平行四边形提高题

1、平行四边形的提高题一.解答题（共30小题）1 在平行四边形 ABCD中，点E在AD边上，连接 BE、CE, EB平分/ AEC（1）如图1 ,判断 BCE的形状，并说明理由；（2）如图2,若/ A=90 ° BC=5 , AE=1，求线段BE的长.2. 如图，已知直线 MN与?ABCD的对角线 AC平行，延长 DA , DC , AB , CB与MN分别交于点 E, H , G, F. （1）求证：EF=GH ; （ 2）若FG=AC，试判断AE与AD之间的数量关系，并说明理由.于点H，连接DE . （1）求证:Bin?3. 如图所示，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 0,点E在

2、边BC的延长线上，且 0E=0B , OE交CDDE 丄 BE; (2)如果 0E 丄 CD , CE=3, DE=4，求 BD 的长度.4. 在 ABC中，/ ACB=90 ° CB边的垂直平分线交 BC边于点D，交AB边于点E,点F在DE的延长 线上连接 AF、CE .且AF=BE （1）如图1，求证：四边形 ACEF是平行四边形；（2）如图2，连接BF，若/ ABC=30 °四边形ACEF的面积为2二.求线段BF的长.5. 问题背景（1）如图， ABC中，DE / BC分别交AB , AC于D , E两点，过点 E作EF/ AB交BC 于点F.请按图示数据填空： EF

3、C的面积S仁, ADE的面积S2=探究发现（2）在（1）中，若BF=m , FC=n , DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2.拓展迁移（3）如图2, ?DEFG的四个顶点在 ABC的三边上，若 ADG、 DBE、 GFC的面积分别为 3、7、5，试利用（2）中的结论求 ABC的面积.图126. 如图1,在厶ABC中，AB=AC，/ ABC= a, D是BC边上一点，以 AD为边作 ADE，使 AE=AD , / DAE+Z BAC=180 ° (1)直接写出/ ADE的度数(用含 a的式子表示)；(2)以AB , AE为边作平行四 边形ABFE ,如图2，若点F恰好落在D

4、E上，求证：BD=CD ;如图3,若点F恰好落在BC上，求 证：BD=CF.A7. 在 ABC中，BD是角平分线，点 E、F分别在BC、AB边上，DE / AB , BE=AF , EF交BD于点G.(1) 如图1，求证：四边形 ADEF是平行四边形；(2) 如图2，若Z ABC=30 ° D为AC边中点，请直接写出图中所有与BE长相等的线&如图，在 Rt ABC中，Z ABC=90 ° DH垂直平分 AB交AC于点E，连接BE、CD，且CD=CE .(1) 如图1，求证：四边形 BCDE是平行四边形；(2)如图2,点F在AB上，且BF=BC，连接BD，若 BD平分

5、Z ABC，试判断DF与AC的位置关系，并证明你的结论.9.在 OAB 中，Z OAB=90 ° Z AOB=30 ° OB=4 .以 OB 为边，在 OAB 外作等边厶 OBC, E 是 0C 上的一点.(1)如图1，当点E是OC的中点时，求证：四边形 ABCE是平行四边形；(2) 如图2,点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长.10 .如图，？ABCD中，BD丄AD，/ A=45 ° E、F分别是 AB , CD上的点，且 BE=DF，连接EF交BD 于O. (1)求证：BO=DO ；(2)若EF丄AB，延长EF交A

6、D的延长线于 G,当FG=1时，求AD的长.11. 如图，分别以 Rt ABC的直角边 AC及斜边AB向外作等边 ACD及等边 ABE .已知/ BAC=30 ° EF丄AB，垂足为F,连接DF . (1)试说明AC=EF ; (2)求证：四边形 ADFE是平行四边形.12. 如图，在四边形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 ° AB=8cm , AD=12cm , BC=18cm，点 P从点 A 出发 以2cm/s的速度沿A运动，点P从点A出发的同时点 Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动， 当点P到达点C时，点Q也停止运动.设点 P, Q运动的时间为t秒

7、.(1)从运动开始，当t取何值时， PQC为直角三角形?13. 如图，在?ABCD中，M、N分别是 AD , BC的中点，/ AND=90 °连接 CM交DN于点O.(1)求证： ABN CDM ; (2)过点C作CE丄MN于点E,交DN于点P,若PE=1 , /仁/ 2,求 AN的长.BNC14. 如图，BD是厶ABC的角平分线，点 E, F分别在 BC、AB上，且 DE / AB , EF / AC . (1)求证：BE=AF ; (2)若/ ABC=60 ° BD=6，求四边形 ADEF 的面积.15. 如图1,在厶OAB中，/ OAB=90 ° / AOB

8、=30 ° 0B=8 .以OB为边，在 OAB外作等边厶OBC ,D是OB的中点，连接 AD并延长交OC于E . （1）求证：四边形 ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的长.B匚016.已知：在 ABC和厶DEF中，/ A=40 ° / E+Z F=100°将厶DEF如图摆放，使得/ D的两条边分别 经过点B和点C. （1）当将 DEF如图1摆放时，则Z ABD+Z ACD=度（2）当将 DEF如图2摆放时，请求出Z ABD+Z ACD的度数，并说明理由；（3）能否将 DEF摆放到某个位置时，使得

