郑君里信号与系统总复习

1、信号与系统信号与系统总 复 习第一章第一章 绪论绪论1 1、信号的概念信号的概念2、分类、分类：典型的连续时间信号：指数、正弦、复指数、抽样、钟形、指数、正弦、复指数、抽样、钟形、(t), u(t), eat, sin(0t), Sa(kt) 3、信号的运算：、信号的运算：移位、反褶、尺度变换、移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘4、奇异信号：、奇异信号：单位斜变、单位斜变、 阶跃、阶跃、冲激（特性）冲激（特性）、冲击偶、冲击偶5、信号的分解：、信号的分解：脉冲分量、脉冲分量、6、系统模型及其分类、系统模型及其分类7、线性是不变系统的基本特性：、线性是不变系统的基本特性：线性（叠加性、均

2、匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性线性（叠加性、均匀性）、时不变特性、微分特性、因果特性两对关系式)sin()cos()sin()cos(tjtetjtetjtj)(21)cos()(21)sin(tjtjtjtjeeteejt欧拉欧拉公式公式推出推出公式公式一般情况一般情况注意注意！ 0 aabtafbatftf设设先展缩：先展缩： a1，压缩，压缩a倍；倍； a1，扩展，扩展1/a倍倍 后平移：后平移： +，左移左移b/a单位；，右移单位；，右移b/a单位单位 一切变换都是相对一切变换都是相对t 而言而言最好用先翻缩后平移的顺序最好用先翻缩后平移的顺序 加上反褶：加上反褶： abtaf

3、batf 解法一：先求表达式再画波形。解法一：先求表达式再画波形。231220( 22)102210221221ttftttt 及110( )101011ttf tttt 及)(tf11t例例2：信号如下图所示，求信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。，并画出波形。132312111213022ttttt 及)22( tf11t2132例例2：信号如下图所示，求：信号如下图所示，求f(-2t+2)，并画出波形。，并画出波形。231220( 22)102210221221ttftttt 及)(tf11t1第一章第一章 绪论绪论尺度变换特性尺度变换特性 )0()()(fdttft )()

4、0()()(tftft )()()(00tfdttftt )()()()(000tttftftt关于冲激信号关于冲激信号)()(*)();()(*)()()(00ttftttftfttftt偶函数偶函数v四种奇异信号具有微积分关系dttdt)()( dttdut)()(dttdrtu)()(dutrt)()(drtut)()(dtt)( )(举例举例：如图所示波形如图所示波形f(t)f(t)，求，求y(t)=fy(t)=f(t)(t)。 0 1 2 3 t f(t) 2 1 )3()2() 1(2)3()2()2() 1(2)(tutututututututf)3()2()1(2)3()2()

5、1(2)()(tttdttdudttdudttdudttdfty求导)(ty21031211t(2)(-1)判断下列系统是否时不变系统？ 1） 2） 3）) 1()()(tftftyf)()(ttftyf)()(tftyf直观判断时变系统：直观判断时变系统： 若若 前出现变系数，或有反转、前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。展缩变换，则系统为时变系统。)(f第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解 零输入响应与零输入响应与零状态响应零状态响应 冲激响应冲激响应 卷积及其性质卷积及其性质( (方便求方便求零状态响应零

6、状态响应) )关系！关系！说明：原课件中涉及到的说明：原课件中涉及到的0点跳变、冲激函数匹配法不做要求。点跳变、冲激函数匹配法不做要求。系统分析过程系统分析过程 域域求求解解微微分分方方程程变变换换，在在变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零法法形形式式有有关关的的函函数数形形式式与与激激励励函函数数特特解解：齐齐次次方方程程及及其其各各阶阶导导数数都都为为零零的的端端激激励励满满足足高高阶阶微微分分方方程程中中右右齐齐次次解解：经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程ZZ

7、trtetrph:)()()(,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问有关的问题有待进一步解决题有待进一步解决 h(t)；卷积法卷积法: : 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。( (新方法新方法) )：与冲激函数、阶跃函数的卷积与冲激函数、阶跃函数的卷积（一）冲激响应（一）冲激响应 h (t) 1）定定 义义 系统在单位冲激信号单位冲激信号(t) 的激励下产生的零状态响应零状态响应。 2 2）求）求 解解 形式与齐次解相同 d21 tfftf卷积定义：卷积定义：利用卷积可以求解系统的零

8、状态响应。利用卷积可以求解系统的零状态响应。 thtethtetr zs 卷积的性质 代数性质代数性质微分积分性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积交换律交换律分配律分配律结合律结合律第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换v周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数三角函数形式、三角函数形式、指数形式指数形式典型信号的频谱：典型信号的频谱：G(t),(t), u(t), Sa(t)v傅立叶变换傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质v对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反）对称性，线性、尺度变换特性

