数列的综合应用检测题与详解答案

1、数列的综合应用检测题与详解答案A级一一保大分专练1. (2019 昆明高三摸底调研测试)已知等差数列an的公差为2,且34是32与a8的等比 中项，则3n=()A. 2nB. 2nC. 2n- 1D . 2n+ 1解析：选B由题意得等差数列an的公差d=2,所以3n= 31+2( n- 1),因为34是32 与 38 的等比中项，所以 32= 3238,即(31 +6)2= (31+2)( 31+14),解得 31 = 2,所以 3=21 故选B.2.设y=f(x)是一次函数，若f(0) =1,且f(1) , f(4) , f (13)成等比数列，则f (2) + f (4) + f(2 n)

2、等于()A. n(2n+3)B . n(n+4)C. 2n(2 n + 3)D , 2n(n+4)解析：选 A 由题意可设 f (x) = kx+1(kw 0),则(4 k+1)2= ( k+1)(13 k+1),解得 k= 2, f(2) +f (4) + + f (2n) = (2 x 2 + 1) +(2 x 4+ 1) + (2 x 2n+ 1) = n(2 n + 3).3.已知公差不为 0的等差数列3n满足31, 33, 34成等比数列，S为3n的前n项和，则SS2的值为()S3A. 2B . 3C.1D , 45解析：选A 设等差数列3n的公差为d( d* 0) . .1 31,

3、 33, 34成等比数列，3134= 32, 口.， c、 ， c 、2 -S3-Sa3331+ 2d c即 31( 31 + 3d) = ( 31 + 2d),斛得 31= 4d. - « 了= ：=-= 2.故选 A.55 S3 35 + 34 2 31+ 7d4. (2018 郑州一中入学测试)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请 公仔细算相还.”其意思为有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走 的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A. 96

4、 里B . 48 里C. 192 里D . 24 里, ., ,1 ,解析：选A 依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为万的等比数列，记1为an,其前6项和等于378,于是有11-2= 378,解得 a1= 192,因此 a2=-a1= 96,即该人第二天走了 96里，选A.、n*.,_ .5 .定义：D _ ,F(nCN)为n个正数R, P2,，P,的“均倒数” 若数列J an的 P1十P2十十P前n项的“均倒数”为而则数列 an的通项公式为()A. an=2n1C. an=4n3B . an= 4n- 1D . an= 4n-5解析：选Cada2+ an 2n 1'a1

5、 + a2+ ana1 + % + an =(2 n 1) n, ad a2+ an i= (2 n- 3)( n 1)( n"2),当 n"2 时,an= (2 n 1) n (2 n 3)( n -1) =4n-3,又 a1=1,，an=4n 3.6 . (2019 河南六市联考)若正项递增等比数列an满足1 + a2a4+入(8 as) = 0(入 R),则a6+入a7的最小值为()A. - 2B . - 4C. 2D . 4解析：选D设等比数列an的公比为q, qw0,因为数列an为正项递增等比数列，所 以 a4一a2>0 且 q>1.1因为 1+a a

6、4 + 入(a? a5)=0,所以 1+ X q=,a4 a2.、” .、a6q4q41+ 12 12 1 所以a6 +入 a7 =a6(1+ 入 q)= aa-=1 =21 = q + 1 +1 = q - 1 + + 2>2yJ q21|q + 2=4 且仅当q21 = q7时，即q = p时，取等号:即a6+入a7的最小值为4,故选D.7 .某公司去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10%则从今年起到第 5年，这个厂的总产值为解析：每年的产值构成以a(1+10%)= 1.1 a为首项，1.1为公比的等比数列，所以从今5年起到第5年的总产值 S5=a;-77=11(1.1

7、 5-1)a.1-1.1答案：11(1.1 5-1)a8 .已知S是等比数列an的前n项和，S成等差数列，az+a5=4,则a8=.9/ 一3 一 一6.,2 1 q1 q 1 q ,_解析：因为Se, 4, 4成等差数列，所以公比qw1, q = -q + -q,整理得1-q 1-q 1-q2q6= 1+ q3,所以 q3=2故 a2为 i= 4,解得 a2= 8,故 as= 8x- = 2.2 4答案：29 .已知等差数列an满足 ai+an+an+i = 3n(n>2),函数f(x)= 2x,bn=log4f (an),则数列 b的前n项和为.解析：,一等差数列 an满足an1 +

8、an+an+1 =3n(n>2),3an=3n,即an=n.又:函数f(x)=2 ,f (an)= 2 ,bn- b2+ +bn= log4f(a。, f (%) f(an)= log 4(2 x 2 x x 2 ),-1+2+ +n 1、，“-、 nn+1=log 42=,x (1 + 2+ n) =4答案：410 . (2018 沈阳质检)在数列an中，a1 = 1, a2=2, an+1= 3an-2an 1( n>2),则 an = .an + 1 - an解析：法一：因为 an+1 = 3an-2an 1(n>2),所以=2( n> 2),所以 a+an=(a

