4-2力矩-转动定律-转动惯量解析

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Pz*OsinFrM FrMMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转,力力 作用在刚体横截面上点作用在刚体横截面上点 P 且且在此平面内在此平面内, 为由点为由点O 到力到力的作用点的作用点 P 的径矢的径矢.力力 对对转轴的力矩转轴的力矩 (对对O点点) FMrF0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 MFdrFt第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzrFrFMtzsinzFF 1）若力若力

2、 不在作用点转动平面内，把力分解为平不在作用点转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量行和垂直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFFP第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量4)、注意

3、：、注意：根据力对转轴力矩的定义，当力平行于轴根据力对转轴力矩的定义，当力平行于轴或通过轴时，力对轴的力矩为零。或通过轴时，力对轴的力矩为零。FrM第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFttmaF 2iejjjjrmMM2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM trFM OzjmjrjFejFi(牛顿定律牛顿定律)mr2mr第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量

4、转动惯量 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.rmMMjjjjjjj2ie0jijjiijMMM)rmMjjjj2e( 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义定义转动惯量转动惯量OzjmjrjFejFimrJd2第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量说明：说明： （1）对于给定的刚体和转轴，）对于给定的刚体和转轴，J为常数，转动为常数，转动定律表示，外力矩是刚体转动状态发生变化的原因。定律表示，外力矩是刚体转动状态发生变化的原因。 （2）

5、如果给定）如果给定M，那么，那么J越大，越大， 越小，转动越小，转动状态就越难改变，可见状态就越难改变，可见J是描述刚体转动惯性大小的物是描述刚体转动惯性大小的物理量。理量。 （3）与牛顿第二定律）与牛顿第二定律 相比较，在形式相比较，在形式上非常类似，牛二律是解决质点运动问题的基本定律；上非常类似，牛二律是解决质点运动问题的基本定律；转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。转动定律是解决刚体定轴转动问题的基本方程。 转动定律转动定律JM mrJd2amF第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量mrJrmJjjjd,22三三 转动惯量转动惯量 物

6、理物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.类似于质量类似于质量 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2222112rmrmrmJjjj转动惯性的计算方法转动惯性的计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22：质量元：质量元md第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量元：质量元md 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJjjjd22

7、lmdd：质量线密度：质量线密度Smdd：质量面密度：质量面密度Vmdd：质量体密度：质量体密度第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量要求会计算几何形状简单，质量分布均匀的刚体的要求会计算几何形状简单，质量分布均匀的刚体的转动惯量转动惯量对于复杂的刚体，无法用理论方法求解，可以用实对于复杂的刚体，无法用理论方法求解，可以用实验方法测定验方法测定第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmdd

8、lrrJ02drd32/02121d2lrrJl233131mll rrrmrJddd22 例例1 一一 质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.mlrd2l2lO O2121ml如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒r第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量OROR4032d2RrrJRr dr 例例3 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR 解解

9、设圆盘面密度设圆盘面密度 在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环的转动惯量圆环的转动惯量园柱呢园柱呢?rdrds2第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2221mRmRJPCCOJmdJJ2四四 平行轴定理平行轴定理PORORr dr 转动惯量的大小取决于刚体的转动惯量的大小取决于刚体的质量质量、形形状及转轴的位置状及转轴的位置. 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与该轴平行对

10、任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmddCOm注意注意第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些更安全？竿子长些还是短些更安全？第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 对于由质点和刚体组成的系统，首先要明确，处理这类问题的基本方法是隔离体法。对质点分析受力和加速度，应用牛顿定律。对刚体要分析所受力矩和角加速度，应用转动定律。然后通过角量与线量的关系，把质点的加速度与刚体的角加速度联系起来

11、。转动定律应用：第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例1 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R质量质量为为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平

12、和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体）物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解 计及滑轮质计及滑轮质量，物体量，物体A、B

13、作平动，作平动，滑轮作转动滑轮作转动.对系统作隔对系统作隔离受力分析，分别列牛离受力分析，分别列牛顿第二定律及转动定律顿第二定律及转动定律方程方程（1）第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令如令 ，可得，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落由静止出发作匀加速直线运动，下落y时的速率时的速率2/22CBABmmmgymayABCAmBmCmT1FT2F第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定

14、律转动定律 转动惯量转动惯量（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa JMRFRFfT1T2T2FT1FfMT2FBPBmAPT1FNFAm第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa 第四章第四章 刚体的转动刚

15、体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例例2 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置匀质细杆竖直放置，其，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.lm 解解 细杆受重力细杆受重力 和铰链对细杆的约束和铰链对细杆的约束力力 作用，

16、由转动定律作用，由转动定律NFsin21mglM 式中式中231mlJ 得得sin23lgomgJ第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量t dd由角加速度的定义由角加速度的定义00dsin23dlg积分得积分得)cos1(3lgsin23lgt ddddsin23ddlgomg第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 习题册习题册 4 刚体的转动刚体的转动(1)第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 一长为 的轻质细杆，两端分别固定质量为 和 的小球，此

17、系统在竖直平面内可绕过中点 且与杆垂直的水平光滑固定轴（ 轴）转动，开始时杆与水平成 角，处于静止状态，无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕 轴转动，系统绕 轴的转动惯量为 释放后，当杆转到水平位置时，刚体的合外力矩为 角加速度为 Lmm2OO060OO?J?M?mm2O06022243222mLLmLmJ第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量mm2Ogm2gm取转轴的正方向为垂直纸面向里，mgLLmgLmgM21222由转动定律LgJM32第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 转动着的飞轮的转

18、动惯量为 ，在 时角加速度为 ，此后飞轮经历制动过程，阻力矩 的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 （ 为大于零的常数）。当 时，飞轮的角加速度为 ，所经历的时间为J0t0Mk k0312kMJM Jk2Jk920第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量2kMdtdJJMdtdJk20031201dkJdtt02kJt 第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量定滑轮定滑轮的半径为的半径为R ，质量为，质量为M，轻绳不可伸缩且与滑，轻绳不可伸缩且与滑轮间无滑动滑轮轴上摩擦不计。轮间无滑动滑轮轴上摩擦不计

19、。R2m1mT1T2第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量aRMRRTRTamgmTamTgm22122211121解gMmmMmmmTgMmmMmmmTgMmmmmRgMmmmma21212212122/112/121221221121121212121第四章第四章 刚体的转动刚体的转动4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量 例：例：两均质皮带轮的半径分别为两均质皮带轮的半径分别为R1和和R2，质量，质量分别为分别为m1和和m2，都可以视为匀质园盘，两轮以，都可以视为匀质园盘，两轮以皮带相连，分别绕两平行的固定轴皮带相连，分别绕两