9、 同时平分Z ABC和Z ACB ?直接写出结论.（填 能”或 不能”BD、CD图117.如图，四边形 ABCD为平行四边形，AD=a , BE / AC , DE交AC的延长线于F点，交BE于E点. Z ADC=60 ° AC 丄 DC，求 BE 的长.18.动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图（1）,在厶ADC中，DP、CP分别平分Z ADC和Z ACD，试探究Z P与Z A的数量关系. 探究二：若将 ADC改为任意四边形 ABCD呢？已知：如图（2）,在四边形 ABCD中，DP、CP分别平分Z ADC和Z BCD，试

10、利用上述结论探究Z P与Z A + Z B的数量关系.（写出说理过程）B探究三：若将上题中的四边形 E+Z F的数量关系：.ABCD改为六边形 ABCDEF (图(3)呢？请直接写出Z P与Z A + Z B+Z19. 如图，已知 BAD和厶BCE均为等腰直角三角形，/ BAD= / BCE=90 °点M为DE的中点，过点 E 与AD平行的直线交射线 AM于点N . (1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图 1),求证：M为AN 的中点；(2)将图1中的 BCE绕点B旋转，当A , B , E三点在同一直线上时(如图 2),求证： ACN 为等腰直角三角形；(3)将图1中厶BCE绕

11、点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若成立， 试证明之，若不成立，请说明理由.图I图2图320. 如图， ABC三个顶点的坐标分别为 A (1, 1), B (4, 2) , C ( 3, 4).(1)请画出 ABC向左平移5个单位长度后得到的 A1B1C1； (2)请画出 ABC关于原点对称的厶 A2B2C2； ( 3)在x轴上求作一点 卩，使厶PAB的周长最小，请画出厶 PAB，并直接写出P的坐标.21. 已知 ABC中，M为BC的中点，直线 m绕点A旋转，过 B、M、C分别作BD丄m于D, ME丄m 于E, CF丄m于F. (1)当直线 m经过B点时，如图1,易证EM-CF.

12、(不需证明)(2)当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段 BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明.22.如图，已知, 点C逆时针旋转/ ACB=90 ° E, F 分别是在厶 ABC 中，CA=CB ,%角（0°v av90°,得到 MCN，连接 AM , BN .CA , CB边的三等分点，将 ECF绕(1)求证：AM=BN ；( 2)当 MA /CN时，试求旋转角 a的余弦值.C FB23. 已知：Rt ABCS RtA ABC , / A'C'B= / ACB=90 ° /

13、A'BC = / ABC=60 ° RtA ABC '可绕点 B 旋转, 设旋转过程中直线 CC和AA相交于点D . (1)如图1所示，当点C在AB边上时，判断线段 AD和线段A D之间的数量关系，并证明你的结论；(2)将Rt A BC由图1的位置旋转到图 2的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3) 将RtAA BC '由图1的位置按顺时针方向旋转角(O°WaW 120°,当A、C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数.24. 在Rt ABC中，/ A=90 ° AC=AB=4 , D

14、 , E分别是边 AB , AC的中点，若等腰 Rt ADE绕点A逆 时针旋转，得到等腰 Rt AD1E1，设旋转角为 a ( 0V a< 180° ,记直线BD1与CE1的交点为P.(1) 如图1，当a=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ;(直接填写结果)(2) 如图 2，当 a=135°时，求证：BD1=CE1，且 BD1 丄CE1 ;(3) 求点P到AB所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)圍1BCE：25. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图1,在梯形ABCD中，AD / BC,对角线AC, BD相交于点0.若梯形ABCD的

15、面积为1,试求以AC , BD , AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.D图1图2小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点 E,得到的 BDE即是以AC , BD , AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图3, ABC的三条中线分别为 AD , BE, CF.(1) 在图3中利用图形变换画出并指明以AD , BE, CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；(2

16、) 若厶ABC的面积为1,则以AD , BE , CF的长度为三边长的三角形的面积等于 .26. 如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标为 A (- 3 , 4), B (- 4 , 2), C (-2 , 1),且 A1B1C1与厶ABC关于原点0成中心对称.(1) 画出 A 1B1C1,并写出A1的坐标；(2) P (a ,是厶ABC的AC边上一点， ABC经平移后点P的对应点P'(a+3 , b+1),请画出平移后 的 A2B2C2.27. 我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这 其中还有更多的结论【发现与证明】在?AB

17、CD中，AB工BC ,将厶ABC 沿AC翻折至 AB 'C ,连接B D .结论 1 : B 'D / AC ;结论2 : AB 'C与?ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.请利用图1证明结论1或结论2.【应用与探究】在?ABCD(1)(2)(3)如图如图已知/ B=30 °将厶ABC沿AC翻折至 AB C，连接B'D.,BC=；AB=2匚，BC=1 , AB与CD相交于点 丘，求厶AEC的面积;AB=2二，当BC的长为多少时， AB D是直角三角形？中,1，若 AB=胰，/ AB D=75 ° 贝ACB=2,DH=CH，连结 BD .H圉(1)(2) 如图，当点F落在AC上时，(F不与C重合)，若BC=4 , tanC=3，求AE的长； 如图，当厶EHF是由 BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线 试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由.29. ( 1)如图1,点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段 和等边三角形 OCD，连接AC和BD，相交于点 E,连接BC 求/ AEB求证：BD=AC将厶BHD绕点H旋转,得到 EHF (点B , D分别与点E, F对应)，连接AE .CF与AE相交于点G,连接GH ,AD的同侧作等边三角形 OAB 的大小；(2)如图2, OAB