平面向量易错题解析

1、平面向量易错题解析1你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？22你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用|a|2 a ； | a | X y2）3你知道解决向量问题有哪两种途径？（向量运算；向量的坐标运算）4你弄清"a bx.|X2 y1 y2 0 ”与"a/ b 捲丫2 x2y10 ” 了吗？问题:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：若a 0,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若 a 0，且a?b 0，不能推出b 0 .（2） 已知实数a, b,c, （b o），且ab bc，则a=c

2、,但在向量的数量积中没有a? b b? c a c .（3） 在实数中有（a?b）?c a?（b ?c），但是在向量的数量积中（a?b）?c a?（b?c），这是因为左边是与c共线的向量，而右边是与 a共线的向量5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？1. 向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注uuu意不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移）。如已知A（ 1,2）， B（ 4,2 ），则把向量 Ab按向 量a =（- 1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）（

3、2） 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuuuur（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是UUB ）；|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，记作：a / b , 规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直ruuu umr线重合；平行向量无传递性！（因为有0）;三

4、点A B、C共线 AB AC共线；（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。如下列命题：（1）若a b，则a b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。uuuumruuruuirrr rr（3）若ABDC, U ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（ 5）若ab,bc ,则 a c。（6）若 a/b,b/c，贝U a/c。其中正确的是 （答: （4） （5）2. 向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c

5、等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，则平面内的任一向量a可表示为r r ra xi y j x, y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。r3. 平面向量的基本定理：如果&和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a ,r有且只有一对实数1、2，使a1 e1+ 2e2。rrrr1 r 3 r如(1)若a (1,1),b (1, 1),c ( 1,2)，则c (答：a -b ); (2)下列向量组中，能作为一uiu

6、ur 2 u2ITID平面内所有向量基底的是A. 0 (0,0), e2 (1, 2) B. e, ( 1,2),e, (5,7) C. e, (3,5),(6,10)itun 13uilt uurD. e, (2, 3),e2 (丄，-)(答：B)； ( 3)已知AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且 24uuit r uuu r uuur r2r 4rAD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为(答：-a 4b )；( 4)已知 ABC中，点D在BC边上，33且CD 2 DB，CD4.实数与向量的积rr1 aa , 2 当r AB sAC，贝U r s的值是(答：0):实数

7、与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时， a的方向与a的方向相反，当=0时， a 0 ,注意： a丰0。5.平面向量的数量积：“ “uuu r uuu r(1)两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作OA a, OB b , AOB称为向量a , b的夹角，当=0时，a , b同向，当时，a , b反向，当=?时，a , b垂直。(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量 a, b，它们的夹角为|_«.T_rra与b的数量积(或内积或点积)，记作：a ? b，即a ? b = a b cos，我们把数量| a |b

8、 | cos叫做。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如(1) ABC中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 ,r 1 r1 r r r u r则 AB BC (答: 9) ； (2)已知 a (1-),b (0, -),c a kb,d a2 2则k等于(答：1)； (3)已知a 2, b 5,ag)3，贝y a b等于(答:两个非零向量，且aba b，则a与a b的夹角为(答：3。°)r r ub , c与d的夹角为一，一 r rV23 )； (4)已知 a,b是(3) b在a上的投影为|b|cos ，它是一个实数

9、，但不一定大于0。如已知|a| 3 , | b | 5，且12(答：一)5a b 12，则向量a在向量b上的投影为(4)a ?b的几何意义：数量积a ?b等于a的模| a |与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a, b，其夹角为，则：rba?b 0 ；b同向时，a ? b =rrab2，特别地，ar2raja；当a与b反向时,rrab当当为锐角时，a ? b >0,且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必要非充分条件当为钝角时，a ? b v 0，且a、b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件 ；非零向量a , b夹角 的计算公式：cosr ir : |a?b|

10、|a|b|。 ab如(1)已知a(,2 ),(答:b (3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是的取值范围是已知 OFQ的面积为S，且OF FQ 1，若1 S ，则OF , FQ夹角2 2(,);(3 )已知 a (cosx,si nx),b (cosy,si n y), a 与 b 之间有关系式 4 3 rr r r rr rV3|a kb ,其中k 0，用k表示a b ;求a b的最小值，并求此时a与b的夹角 的大小(答： k2 11a b 1(k 0);最小值为一，60°)4k26.向量的运算：(1)几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则

