教学目的及基本要求正确掌握并理解数列函数极限的概ppt课件

1、宁 德 师 专 数 学 系http:/ 教学目的及根本要求教学目的及根本要求: 1.正确掌握并了解数列，函数极限的概念正确掌握并了解数列，函数极限的概念.收敛数收敛数列的列的 性质性质.第二章 极限与延续2.1 极限 2.可以运用 言语处置数列极限的一些 问题。 3.会运用四那么运算定理证明 重点与难点：数列。函数极限的概念。 课时：4学时,N宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2.1.1 数列极限数列极限 普通地普通地, 我们把按一定顺序陈列的无穷多个数我们把按一定顺序陈列的无穷多个数称为一称为一个数列个数列. 例如例如 (1) (2) (3) (4)1,2 ,3 ,n1111,23n1

2、1,1,1,1,1,n ,aaaa 都是数列都是数列. 通常也把数列写成通常也把数列写成12,nxxx宁 德 师 专 数 学 系http:/ 数列中的每一个数叫做数列的项数列中的每一个数叫做数列的项. 第第n项项 叫做数列的通叫做数列的通项或普通项项或普通项. 因此因此, 数列可用通项简记为数列可用通项简记为 .nxnx上述数列上述数列(1)(4)的通项分别为的通项分别为 对于数列对于数列, 我们主要关注的是当它的项数我们主要关注的是当它的项数 无限增大时它的无限增大时它的变化趋势变化趋势. 例如例如,当当 无限增大时无限增大时, 数列数列(1)中的数也随着无限中的数也随着无限增大增大; 数列

3、数列(2)却变得越来越小而接近于却变得越来越小而接近于0; 数列数列(3)在在1与与-1之之间交替取值间交替取值; 数列数列(4)不随变化而恒为不随变化而恒为 . 为此为此, 我们引入数我们引入数列收敛的定义列收敛的定义.1,1,nnxnannna定义定义1 假设当假设当 时时, 数列数列 无限接近于一个常数无限接近于一个常数 , n nx宁 德 师 专 数 学 系http:/ 那么称数列那么称数列 为收敛数列为收敛数列, 称为称为 时的极限时的极限, 记记为为 . 不收敛的数列称为发散数列不收敛的数列称为发散数列.nxn limnnx 显然显然, 这个定义是非常粗糙的这个定义是非常粗糙的,

4、由于没有阐明由于没有阐明 时时与常数与常数A无限接近的准确含义是什么无限接近的准确含义是什么. 通俗地讲通俗地讲, 所谓所谓“ 时时 与常数与常数A无限接近指的是当项数无限接近指的是当项数 充分大充分大时时, 与常数与常数A的间隔无限小的间隔无限小,也就是也就是 的值可以小于的值可以小于任何指定的正数任何指定的正数.n n nxnnxnx 宁 德 师 专 数 学 系http:/ 例如例如, 对于数列对于数列 , 假设我们指定它与假设我们指定它与0的间隔小于的间隔小于 , 那么只需那么只需 时就有时就有 ,假设指定它与假设指定它与0的的距距离小于离小于 ,那么只需那么只需 就有就有 , 1n11

5、010n 11010nxn1100100n 10100nx 同理同理, 假设指定它与假设指定它与0的间隔小于的间隔小于 , 那么只需那么只需 , 就就有有 , 110k10kn 1010nkx 因此因此, 时与常数时与常数A无限接近的准确含义就是无限接近的准确含义就是: 对对于于无论多么小的正数无论多么小的正数 ,可以选择一个充分大的自然数可以选择一个充分大的自然数N,使得从使得从N以后数列的一切项，都满足以后数列的一切项，都满足n 0宁 德 师 专 数 学 系http:/ nx 于是我们重新给出数列收敛的准确定义于是我们重新给出数列收敛的准确定义.定义定义2 当当 时时,有有lim0,nnx