9、、时移性（符号相同），频移性（符号相反） v奇偶虚实性、微分特性、积分特性奇偶虚实性、微分特性、积分特性卷积定理卷积定理周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换与单脉冲与单脉冲 信号的傅立叶级数的系数的关系信号的傅立叶级数的系数的关系抽样信号的傅立叶变换抽样信号的傅立叶变换与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的 傅立叶变换的关系傅立叶变换的关系v抽样定理抽样定理时域抽样定理、频域抽样定理时域抽样定理、频域抽样定理注意注意2倍关系！倍关系！第三章第三章 傅立叶变换傅立叶变换v周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 1110)sincos()(nnntnbt

10、naatf称为称为f (t)的傅立叶级数（三角形式）的傅立叶级数（三角形式） 221111)cos()(2TTndttntfTa 221011)(1TTdttfTa三角形式傅立叶级数的傅里叶系数三角形式傅立叶级数的傅里叶系数： 221111)sin()(2TTndttntfTb 傅立叶级数傅立叶级数与与傅立叶系数傅立叶系数的联系与区别的联系与区别注意！注意！直流系数余弦分量系数正弦分量系数指数形式傅立叶级数的傅里叶系数指数形式傅立叶级数的傅里叶系数称为指数形式称为指数形式的傅立叶级数的傅立叶级数F Fn n : 指数形式傅立叶级数的傅立叶系数指数形式傅立叶级数的傅立叶系数 )(1 nF已知某函

11、数时域图形，会求其傅立叶级数已知某函数时域图形，会求其傅立叶级数三个性质 的的谱谱线线唯唯一一惟惟一一性性：处处现现在在（离离散散性性），频频率率只只出出谐谐波波性性：收收敛敛性性：)(,11tfnnFn 引入负频率对于双边频谱，负频率对于双边频谱，负频率)(1 n，只有数学意义，而无，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率物理意义。为什么引入负频率? ? 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解成成虚虚指指)(ee11jjtftfnn 注意：注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性冲激函数序列的频谱不满足收敛性矩形

12、波：v 频谱图频谱图)5sin513sin31(sin4)(111tttAtf)23cos(31)2cos(411ttA图1v例2 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。tttttf00003sin21sin2)452cos(cos21)(解 将f(t)整理为标准形式 )23cos(21)452cos()4cos(21)23cos(21)452cos()4cos(21)(000000tttttttf例1的频谱图 (a) 振幅图； (b) 相位图 0211cn000n000442(a)(b)210)23cos(21)452cos()4cos(21)23cos(21)452cos()4cos(

13、21)(000000tttttttf dtetfFtj )()( deFtftj 21)(傅立叶反变换傅立叶反变换= F f(t)= F-1F()时域信号f(t)的的频谱频谱 j 1 tuet tsgn j2 t 11 2 j1 tu 2 SaEte 222 2)( tEe 2)2( -e E tEG 傅立叶变换特性主要内容对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性时移特性频移特性 微分性质时域积分性质微分性质时域积分性质27(二） 奈奎斯特（Nyqist）抽样率 fs 和抽样间隔Ts从前面的频谱图可以看出，从抽样信号重建原信号的从前面的频谱

14、图可以看出，从抽样信号重建原信号的必要条件：必要条件：msmsff2or 2 抽样频率大于等于原信号最高频率的抽样频率大于等于原信号最高频率的2倍倍msfT21 msff2min msfT21max 抽样频率抽样频率抽样间隔抽样间隔奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔msff2 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算对各信号x(2t)， x(t)x(2t)， x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)；对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频率为2fm(Hz)；对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频

15、率为 6fm(Hz)。 根据信号时域与频域的对应关系及得：第四章第四章 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、 连续时间系统的连续时间系统的s域分析域分析v定义：单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换v拉氏变换的性质拉氏变换的性质线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、域平移、尺度变换、初值、终值尺度变换、初值、终值v卷积特性卷积特性v拉氏逆变换拉氏逆变换部分分式展开法（求系数）部分分式展开法（求系数）v系统函数系统函数H(s)定义（两种定义方式）定义（两种定义方式）求解（依据两种定义方式）求解（依据