11、”只适用于不共线的向量，如此之 uur r r AC叫做a与b的和，即ka b外，向量加法还可利用“三角形法则” r r uuu uuua b AB BC向量的减法：用点指向被减向量的终点。uuu uuir mur AB AD DCuuur AC ;“三角形法则”:设umr :设ABuiur r uuu rAB a, BC b，那么向量r uuir r ra, AC b,那么 auuuAB注意：此处减向量与被减向量的起点相同。uuu uuuuuir uuir(AB CD) (AC BD) _ r uuur r r 形 ABCD 的边长为 1, AB a, BC b, AC c，则 | auuu

12、 r uuuuuur uuuAc Ca，由减向量的终uuu uur uur如(1)化简：AB BC CD ;uuuuuu r(答：AD :CB :0 ) ； (2)若正方b c| =(答: 2J2) ； ( 3)若 O 是 VABC所在平面内一点，且满足uuu uurOB OCuuu uuur OB OCuu2OA ,若D为 ABC的边BC的中点， ABC所在平面内有一点则 的值为(答：2); ( 5)若点O是厶ABC的外心, (答: 120°);rr(2)坐标运算：设 a (x1, y1),b (x2, y2)，则： 向量的加减法运算iuu uuruuirAP AB AC(R):a

13、 b (x1 x2， yi y2)。，则当时,P,满足un PAuuu BPuuuuuuuurrOAOBCO0 ,则VABC的形状为且_(答：直角三角形);(4)UUwu r |AP|CP 0，设 iUtf,|PD|则 ABC的内角C为1 uuuA(2,3),B(1,4),且AB2用在点A(1,1)的三个力(答: (9,1 )实数与向量的积(sin x,cos y) , x,y urF1uu(3,4), F2(2,a 为，uuu若 A(为，yj, B(X2,y2)，则 AB已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若1点P在第一、三象限的角平分线上(答：-)；(2)已知2一答：

14、或2)；(3)已知作uu uu(,)，贝U x y 2 2 uuirin5),F3 (3,1)，则合力FF1F2 F3的终点坐标是xi,yi。X2段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3), B(“2 %，urnr1,5)，且 AC即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线1 uuuuuiruuu1 AB , AD 3AB，贝U C D的坐标分别是311(答：(1,亍),(7,9);r r:a?b x1x2 y1y2。平面向量数量积如已知向量 a =( sinx , cosx) , b =( sinx ,sinx ) , c=(-1, 0)。( 1)若1为丄，求的值(答:2向量的模：|a|, x

15、2 y2, a |a|2uu r么 |a 3b | = (答：J13 )；3 x=，求向量a、c的夹角；(2)若x 3A(1)15C°(2)-或 一 21);2 rr,，函数 f (x) a84b的最大值两点间的距离：若A x1, y1 , B x2, y2x2 y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60o，那2 2X2 x1y y。如如图，在平面斜坐uuuuu标系xOy中， xOy 60°,平面上任一点 P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP xe1 ye2 ,ur uu其中ei，e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，贝V P点斜坐标为(x, y)。( 1)若

16、点P的斜坐标为(2,(2) x2 y2 xy2),求P到O的距离丨PO|； (2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程。(答：(1) 2；提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量， 去一个向量，切记两向量不能相除(相约)； 为什么？r r8.向量平行(共线)的充要条件：a/b如 若向量a (x,1),b(4,x)，当rrrr r r ra(1,1)b(4,x) , ua2b, v2auuruuuuiurPA (k,12),PB(4,5), PC (1

17、0,k)，则 k =(2 )向量的“乘法”不满足结合律，,且一时,即两边不能约即 a(b?c) (a?b)c,(a b)2 (|a|b|)2“_时a与b共线且方向相同(答：u / v ,贝 U x = (答:A,B,C共线(答：2或11)%X2 = 0。2) ; (2 )已知 )；(3 )设9.向量垂直的充要条件：a b ab 0 |auuuUULTuuuuuurABACABACuuuuuu(iUUU 1iUturr)(-uuu-i-uutrr)。女如 (1)已知 OA(1,2), OBABACABACb| |a b|uuu(3,m)，若 OA0 特别地uuuOB，贝U m(答:7.向量的运算

