高数微积分方向导数梯度

1、.1引例：引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿：应沿由热变冷变化最骤烈由热变冷变化最骤烈的方向的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行第七节第七节 方向导数与梯度方向

2、导数与梯度一、问题的提出一、问题的提出.2 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题),(yxfz 二、方向导数的定义二、方向导数的定义引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz)(),(),(00).P(),(,00UPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设oyxlP xyp.3|PP线段长,)()(22yx ),(),(00yxfyyxxfz函数增量当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，P Pl),(),(lim000yxfyyxxf研究,称为平均变化率其比值z是否存在？是否存在？oyxlP xyp.4.),(),(li

3、m00000Pyxfyyxxflf的方向导数沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义：lPPlPyxPPyxfyyxxf220000)()(),(),(记为记为在偏导数存在的前提下在偏导数存在的前提下.5证明证明: 由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以两边同除以,得到得到coscos是方向余弦是方向余弦.6 sincos故有方向导数故有方向导数 ),(),(lim0yxfyyxxf coscos .ffxy lf )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf

4、 coscos亦等于亦等于.sincos yfxf .7xz y0 l y x zzlflzPP0lim00PP0z = f (x,y) x y )()(lim y,xfyy,xxfQ )()(lim00PfPf M 是曲面在是曲面在点点P0 处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率，即半切线即半切线0Plz MN方向导数方向导数 方向导数的几何意义方向导数的几何意义的斜率的斜率.N （ 看成是割线，看成是割线，切线是割线的极限位切线是割线的极限位置）置）QM.8例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点)0 , 1(P 到到点点)1, 2( Q的的方方向向的

5、的方方向向导导数数. 解：解：; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)21(2210, 1lz.22 所求方向导数所求方向导数21cos,21cos.9解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 .10),4sin(2 故故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，

6、方向导数等于方向导数等于 0.11,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其其中中222)()()(zyx ）.12.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z.13解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故),(zyxFFFn )2 , 6 , 4( ,142264222 n方向余弦为方向余弦为.14,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;14

7、8 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故.15三、梯度的概念三、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P.16 coscosyfxflf )cos,(cos),( yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| eyxgradf其其中中),(,eyxgradf lf 有最大值有最大值.由由方方向向导导数数公公式式知知,cos| ),(| yxgradf .17结论：结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，沿梯度方向的方向导数取得最大值， 即即函数沿梯度方向增长最快，函数沿梯度方向增长最快

8、， 这个最大值等于这点处梯度的模。这个最大值等于这点处梯度的模。22)()(| ),(| yxffyxgradf.18 三三元元函函数数),(zyxfu 在在空空间间区区域域 G 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点GzyxP ),(，都都可可定定义义一一个个向向量量(梯梯度度).,(),(zfyfxfkzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可

9、以推广到三元函数.19面上的投面上的投在在曲线曲线xoyCzyxfz ),(CyxfL ),(:*影影称为函数称为函数 f f 的的等值线等值线 . . ,不同时为零不同时为零设设yxff则则L L* *上点上点P P 处的法向量为处的法向量为 Pyxff),(Pfgrad oyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P同样同样, , 对应函数对应函数, ),(zyxfu 有有等值面等值面( (等量面等量面) ),),(Czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, , 其上其上 点点P P处的法向量为处的法向量为.gradPf, ),(yxfz 对函数对函数.20函数在一点的

10、函数在一点的梯度垂直于该点等值面梯度垂直于该点等值面( (或等或等高高线线) ,) ,指向函数增大的方向指向函数增大的方向梯度的几何意义：梯度的几何意义：梯度的方向与等值面（或者等高线）梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线该点的法线的的一个方向一个方向相同相同（从数值低的等高线指向数值高的）（从数值低的等高线指向数值高的）.看书看书p46图图.21等高线的画法等高线的画法.22图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 例如例如,.23例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯

11、梯度度为为零零？解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得),(),(zuyuxuzyxgradu )6 , 24 , 32(zyx 故故)12, 2 , 5()2 , 1 , 1( gradu在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.24势与势场 向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场), 它是由数量场f(M)产生的. 通常称函数f(M)为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.四. 数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数

12、量场. 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场. .25 解 32)(rmxxrrmrmx同理 3)(rmyrmy 3)(rmzrmz 从而 )(2kjirzryrxrmrmgrad 记kjierzryrxr 它是与rrmrme2grad 32)(rmxxrrmrmx )(2kjirzryrxrmrmgrad 它是与OM同方向的单位向量 则mr试求的梯度.试求的梯度.222,rOMxyz 例例5 设质量为设质量为 m 的质点位于原点的质点位于原点, 质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 ( , , ),M x y z 记记 .2

13、6它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力, 方向朝着原点方向朝着原点, 大小与质量大小与质量 的乘积成正比的乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比. mr这说明了引力场是数量场这说明了引力场是数量场 的梯度场的梯度场, 因此常称因此常称 mr为为引力势引力势.271 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）小结小结.),(最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向

14、就就是是函函数数yxf.28思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.答答.29 ( , )lx y 沿沿任任意意方方向向的的方方向向 )0 , 0()0 ,0(lim)0,0(fyxflz 1)()()()(lim2222 yxyx所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等导数导数.30思考与练习思考与练习1. 设函数zyxzyxf2),(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 12 32tztytx在该点切

15、线方向的方向导数;(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 . .31,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1. (1)在点)3,4, 1 (1dd,dd,ddttztytx)1 , 1 , 1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量.32)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl.332. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研).34指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d3. 函数)ln(22z