16、两种定义方式）一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换 0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数 0deeetLstttssst1e10 0estss 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.单位冲激信号1）当收敛域包含当收敛域包含j 轴轴时时，拉普拉斯变换和傅里拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。叶变换均存在。j)()j (ssXX2）当收敛域不包含当收敛域不包含j 轴轴时时，拉普拉斯变换存在拉普拉斯变换存在而傅里叶变换均不存在。而傅里叶变换均不存在。3）当收敛域的收敛边界位于当收敛域的收敛边界位于j 轴轴时时，拉普拉斯拉普拉斯

17、变换和傅里叶变换均存在。变换和傅里叶变换均存在。)()()j (jnnnsKsXX例例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。)(e3tut)(e3tut)(2costut解：解： 时域信号 傅里叶变换 拉普拉斯变换)(e3tut)(e3tut)(2costut3j1331s不存在331s2j(j )4 (2)(2)2 042ss逆变换一般情况11121111)()()()( kkkpskpskpssA1121)1(1)(pskpskkk 求求k11，方法同第一种情况：，方法同第一种情况：求其他系数，要用下式求其他系数，要用下式 ： 11)()()(1111pskpssFpssFk kis

18、Fsikpsiii, 3 , 2 , 1 )(dd)!1(111111 1)(dd , 2112pssFsKi 当当1)(dd21 , 312213pssFsKi 当当例例5： 线性时不变系统的模型如下，且已知：线性时不变系统的模型如下，且已知：f(t)=U(t)，y(o-)=2， y(o-)=1。求系统零输入响应、零状态响应以及全响应求系统零输入响应、零状态响应以及全响应y(t)。)(6)(2)(2)(3)(22tfdttdftydttdydttyd解：解：0)(2)0 (3)(3)()0 ()0 (2sYyssYsYysysxxx)()()(tytytyfx零输入分量：零输入分量：)0(3

19、)0()0()() 23(2yysysYssx72 s035)(2teetyttx零状态分量：零状态分量：)() 62()() 23(2sFssYssfssF1)()()43()(2tUeetyttf023)(2teetytt全响应：全响应：)()()(tytytyfx1.定义一系统函数一系统函数 sHsEsR 响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 )(th sH te sE tr sR)()()( sEsRsH 所以所以 thtetr )()(),()( teLsEtrLsR 其其中中系统的零状态响应系统的零状态响应时时当当 ,)()(tte )()(thtr

20、 )()(sHsR )()(sHthL 则则二二H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系统统函函数数的的零零点点 ,21nzzz 系系统统函函数数的的极极点点 ,21nppp 在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示，零点：用表示，零点：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(1系统函数的零、极点例例4-7-14-7-1)2j)(2j()1()1j1)(1j1()(2 sssssssH极点：极点：, 121 pp零

21、点：零点： 4z j0j 1j 12j 2j1 画出零极点图：画出零极点图：, 2j3 p2j4 p, 01 z, 1j12 z, 1j13 z考虑到无穷远处可能存在零点或极点，则极点和零点的总数相等。 v因果系统的s域判决条件：稳定系统：稳定系统：H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面左半平面平面左半平面（不包括虚轴）；（不包括虚轴）；不稳定系统：不稳定系统：H(s)的极点落于的极点落于s平面的右半平面，平面的右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点；或在虚轴上具有二阶以上的极点；临界稳定系统：临界稳定系统： H(s)的极点落于的极点落于s平面的虚轴上，平面的虚轴上，且只有一阶极点。且只有

22、一阶极点。第五章 傅里叶变换应用于通信系统1.掌握利用系统函数掌握利用系统函数H（jw）求响应，理解其物理意义）求响应，理解其物理意义2.深入理解无失真传输的定义、特性。深入理解无失真传输的定义、特性。3.熟练掌握理想低通滤波器的频域特性和冲激响应、阶跃响应。熟练掌握理想低通滤波器的频域特性和冲激响应、阶跃响应。4.掌握调制和解调以及带通滤波器的运用。掌握调制和解调以及带通滤波器的运用。3、信号无失真传输的条件（对系统提出的要求）1)无失真传输条件（1）：（频域角度( )(),( )(),( )()e tE jr tR jh tH j设0()()()tjR jeEHjjK则即 为 满 足 信 号 无 失 真 传 输 ，对 系 统 的 频 率 响 应 特 性 提 出 的 无 失 真 传 输 条 件 。0()Kt 保证即要求系统的特性为常数； 为一通过原点的幅直线。 幅度无失真频响；相应相频响应位无失真 0)j (:tKH 即即几点认识：几点认识：要求幅度为与频率无关的常数要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为，系统的通频带为无限宽。无限宽。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。 O jH KO 0t 相位特性与相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。成正比，是一条过原点的负斜率直线。 例例1 1 已知一LTI系统的