18、律：(1 )交换律：abba ,aa ,a ?b t)?a ；结合律：rrrr rr r rrr rrr rrrrabca bc,a bca bc; ,a ?ba?ba?b ；(3)分配律：rrrrrrrrr rr rrraaa, ababab ?ca?cb?c 。如下列命题中：a(bc)a ba c :a(b c)(ab)c ；(ab)2|aI2r rr2|a1 |b1 |b|2；若ab0,则a0或b0;若r r a br cr rb,则arc ； ®r 2 ar2 a:1 11a bba ；rr rr22r r2 rr2aa(ab)2a b ；(a b)2a 2abb 。其中正确

19、的是(答：)1 0);3);(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB B 90，则点B的坐标是 (答:2rr u r .u u(1,3)或(3, 1 ) ； ( 3)已知n (a,b),向量n m，且n m，贝U m的坐标是 (答：(b, a)或(b,a)10.线段的定比分点：(教材未有内容，适度补充)(1 )定比分点的概念：设点P是直线P1 P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使uuu uuuruiuruuuuPPPF2，贝U叫做点P分有向线段RP2所成的比，P点叫做有向线段 RP2的以定比为 的定比分点；(2) 的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P

20、1P2上时>0;当P点在线段P1P2uuuu 的延长线上时<1 ；当P点在线段P2 P1的延长线上时10 ；若点P分有向线段RP2所成uuur1uurr3uuu的比为 ，则点P分有向线段 巳P所成的比为丄。如若点P分AB所成的比为-，则A分BP所成的比为2 14 (答: 7)3uuur(3) 线段的定比分点公式：设P (x1, y1) > P2(x2,y2), P(x, y)分有向线段PP2所成的比为，则x-ix2特别地，当 =1时，就得到线段 P P2的中点公式yx,x22y1%。在使用定比分点的坐2标公式时，应明确 应根据题设条件，灵活地确定起点，N（6，-1），且 MP

21、 3MN 则点（x, y）,（捲孑）、（X2,y2）的意义，即分别为分点，起点， 分点和终点，并根据这些点确定对应的定比（答：（6, 7）; （2）已知 A（a,0）,B（3,2 a）,3P的坐标为UUUUUULT2MB，贝V a等于终点的坐标。在具体计算时。如（1） 若 M（-3 , -2 ）,1 直线yax与线段AB交于M，且AM211.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;（2）|：| |b| |： b| ；当r r b| |a|ABC（答：2或4）|a|；|(|b| |aT T|b| |a3 )在b| |a|b|，特别地，当a、b同向或有0r

22、 rrrr rra b反向或有 0|ab| |a|b|a| |b| |a b| ;|b|(这些和实数比较类似).中，若 A x1,y1 , B x2, y2 ,C|a b| |a| |b| t t当a、b不共线X33则其重心的坐标为xiG -3里。如若"ABC的三边的中点分别为（1 )、(-3 , 4 )、(-1 , -1 ),则"ABC的重心的坐标为(答:(爲）；3 3UULTPG UUU3(PAULLUPBmurPC)ABC的重心，特别地UUUPAUUUPBUUU TPC 0ABC的重心; UUUPAUUUPA P为 ABC的垂心;uurPCUUU UUUPB PBUU

23、LT(般 |AB| I .UUU UUU UUJ ULUUUU UUU T|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0UUUT(3)若P分有向线段PP2所成的比为UULUT UUUTMP1 MP2 .?2 UUU UUU , PB、PC中三终点A、,O为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3)向量uuurPCUULT-UUe)(AC |UUU0）所在直线过占）八、ABC的内心（是 BAC的角平分线所在直线ABC的内心;LULUUUUUM为平面内的任一点，则MP世1一哩1，特别地P、UUT为P1P2的中点 MP（4）向量PA1 .如平面直角坐标系中B、C共线 存在实数UUT使得PAUU