6、 nNnx 例例1：证明：证明 .分析：对于分析：对于 要使得要使得 ，只须，只须 即即可满足要求可满足要求.证证: , 当当 时时,有有1lim1nnn0,111nnn1n10, N nN111nnn宁 德 师 专 数 学 系http:/ 故故1lim1nnn收敛数列收敛数列 有如下简单性质有如下简单性质:(i) 的极限是独一的的极限是独一的.(ii) 为有界数列为有界数列,即即 ,对于一切对于一切 均均 有有 .推论推论: 无界数列一定发散无界数列一定发散nxnxnx0MnnxM注注: 数列收敛一定有界数列收敛一定有界, 但反之有界数列不一定收敛但反之有界数列不一定收敛. 例如例如 是有界

7、数列是有界数列,可它却是发散的可它却是发散的. 即数列有界是收即数列有界是收 敛的必要条件而非充分条件敛的必要条件而非充分条件. ( 1)n宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2.1.2 函数极限函数极限1.自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大时的极限 由于数列可看作是定义在自然数集上的特殊由于数列可看作是定义在自然数集上的特殊函数函数 从而可仿照数列极限定义给出函数从而可仿照数列极限定义给出函数 当当 时的极限定义时的极限定义. ( )nf nx( )f xx 定义定义3假设对于假设对于 , 当当 有有 ,那么称那么称A为为 时时 的极限的极限, 记为记为 (或或 0,0MxM( )

8、f xAx ( )f xlim( )xf xA( ),f xA x 在上述定义中在上述定义中,假设只当假设只当 (或或 )时时, 有有 xMxM 宁 德 师 专 数 学 系http:/ 有有 , 那么称那么称A为为 (或或 )时的时的极极限限.( )f xAx x 例例3 证明证明 .分析分析: , 要使要使 . 只须只须 即可即可.证证: ,当当 时有时有 , 故故 .212lim33xxx0 21231333xxxx1x10, MxM212133xxx212lim33xxx宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2.自变量趋于有限值时的极限自变量趋于有限值时的极限定义定义4 假设对于假设对

9、于 ,当当 时有时有 , 那么称那么称A为为 时时 的极限的极限, 记为记为0,0 00 xx( )f xA0 xx( )f x00lim( )( )xxf xAxxf xA或，）注注: 1) 定义中定义中 阐明阐明 时时 的极限与的极限与 在在 有无定义及有无定义及 为何值无关为何值无关. 2) 是随是随 而确定的正数而确定的正数, 通常情况是通常情况是 越小越小, 那么那么 也越小也越小.00 xx0 xx( )f x( )f x0 x0()f x宁 德 师 专 数 学 系http:/ 3.左左(右右)极限极限 当自变量当自变量 只从只从 的左的左(右右)侧单边趋向于侧单边趋向于 时的极限

10、时的极限称为称为 时的左时的左(右右)极限极限. x0 x0 x0 xx左极限左极限:.)(,0,0bxfaxa恒有时使当右极限右极限:.)(,0,0bxfaxa恒有时使当.)0()(lim)(0bafbxfaxax或记作.)0()(lim)(0bafbxfaxax或记作宁 德 师 专 数 学 系http:/ lim( )lim( )lim( ).xaxaxaf xbf xf xb根据定义容易证明根据定义容易证明:例例4 讨论讨论 , 当当 时的极限时的极限.21,1( ),1xxf xxx1x 解解: 当当 时时, 当当 时时, 因此因此 , 故故 不存在不存在.1x 11lim( )lim

11、(1)2xxf xx1x 211lim( )lim1xxf xx11lim( )lim( )xxf xf x1lim( )xf x宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2.1.3 极限的运算法那么极限的运算法那么四那么运算：假设函数 与 在 都存在极限，那么函数 ， ， 也存在极限，且 (1) (2) (3) (4)( )f x( )g xa( )( )f xg x( ) ( )f x g x( )( )f xg x( ( )0)g x lim( )( )lim ( ) lim ( )xaxaxaf xg xf xg xlim ( ) ( )lim ( )lim ( )xaxaxaf x g

