高斯型多维积分公式

1、高斯型多维积分公式高斯型多维积分公式 报告人：肖 青 导 师：周少武.Hunan University of Science and Technology内内 容容4、总、总 结结3、多、多 变变 量量 函函 数数1、研、研 究究 背背 景景2、单、单 变变 量量 函函 数数2.1 数数 值值 积积 分分 研研3.1 张张 量量 积研积研3.2 稀稀 疏疏 网网 格格 法法2.2 多多 项项 式式 混混 沌沌 展展 开研开研3.3 容容 积积 量量 法法3.4 算算 例例.Hunan University of Science and Technology1. 研究背景研究背景v 输输入入X非

2、线性传非线性传递系统递系统输输出出y1imy= H x ,x ,x(1).Hunan University of Science and Technology1. 研究背景研究背景v mrr1m1m1E y=Hx ,xx ,xdxdx (2).Hunan University of Science and Technology1. 研究背景研究背景v nss 1trrs,1s,mE yw H,t(3).Hunan University of Science and Technology2. 单变量函数单变量函数v (4) 1 nsssE y =H xx dxw H t(5) 0Rrrry= H

3、 xa x.Hunan University of Science and Technology2. 单变量函数单变量函数v (6)00 RRrrrrrrE yEa xa E x(7)( )rrrmE xxx dx(8)0 RrrrE ya m.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分v (9)(10) 11001 nnRRnrrsssr srs sssrrsE yw H twa taw t10,1,nrs srsw tmrR，.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积

4、分数值积分图1：基于泰勒展开式对sin(x)的逼近210( 1)( )(21)!kkkxsin xk210( 1)( )(21)!kkkxsin xk210( 1)( )(21)!kkksin xxk.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分图2：基于Hermite多项式对sin(x)的逼近210( 1)( )(21)!kkkxsin xk210( 1)( )(21)!kkkxsin xk.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分v 210,1,21Rnrn.

5、Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分v 01121120nnnnnmmmmmmdetmmm.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分01112112212111( )1nnnnnnnnnnnnmmmmmmmmP xdetDmmmmxxx011121122nnnnnnmmmmmmDdetmmm(11).Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分v 221( )2xxe01223311( )1(

6、 )( )1( )3( )( )( )nnnP xP xxP xxP xxxPxxP xnPx.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分v (12)12( )()( )( )nnnnnnP xA xB PxC Px.Hunan University of Science and Technology2.1 数值积分数值积分011212222122n-1n-1n-1121111nnnnnmwtttmwtttmwtttm(13)10,1,nrs srsw tmrR， .Hunan University of Science and

7、 Technology2.1 数值积分数值积分v 1 nsssE y =H xx dxw H t.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v (14)10( ),( )( )( )( )krkrrrkrP x P x=P xP xx dxDkrD(15)011121122212121rrrrrrrrrrrrrmmmmmmmmDdetmmmmmmmm.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开01112112212111( )1rrrrrr

8、rrrrrrmmmmmmmmP xdetDmmmmxxx,( )( )( )( )iiirrrx P xxP xx dxE x P x.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开0111211221211011121112221111,( )11rrrriirrrrrrrrrrrrrrrrri riii rmmmmmmmmx P xE xdetDmmmmxxxmmmmmmmmE detDmmmmxxxx .Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式

9、混沌展开01112111222111011121112221111,( )1rrrrirrrrrri riii rrrrrrrrrri riii rmmmmmmmmx P xdetDmmmmE xE xE xE xmmmmmmmmdetDmmmmmmmm .Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v ,( )0irx P x1,( )irrrDx P xD0( )kikiiP xb x000( )( )( )( )kikrirkirkrP xP x=bxP xbxP xkr，.Hunan University of

10、 Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v 10( )( )krrrkrP xP xDkrD，01( )( )krrrrrDbxP xxP xD，10( )( )( )( )krrkrrrkP xP xP xP xDrkD，.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v (16) 0( )rrry= H xc P x001( )( )( )( )( )( )rkkrkkkrkrrrH xP xc P xP xcP xP xDcD，.Hunan University of Sc