24、U PC且OC1 OA 2 OB ,其中R且121,则点C的轨迹是例题1已知向量a33cos_x,sin x ,b22x . x cos , sin2 2(1)32 a b的最小值是-,求实数2的值.UUTPB,若点C满足（答：直线AB）化为关于COSX的二次函数在 0,1的最值问题，不知对对称轴方程讨论答案：易求ab cos2x,a b = 2 cosx ；2a b = cos2x 2 2cosx = 2cos x 4 cosxcosx0,11132 cosx从而:当0 时,f x min1与题意矛盾，0不合题意5当01 时，f xmin22 1 2 1 ；2 2当1 时，f x min1

25、435,解得-，不满足1;2 8综合可得:实数的值为12例题2 在 ABC中，已知AB 2,3 , AC1,k,且ABC的一个内角为直角,求实数k的值.错误分析:是自以为是，凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论答案：(1)若BAC90 ,即 ABAC,故ABAC0,从而2 3k0,解得k2;3(2)若BCA90 ,即 BCAC ,也就是BC AC 0 ,而BCACAB1,k3,故1 kk 30,解得k3V13 ;2(3)若ABC90 ,即 BC AB ,也就是BC AB 0,而BC1,k3 ,故0 ,解得k23 k302综合上面讨论可知，k例题4 已知向量 m=(1,1)，向量n与向

26、量，且 m n =-1，若向量n与向量q=(1,0)的夹角为，2(1)求向量n ;2 c向量p=(cosA,2cos )，其中 A C为 ABC的内角，且 A、B、 2C依次成等差数列，试求 n+p的取值范围。解：设n =（x,y）则由m，3 >=4得:cos< m,n >=叱x y"2"由 m n =-1 得 x+y=-1x 0 x 1联立两式得或 n =(0,-1)或(-1,0)y 1 y 0<，q >=2得 n q =0若 n=(1，0)则 n q =-1 0 故 n (-1,0) n =(0，-1)/ 2B=A+C A+B+C= B=_

27、 C= A332 Cn + p =(cosA,2cos 1) =(cosA,cosC)n + p = cos2 A cos2 C =22A4cos(322A)1cos2A 2A科寸1 *cos(2A -)3 12CA cos2A 闪.CAcos2A sin2A/ 0<A< 0<2A< 2A -1<cos(2A+)< -3 3332例题5已知函数 f(x)=m x-1 (m R且 m 0)设向量 a (1, cos2 ) , b (2,1) , c(4sin ,1) , d当（0, J时，比较f（a?b）与f（c?d）的大小。解：a ? b =2+cos2 ,

28、 c ?d =2sin ? +仁2-cos22 2f( a?b )=m 1+cos2 =2mcos , f( c?d)=m1-cos2 =2msin于是有 f( a?b)-f( c?d)=2m(cos? -sin ? )=2mcos2- (0,)4 2(0,_) cos2 >02当 m0时，2mcos2 >0,即 f( a?b)>f( c?d)当m0时，2mcos2 <0,即 f( a?b)<f( c?d)例题6 已知A、B C为 ABC的内角，且 f(A、B)=sin 2A+cos 2B- . 3 sin2A-cos2B+2 当f(A、B)取最小值时，求C 当A

29、+B=_时，将函数f(A、B)按向量p平移后得到函数f(A)=2cos2A求p2解： f(A 、B)=(sin 一 mxa b =xmx 1x (mx-1) >0当m > 0时x<0或x m<0时，x ( -mx+1) <02A- . 3 sin2A+ -)+(cos 22B-cos2B+ - )+1 44=(sin2A- ) 2+(sin2B- -) 2+12 2当sin2A= ,sin2B=-时取得最小值,2 2 A=30 或 60 , 2B=60 或 120C=180-B-A=120 或 90A) 222(2) f(A 、B)=sin 2A+cos 2( A

30、)- ?3 sin 2A cos2(2 2sin 2 2 a cos2 2a.3sin 2a cos2a 22cos(2A 3) 32cos(2A -) 33P=(3 2k ,3)例题7已知向量a (mx2, 1), b1(,x) (m为常数)mx 1，且a , b不共线，若向量a , b的夹角落a ,b为锐角，求实数 x的取值范围.解：要满足 a , b 为锐角只须 a b >0且a2 2mx mx xmx 1mx 1综上所述：x > 0时，x(,0)(15)mx = 0时，x(,0)x < 0时，x(，丄)(0,)m例题8 已知a= (cos a,sin a),b= (c

