线一般位置直线一般位置直线特殊位置

5、直线特殊位置直线投影面垂直线投影面垂直线投影面平行线投影面平行线2.3 直线的投影直线的投影直线的投影 由 于 直 线 的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。VHXOBAabab2.4 一般一般位置直线的投影特性位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。 只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。ABVWHXYZO一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线称

6、为一般位置直线。ZXabaOYHYWabbbbabaaXOababABababXOB0直角三角形法直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角)mmABABmAB0=abBB0=AB两点的高度差mabABababXOXOabab直角三角形法直角三角形法（求直线的实长及对正立投影面的夹角）nnnA0BA0=abAA0=AB两点的宽度差nABabAB求解一般位置直线的实长及倾角求解一般位置直线的实长及倾角 根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用直角三角形法直角三角形法求解实长及倾角最为简便、快捷。2-5 2-5 特

7、殊位置直线特殊位置直线1.1.投影面投影面垂直线垂直线垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。正垂线垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。VWHXYZOAB铅垂线铅垂线（垂直于（垂直于H H面，同时平行于面，同时平行于V V、WW面的直线）面的直线）Zb Xa ba(b)OYHYWab a(b)a ab水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平行于OZ轴，且反映实长。VWHXYZOAB正垂线正垂线（垂直于（垂直于V V面，同时平行于面，同时平行于H

8、H、WW面的直线）面的直线）ZX(a)b baOYHYWabbababa正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。VWXYZOABH侧垂线侧垂线（垂直于（垂直于WW面，同时平行于面，同时平行于H H、V V面的直线）面的直线）baababYWZXa(b)baOYHab侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：投影面垂直线的投影特性可概括如下：（1 1）直线在它所垂直的投影面上的投影）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；积聚成一点；（2 2）该直线在其他两个投影面上的投

9、影）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且都等于该直分别垂直于相应的投影轴，且都等于该直线的实长。线的实长。 b a aba b b aa b ba 2. 2. 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并并反映直线与另两投影面倾角的实大。反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的另两个投影面上的投影垂直于投影垂直于相应的相应的投影轴投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角: 实长实长实长实长实长实长ba aa

10、b b 直线上的点具有两个特性： 1 1 从属性从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。 2 2 定比定比性性：属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 2.6 直线上的点直线上的点ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例3 3 已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成1 1：2 2两段，求分点两段，求分点C C的投影。的投影。O 例例 已知点已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C的正面投影。的正面投影。bXaabccaccbXOAB

11、bbaacCcHVO例例4 4：判断点判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a b k 因因k k 不在不在a a b b 上，上， 故点故点K K不在不在ABAB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法另一判断法? ?bbaaANMBVHOX根据从属性判断点与直线的相对位置根据从属性判断点与直线的相对位置mmnnOXbabanmmnH1X1O1VXHO 2-7 无轴投影图无轴投影图b1a1ABabbaXOX1O1abbab1a1把空间形体向投影面进行正投影时，所的投影图的大小、形状与距离投影面的远近无关。 在工程上，一般只要求投影图能够表达出空间形体的形状和大小

12、，而不需要考虑距投影面的距离，因此，投影轴也就没有了意义，可以不必画出。这种不需要画出投影轴的正投影图就叫做无轴投影图无轴投影图。无轴投影图无轴投影图无轴投影图无轴投影图例5：在无轴投影图中，根据线段AB的水平投影和正面投影作侧面投影。ababab过适当点作一条过适当点作一条与铅垂线成与铅垂线成4545角的辅助线角的辅助线 2-8 两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置两直线平行两直线相交两直线交错空间两直线平行空间两直线平行 两直线在空间互相平行，则它们的同面同面投影投影必然相互平行。反之亦然。反之亦然。ADCBabdcadcbXOadcbabdcXOabcdc a b d 例

13、例6 6：判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。 对于对于一般位置直一般位置直线，只要有两个同线，只要有两个同名投影互相平行，名投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直特殊位置直线，只有两个同名线，只有两个同名投影互相平行，空投影互相平行，空间直线不一定平行。间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例7 7：判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？空间两直线平行空间两直线平行当互相平行的两直线垂直于某

14、一投影面时，则在该投影面上的投影（积聚为两点），反映它们在空间的真实距离。ADCBa(b)c(d)空间两直线相交空间两直线相交 两直线相交必有一个公共交点公共交点，因此：若空间两直线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的投影规律。反之亦然。XOadcbkadckbXOadcbadcbkkADCBKcabb a c d k kd例例8 8：过过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影空间两直线交错空间两直线交错 空间两直线交错时，它们的同面投影可能相交，但“交点交点”不可能不可能符符合点的投影规律合点的投影规律；两直线相交吗？“交点交点”是两直线上的一对重影点的投影，重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。d b a abcdc1 (2 )3(4 )123 4 空间两直线交错空间两直线交错空间两直线即不平行也不相交时，称为交错交错。VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdb重影点重影点VHXOABCDaacdbcdbXOacdbacdbefm(n)mnf (e)NME