11、ience and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v (17)(18)(19)01( )( )( )nssscH xx dxw H t0001( )( )( )( )( )cH xP xx dxH xx dxD11( )( )( )( )( )rrrrrrrDDcH xP xH xP xx dxDD，.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开基于式（16）计算的数学期望，有： (20) 00001 ( )( ) 1( )( ) 1( )rrrrrrrrrnsssE y = H xc E P

12、 xcP xx dxcP xcw H t ，.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开v (21)22000002220111( )( )( )( )( )( )( )rrrrkrkrkrkrkrknrrrrrrrrE yEc P xc c E P x P xc cP xP xDcP xP xccD，.Hunan University of Science and Technology2.2 多项式混沌展开多项式混沌展开若计算二阶原点矩，数值积分的算法为：对比可知：在求取二阶原点矩时，数值积分更方便。此外，延用这种

13、思想可以方便求取更高阶的原点矩；若采用多项式混沌展开法，用系数表示输出量的高阶矩，计算很繁琐。或许说，在计算高阶矩时，数值积分对信息的处理或许说，在计算高阶矩时，数值积分对信息的处理更有效率。更有效率。221( )nsssE yw Ht(22).Hunan University of Science and Technology3. 多变量函数多变量函数v i1myH x ,x ,x(23)im1rrrk1imkyaxxx(24),1,11 ,nnsssss is mssE yw H Tw H ttt(25)11,1,11,imimnrrrrrrs ss is mimsw ttt= E xxx

14、(26).Hunan University of Science and Technology3.1 张量积张量积v 11021imrrrkimiikyaxxxrn，(27) 12mnnnyIIIH(28).Hunan University of Science and Technology3.1 张量积张量积表1：Gauss-Hermite积分的节点和权重n权重节点123.Hunan University of Science and Technology3.1 张量积张量积v 11111422111114221111142211111422ssw权重节点T， 22ssyIIHw H T.H

15、unan University of Science and Technology3.1 张量积张量积v 1121032311113122611113122611210323111131226111131226ssw权重节点T， 23ssyIIHw H T.Hunan University of Science and Technology3.2 稀疏网格法稀疏网格法v (29) 12111max,1( 1)mmm Lm L NnnnNm LnnNmyIIIHNL 11imrrrkimkyaxxx，(30).Hunan University of Science and Technology3

16、.2 稀疏网格法稀疏网格法表2：稀疏网格法的计算量计算量优 点：代数精度较高、计算量较低。缺 点：仍不适用于较多的变量。.Hunan University of Science and Technology3.3 容积量法容积量法v 111imrrrkimkimyaxxxrrrR，(31)11,111,iimmnrrrrrrss is mimssw ttt= E xxx.Hunan University of Science and Technology3.3 容积量法容积量法为满足所有方程，有：计算量：优 点：若要求的代数精度较低时，计算量较低。缺 点：不适用于高阶精度，且目前尚无较好的配

17、点方法。1(2)()1!mRmmRnRmR(32)1mRnmR（）.Hunan University of Science and Technology3.4 算例算例v 1021kkyx(33)方法计算量结果张量积 （3节点）10.00稀疏网格法（L=2）10.00稀疏网格法（L=3）10.00表3：不同积分法的计算结果.Hunan University of Science and Technology3.4 算例算例v 92211kkkyx x(34)方法计算量结果张量积 （3节点）9.00稀疏网格法（L=2）0.00稀疏网格法（L=3）9.00表4：不同积分法的计算结果.Hunan University of Science and Technology3.4 算例算例v 8222121kkkkyx xx(35)表5：不同积分法的计算结果方法计算量结果张量积 （3节点）8.00稀疏网格法（L=2）0.00稀疏网格法（L=3）0.00稀疏网格法（L=4）8.00.Hunan University of Science and Technology3.4 算例算例v 101kkyexpx(36)表6：不同积分法的计算结果方法计