31、os 3,sin3) , a与b之间有关系|k a+b|=寸3 | a kb|，其中k>0,(1 )用k表示a b;(2)求a b的最小值，并求此时 a b的夹角的大小。解 (1)要求用k表示a b,而已知|ka+b|= . 3|a kb|，故采用两边平方，得2 K2|k a+b| =(3 | a kb|)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k a +b +2 ka b=3( a +k b 2 ka b)/ 8k a b=(3 k ) a +(3k 1)ba b= (3 k2)a2(3k21)b28k2 2/ a=(cos a, sin a ), b=(cos 3 ,si n 3 )

32、 a =1, b =1,2 2 2,3k2 3k2 1 k21 a b =-8k4kk21 2k1> :4k4k22(2)v k+1 > 2k,即 a b的最小值为又T a b =| a | | b | cos , |a|=|b|=1=1 x 1 x cos 。2=60°，此时a与b的夹角为60°。错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有2 2 2 2 2 2 | a+b| =|( a+b) |= a +b +2a b 或| a| +| b| +2a b。例题9已知向量a(cos ,sin ) , b (cos

33、 ,sin2,55(I)求cos( )的值；n)若02 2v解(I) Q a cos ,sinv va b cos cos ,sin0，且sin ，求sin 的值13v,bcos ,sin ,sin .Qv av b2512cossinsin2 245555丫 cos即22cos43 cos一 .55n) Q 0J0, 02234Q cossin55512Q sin,icos.1313sinsinsincoscossin412353351351365 .例题10已知0为坐标原点,uuu uuu点E、F的坐标分别为（-1 ,0）、（ 1,0），动点A、MN满足|AE| m| EF |uuuuLU

34、UTuuir1 uuuumr UUUU UULT(m 1)， MNAF0，ON(OAOF)，AM /ME.2(I)求点M的轨迹W的方程；mUUU(n)点p( ，yo)在轨迹 W上，直线PF交轨迹W于点Q,且PF 2的范围.UULLL UULTUULT 1 UUL UUU解：(I)T MN AF 0 , ON (OA OF),2 MN垂直平分 AF.UUrFQ，若1 << 2，求实数mUUUU UUUT 又 AM / MEUUUUUULTuuuuuuUULTUUUT| AM |me |AE|m|EF | 2m,|MA|IMF | ,UULTuuuruuu|ME IIMF |2m|EF

35、 | ,点M的轨迹w是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a m，半焦距c 1点M在AE上,2 m1 .,2 2 2b a c2 2点M的轨迹w的方程为二三 1 （ m 1）.m m 1(n)设 Q(X1, yjmuuuuuu-P( ,y°) , PFFQ ,21m(X11),y。y1.y1由点P、Q均在椭圆W上,2y。4m2 11,2y。2 2(m 1)消去y。并整理，得1.m2 m 1m212m m由 1 <2m 11< 2及m1，解得 1 m w 2 .基础练习题1.设平面向量a：=(-2, 1),b=(入，一1)，若a与b的夹角为钝角，则入的取值范围是1A ( -,2)

36、(2,)B、(2,)2C (,)D、(,2)22答案：A点评：易误选C,错因：忽视a与b反向的情况。OP OA(ABI AB|AC ), I AC |0,(A)外心(B) 内心(C) 重心(D)正确答案：B。),则P的轨迹一定通过厶 ABC的 ()垂心错误原因：对OP OA竺),0,)理解不够。不清楚AC|AB| |AC|ABI AB|与/ BAC的角平分线有关。|AC|3.若向量 a=(cos,sin),b = cos ,sin , a与b不共线，则a与b 一定满足(A. a与b的夹角等于-B. a / b2.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足D.C. ( a +

37、 b) ( a - b )4.已知O A、B三点的坐标分别为 O(0,0) , A(3, 0),则OA OP的最大值为()A . 3B. 6正确答案：C错因：学生不能借助数形结合直观得到当B(0 , 3)，是 P 线段 AB上且 AP =t AB (0 < t < 1)C. 9D. 12OPcos最大时，OA OP即为最大。正确答案：C 错因：学生不能把 a、b的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。5.在 ABC 中,a 5,b8,C60 ,则 BC CA 的值为 ()A 20 B20 C 20. 3 D20、. 3错误分析：错误认为 BC,CA C 60 ,从而出错