9、2、 'an an-1、，''a1)2 = 2 (n>2),又 a2 a1 = 1,所以 a an-1 = 2 , an-1 an-2= 2 ,，& a1=1, 累加，得 an=2n1(nC N*).法 .:因 为 an+1 = 3an 2an 1( n > 2), 以 an+1 2an= an 2an1, 得 an+1 2 al = an 2an-1 =an1 2an2=a2 2a1=0,即an= 2an 1( n>2),所以数列an是以1为首项，2为公比 的等比数列，所以 an= 2nT( ne N).答案：2nT 311.已知等比数列an

10、的前n项和为S,公比为2.65(1)右&=五，求a1._1(2)若 a=2, cn=an+nb,且 C2, c, C5成等差数列，求 b.3_65解：(1)二.公比 q = 2，&=五,3242.8165 1一 J 一记尸=48,解得a1=3.又: Cn=an+nb,1 一 3 一 1.27181 - C2= -a2+ 2b= -+ 2b, C4= -a4+ 4b= + 4b, C5 = -a5+ 5b=+ 5b.2228216C2, C4, C5成等差数列，273813-2'-+4b -+2b+5b,解得 b=-.82161612.设数列an的前n项和为8b点片, 3

11、 1 nC N(均在函数y=x的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列韵前n项和为Tn,若对任意的ne N*,不等式4Tn<a又 4Tn<a a,2 w a a,解得 aw 1 或 a> 2,即实数a的取值范围为(一8, 1U2, +8).B级一一创高分自选1 .若定义在R上的函数y = f (x)是奇函数且满足f弓一x = f (x) , f( 2) = 3,数歹Uan，一一 San 一一一满足a = 1,且=2*1+ 1(其中S为a的刖n项和)，则f (as) + f (a6)=()A. - 3B . - 2C. 3D . 2 3一解析：选C由fax != f(

12、x)可知函数f(x)的图象的对称轴为直线 x=4.又函数y = f(x) 是奇函数，所以有 f j|-xf (x) = - f Jx-| 所以 f Jx-2 f= - f (x),即 f (x 3) = f (x), 一， .，&an一,所以函数 y=f(x)的周期为 3.由-= 2x -+ 1 得&=2an+n.当 n>2 时，an=SS1 = 2an+n n na恒成立，求实 3nan + 1 '数a的取值范围.解：(1)依题意得Sn = n,即S=n2.当 n > 2 时,an = Sn S1 = 2n 1,当 n= 1 时)a1 = S = 1 =

13、2X1 1=1, . an= 2n 1.(2)J1- ，)(2)anan+12n12n+ 12/n1 2n+1 J' .Tnm-+4421 3 3 52n-1 2n+1j 212n+1, 2(2 an l + n 1) = 23n 2an 1 + 1 ,即 3n = 23n 1 1 ,所以 a = 3 , 93 = 7, 34= 15 , 35 = 31, 36=63,则 f(a5)+f(a6)=f( 31) + f(63) = f( 1)+f(0) =-f(1) +f(0).由 函数 y=f(x)是奇函数可得 f(0) =0,由 f(2)= 3 可得 f(2)=f(1) = 3,所以

14、 f (35) + f (36) =3.故选 C.2 .为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型.今年年初投入了电力 型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%混合动力型车每年比上一年多投入3辆.市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则3的最小值为 .3解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128,公比为1 + 50除工的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300,公差为 3的等差数列，则 5年后的数量和为128 X 1 5X

15、4卜300X 5+23,所以7i'3 128X 1-匕 I31 -1 2+ 300X 545X4r2-3>5 000 ,即 103> 1812,解得3R181.2,因为5年内更换公交车的总和不小于5 000,所以3的最小值为182.答案：1823 . (2018 广州高中综合测试)已知数列3口的前n项和为数列巧思首项为1,公 差为2的等差数列. 求数列3n的通项公式；(2)设数列bn满足3+32+ 3n=5-(4n+5) 11 n，求数列bn的前n项和Tn. b1 b2bn2解：(1)因为数列 遑首项为1,公差为2的等差数列，S所以；=1 + 2(n 1) =2n 1,所以 S=2n2n.当 n= 1 时，31 = S = 1;当 n>2 时，3n = Sn Sn 1 = (2 n n) 2( n 1) ( n 1) =4n 3.当n= 1时，31 = 1也符合上式，所以数列列的通项公式为3n= 4n-3.一 311当1时,R=2,所以b