12、 xf xg xlim ( )( )lim,lim ( )0( )lim ( )xaxaxaxaf xf xg xg xg x其中lim( )lim( )xaxac f xcf x宁 德 师 专 数 学 系http:/ 例例5 求求 . 解解: 2231lim23nnnn222231131limlim3232nnnnnnnn2231lim(1)3lim(2)nnnnn22311limlim1322limnnnnnn例六例六 求求 . 解解: 原式原式 2226lim()22xxxx222(2)22limlim(2)(1)13xxxxxx宁 德 师 专 数 学 系http:/ 教学目的及根本要求

13、：教学目的及根本要求： 1.深化了解函数延续、函数左右极限、区间上函数延续、深化了解函数延续、函数左右极限、区间上函数延续、 延续点及其分类等概念。延续点及其分类等概念。 2.对普通的函数，特别是初等函数可以讨论其延续点并且对普通的函数，特别是初等函数可以讨论其延续点并且 分类。分类。2.2 函数的延续性重点与难点：函数延续的定义，延续点的判别及分类。重点与难点：函数延续的定义，延续点的判别及分类。课时：课时：2学时学时宁 德 师 专 数 学 系http:/ 2.2.1 2.2.1 函数延续的定义函数延续的定义定义定义9 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，假设的某一邻域内

14、有定义，假设 那么就称函数那么就称函数f(x)在点在点x0延续延续.)()(lim00 xfxfxx )()(, 0, 0)(:)(000 xfxfxxxxfxf有有使当使当处连续处连续在点在点语言表达如下语言表达如下连续的连续的函数函数右右连连续续在在点点就就说说函函数数即即且且等等于于存存在在如如果果左左连连续续在在点点就就说说函函数数即即存存在在且且等等于于如如果果0000000000)(),()()()()(lim;)()()()()()(lim00 xxfxfxfxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxxxx 定义定义10 (左左(右右)延续延续) 宁 德 师 专 数 学 系http

15、:/ 由函数的延续定义可知由函数的延续定义可知: 在点在点 延续的充要条件是延续的充要条件是 在点在点 左延续且右延续左延续且右延续. ( )f x0 x( )f x0 x定义定义11 设设 函数函数,当自变量当自变量 从初值从初值 变到终值变到终值 时时,称称 为为 的改动量的改动量(或增量或增量), 为函数为函数的改动量的改动量.( )yf xx1x2x12xxx x12yyy 由定义由定义11,设设 ,那么那么 于是定义于是定义9可改写为可改写为 或或0 xxx 00( )()()( )yf xf xf xxf x 000lim()()xf xxf x 000limlim()( )0 x

16、xyf xxf x 宁 德 师 专 数 学 系http:/ 从几何上看，在从几何上看，在 上延续的函数的图形是一条无延续的曲上延续的函数的图形是一条无延续的曲线，即是从点线，即是从点 到点到点 的一笔画成的曲线的一笔画成的曲线见图见图2-3假设函数假设函数 在区间在区间 上每一点都延续上每一点都延续,我们就称我们就称 在在 上延续或称上延续或称 为为 上的延续函数上的延续函数()fxII()fx()fxI, a b( ,( )A a f a( ,( )B b f b宁 德 师 专 数 学 系http:/ 我们通常把函数的延续点分成以下三类：我们通常把函数的延续点分成以下三类：二、函数的延续点二

17、、函数的延续点定义定义 设函数设函数f(x)f(x)在点在点x0 x0的某去心邻域内有定义，假设函数的某去心邻域内有定义，假设函数 f(x)f(x)有以下三种情形之一：有以下三种情形之一：(1)(1)在在x=x0 x=x0没有定义；没有定义；(2)(2)虽在虽在x= x0 x= x0有定义，但有定义，但 不存在；不存在；(3)(3)虽在虽在x= x0 x= x0有定义，且有定义，且 存在存在, ,但但那么函数那么函数f(x)f(x)在点在点x0 x0为不延续，而点为不延续，而点x0 x0称为函数称为函数f(x)f(x)的不延续的不延续点或延续点点或延续点. .)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 宁 德 师 专 数 学 系http:/ 1.可去延续点可去延续点:2.第一类延续点第一类延续点: 与与 均存在但不相等均存在但不相等 3.第二类延续点：第二类延续点： 与与 两者至少有一个不两者至少有一个不 存在存在 00lim( )()xxf xAf x0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim( )xxf