38、.答案：B略解：由题意可知 BC, CA120故 BC CABCCAcos BC,CA20.6.已知向量 a =(2cos , 2sin ),(,),2A. 2-B.+32b=（0,-1），则a与b的夹角为（）C.-D.2正确答案：A 错因：学生忽略考虑 a与b夹角的取值范围在0 ,。r r r r r r7.如果a b a c,且a 0，那么A. b c B . b c Cb c d . b,c在a方向上的投影相等正确答案：Db错误原因：对向量数量积的性质理解不够。uuu uuuC.2cosa,、2s in a）则向量OA,OB的夹角范围是（uuuuuururn8.已知向量 OB （2,0）

39、, OC （2, 2）,CAA、 n /12 , 5n /12 B 、 0 ,n /4 C 、 n 14 , 5n /12 D 、5 n /12 , n /2正确答案：A错因：不注意数形结合在解题中的应用。9.设a =（x 1, yj , b =（x2, y2），则下列a与b共线的充要条件的有（） 存在一个实数入，使a = b或b= a ；| a b |=| a| | b | ；X1 y1 ；（a + b）/（ a b）X2 y2A、1个 B 、2个 C 、3个D 、4个答案：C点评：正确，易错选Db10.以原点O及点A （5, 2）为顶点作等腰直角三角形 OAB使 A 90，则AB的坐标为（

40、A、（ 2, -5 ）B、（ -2, 5）或（2,-5 ）C 、（ -2 , 5）D、（ 7,-3 ）或（3,7）正解：B设 AB （x,y），则由 |OA| |AB|. 52 22x2 y2 由联立得 x 2, y 5或x 2,y5。AB （2, 5）或（一2,5）误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。/、 x1y111.设向量 a (x1,y1),b）条件。(X?, y2)，则是 a / b 的(X2y213.设平面向量a （ 2,1）,1),(R），若a与b的夹角为钝角，则 的取值范围是A、充要B、必要不充分C充分不必要D、既不充分也不必要正解：C卄 x1y1若一1一则 x1y2X

41、2y2X210, a/b, 若 a/b，有可能X2或y为0,故选Co误解：a/bx1y2x?y1ox1y1X2y2 '此式疋否成立，未考虑，选Ao12.在 OAB中，OA(2cos,2sin ),OB(5cos ,5sin )，若 OA OB5 ,则 S OAB=()A、 3B、-3c25 3、5 3D、-2正解：Do/ OA OB5 |OA| |OB| cosV5 （LV为OA与OB的夹角）2cos 2(2si n)2 (5cos )2 25sincosV 5二 coSV -2 si nV3 . Q_S OAB21 5.3-| OA | |OB | si nV2 2误解：c。将面积公

42、式记错，误记为S|0A|0B|si nVOAB(A)、(2, +1)c 、(一 , ) D、21A、( 一,2) (2,) B2错解：C 错因：忽视使用a b 0时，其中包含了两向量反向的情况正解：A14. 设a, b, c是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题:(a b) c cab 0 ababb c a c a b不与c垂直若a b,则a b与c不平行其中正确命题的个数是( )A 1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 正确答案：(B)错误原因：本题所述问题不能全部搞清。15. 若向量a= x,2x，b=3x,2，且a，b的夹角为钝角，贝U x的取值范围是 错误分析：只由a,b的

43、夹角为钝角得到a b0,而忽视了 ab 0不是a,b夹角为钝角的充要条件因为a,b的夹角为180时也有a b0,从而扩大x的范围，导致错误.正确解法： a , b的夹角为钝角，3x 2x 23x2 4x 04解得x 0或x 3(1)又由a,b共线且反向可得由(1),(2)得x的范围是1,043,答案:16.已知平面上三点B、C 满足 | AB |3,|BC|4,|CA| 5,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于A. 25B.24C.(25)D. 2417.已知AB是抛物线x2 2py(p0)的任一弦,为抛物线的焦点,l为准线.m是过点A且以向量1,0433(0, 1)为方向向量的直线.(1)