第五章近似方法PPT课件

1、第五章 近似方法n大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。5.1 不含时微扰理论：非简并情况 n已知： 求 的近似解nV为微扰势n非简并定态微扰理论的起点通常是：n或简单写成：n0,1。 =1是真正要求的微扰问题。引入可了解微扰作用的特点，且使我们能通过比较不同幂次的系数而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在本征值在的复平面上的复平面上，对应于于 =0附近是解析附近是解析连续的连续的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数几项展开便应是较好的近似。(0)0(0)0,nHnEn0()nH nHVnE n( )( )

2、0()nHVnEn0()nH nHVnE n一、两能态问题n先讨论两能态严格解的的级数展开特点n严格解：n若 (微扰小于能级差的一半)，则有n注：1)在 时级数才能快速收敛n2）能级不因微扰而交叉n3）并非微扰足够小便能级数展开，还需满足收敛条件。(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)12122111221221HEEVV微扰展开与戴森级数的重要差别(1)10( )()(1)! nnnfxxn 111100011101122202111212201211,1( , )11( , )1( , )1 oooooonottttttttttttntttntttniu t tdtt

3、 u t tiidttdttu t tiidttdtdtttu t tidtdtdttt 2nt二、微扰理论n记 ，有 n可见n定义n有 n和 n可解得：n因n取 （|n暂不归一化n有相应解有相应解 和和( )( )0()nHVnEnn利用 n得：求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正n本征矢方程为：n比较解得：3(0)(2)nnV n n归纳得解：n这里n微扰使不同未微扰态有所混合，但形式上混入部分不含|n0n能级不因Vij而交叉n能量的2阶修正使基态能量降低三、微扰态矢的归一化n记n由于 =1, 1n 四、应用举例n例1：谐振子n（ ）n该问题也可解析求解：n解析解基态能量

4、：)(2aamxn解析波函数：无微扰n有微扰时：n n与二阶微扰结果一致！ 例2：电场中的球对称原子n忽略自旋自由度，并设体系不简并(V不改变态的自旋)，则据微扰理论，能量变化为n 无微扰态是宇称本征态，zkk=0, 无线性Stark效应（体系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。n由于 ,求和局限于相关态n 注意：V, Lz=0，电场不破坏轴对称，m仍是好量子数n原子极化率定义：n类氢原子基态的:n对氢，该求和可严格求解(与实验吻合)为 n估算：n (考虑低激发态波函数，可提高估算精度）小结：不含时非简并微扰理论 求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正n比较对应 系

5、数得：( )( )0()nHVnEn(0)0(0)0,nHnEn理论要求：本征态与本征值在复平面上，对 =0附近解析连续。实用要求：取少数阶展开便是较好的近似。5.2 简并态的定态微扰理论n一、非兼并微扰理论的问题一、非兼并微扰理论的问题n未微扰态简并时，原微扰公式:n因有分母=0，不能用。此外，近兼并时的收敛性也成问题。n若Vnn (n与n简并/近兼并)为零，则表达式有可能仍有用.0()nH nHVnE nn设有g度简并态|m(0),其展开的子空间为D。D中的态可一般地写为：n记P0 为投影到D的投影算符，P1=1-P0则是投影到其他态矢组成的子空间部分的算符。本征方程可写为：n分别用P0和

6、P1作用于上式，有n若微扰成立，则要求 且 E 与 不同。上式可解为:n , 代入前一式n得(0)DEE ,(0)k DE二、兼并态微扰理论00()mmn考虑能量至一阶，波函数至零阶，可有n此即g维简并子空间的线性方程组，其解即为求n (V=)n由此可得零阶态矢和一阶能移:n因采用使V对角化的|m(0)组合，该方法不限于严格简并情形。将近简并能级并入D可使微扰展开快速收敛。(1)(0)(0)iliilV l0(1)det()det0DnVEEVn若微扰使简并消除,可以 为微扰, 态矢一阶修正:nP1对一阶态矢的修正：nP0|l(1)+P1|l(1)即为完整的一阶态矢修正。n2阶能量修正：n形式

7、与非简并情形类似，但求和限于D外的子空间。n上述一阶波函数和二阶能级修正成立的条件是简并被微扰消除，否则需将 作为微扰，进一步用简并法求其修正。0101021VPPVHEVPP(0)(0)2(0)00110(1)00(0 1)(0 1)()(0)(0)00(0)(0)(0)(0)(0)(0)11(0)(0)(0)()()0111jjiijiijjjjijijijik DjiDjiDkP llPVPPVP lEHVP lEEP lP llVPPV llV kkV lvvEHvvEE2(2)(0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)101iiklliiiiiiiiDkk DVlV

8、 llV PllV PllV PlEE20110(0)01DPVPPVPEH归纳之，简并态的微扰法为归纳之，简并态的微扰法为：n1）用简并态构造相应的微扰矩阵：V=n2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。n久期方程本征值为一阶能量修正：n本征解为0的零阶本征矢：n3）高阶微扰（简并消除后）n原简并子空间内：基于n 一阶态矢修正（对2阶能量修正无贡献）：n原简并子空间外：使用等同于非简并的微扰理论表达式n4）更高阶修正：实际中很少考虑。(1)(0)(0)iliilV l将近简并能级并入D可使微扰展开快速收敛)0()0()0()0()0()0()0(0)1 (01ikDDkjijijjilVkEEkVllPlPDkkDkllEEVii)0()0(2)2(三、简并微扰理论应