高数导数与微分

1、.第三章第三章 导数与微分导数与微分000000000( ),(),()();,( ),( ),(),yf xxxxxxxyyf xxf xyxxyf xxyf xxfx 设设函函数数在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义 当当自自变变量量 在在处处取取得得增增量量点点仍仍在在该该邻邻域域内内 时时 相相应应地地函函数数 取取得得增增量量如如果果与与之之比比当当时时的的极极限限存存在在 则则称称函函数数在在点点处处可可导导 并并称称这这个个极极限限为为函函数数在在点点处处的的导导数数 记记为为1、 定义：定义：一、导数的概念一、导数的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

2、结束结束 .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式：其它形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 000( ),xxxxxxdydf xydxdx ，或或即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .,( ).( ).( )( ),.xIf xf xdydf xfxydxdx 对对于于任任一一都都对对应应着着的的一一个个确确定定的的导导数数值值这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数的的导导函函数数记记作作或或0()( )( )limxf xxf xfxx 即即.)()(lim)

3、(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :000()( )().xxfxfxf x 2、导函数、导函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .2）右导数）右导数:1）左导数）左导数:0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 3、单侧导数、单侧导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .222011111()(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln(log)ln(arcsin)(arctan)xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx 122211111()(c

4、os )sin(cot )csc(csc )csccot()(ln|)(arccos )(cot )xxxxxxxxxxxeexxxxarcxx 4、 基本导数公式基本导数公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .5、按定义求导数、按定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1、( )().f xC C 求求函函数数为为常常数数 的的导导数数解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即机动机动 目录目录 上页上

5、页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例2 2、0( ).f xxx讨讨论论函函数数在在处处的的可可导导性性解：解：xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 000( )( ),( ).fff xxx 所所以以函函数数在在点点不不可可导导练习练习1、讨论讨论000sin ,( ).,xxf xxxx 在在处处的的可可导导性性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例3 3、121000( )()()(),( ).f xx xxxf 设设求求解解:0)0()(lim)

6、0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 练习练习2、设设12( )( ).f xxf , ,用用导导数数的的定定义义求求22211222( )( )( )limlimxxf xfxfxx 解解:211211limxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .6、导数的几何意义、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM000000()( )(,(),()tan,()( )(,()fxyf xM xf xfxyf xM xf x 表表示示曲曲线线在在点点处处切切线线的的斜斜率率 即即为为倾倾角角，因因此此在在点点处处的的切线方程为切线方程为法线

7、方程为法线方程为000()()().yf xfxxx 0001()().()yf xxxfx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例4 4、1122(, ).yx 求求在在点点处处的的切切线线方方程程和和法法线线方方程程解：解：由导数的几何意义由导数的几何意义, 知所求切线斜率为知所求切线斜率为12xy 21)1( xx2121 xx. 4 故所求切线方程为故所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .7、可导与连续的关系、可导与

8、连续的关系: 可导必连续，但连续不一定可导可导必连续，但连续不一定可导.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 200,( ),xxf xxx 例例如如0 x 在在处处连连续续但但不不可可导导，因因为为20000000000000100lim( )lim;( )lim( )lim;( )( )( )( )lim, limxxxxxxf xxff xxf xff xfxx 连连续续不不可可导导.例例5 5、10000sin,( ),.xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性与与可可导导性性解：解：00100lim( )limsin( )xxf xxfx 0(

9、 ).f xx 在在处处连连续续00010001sin( )( )limlimlimsinxxxxf xfxxxx又又因因为为极极限限不不存存在在0( ).f xx 在在处处不不可可导导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 201060,( )(),.a xexa bf xbxxxx 确确定定，使使得得在在连连续续、且且可可导导例例00200002000111000100110110( )lim( )lim( )( )limlim (),( )( )( ),( )limlim,()( )lim,.xxa xxx

10、a xxxxf xxf xf xfebxxbf xxffeaxfaxxbxxfax 为为使使在在连连续续，则则，即即解解得得；为为使使在在可可导导，则则又又所所以以解解：.21311,( ),.xxa bf xaxbxx 确确定定，使使得得在在连连续续习习 、且且可可导导练练21,.ab 答答案案：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .0()( )( )lim,xfxxfxfxx 二二阶阶导导数数: :记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 0()( )( )( )lim,xfxxfxfxfxx 三阶导数三阶导数:1( )( ),( )( ),.nn

11、nnnnnnd yd f xfxydxdx 阶阶导导数数: :阶阶导导数数的的导导数数 记记作作或或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)二、高阶导数二、高阶导数1、定义、定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .,uvn设设函函数数和和具具有有阶阶导导数数 则则)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 2、 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1、520sin ,( ).yxxyy设设求求和和解解:410cos ,yxx 340sin ,

12、yxx 2120cos ,yxx 01( )y .(1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则三、求导法则三、求导法则 ( )( )( )( );u xv xu xv x( )( ).( )( )u xu xv xv x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例1 1、3( ),( )( ).xf xxefxf设设求求和和解：解：111( )()xxxfxex ex e 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1112( )()xxxfxexexe 33( )fe练习练习1 1、ln( )ln,( )( ).xf xxxfxf

13、 ex设设求求和和.( ),( ) ( )( )( )( ).yf u uxyfxdydy duy xfuxdxdu dx 设设的的复复合合函函数数，则则或或例如，例如，(2) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .sinln的导数的导数求函数求函数xy 解：解：ln ,sinyu uxdxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .例例2 2、练习练习2 2、210( )sin(),( )( ).xf xfxf设设求求和和解解:212121 22( )cos() ()cos()lnxxxxfx机动机动 目录目录

14、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解：解：)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx02( )lnf .(3) 隐函数求导法则隐函数求导法则0( , )( ),.F x yyy xxdyyxdx设设确确定定了了隐隐函函数数则则方方程程两两端端同同时时对对求求导导，求求导导时时视视为为的的函函数数，即即可可求求出出机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例3 3、00( ).xyxxyeedydyyy xdxdx求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数和和解：解：x方

15、方程程两两端端同同时时对对求求导导得得0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy 00,xy又又由由原原方方程程知知时时000 yxyxxexyedxdy. 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .练习练习3 3、11cos()( ).xyyxydydyyy xdxdx求求由由方方程程确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数和和解：解：x方方程程两两端端同同时时对对求求导导得得1sin()dydyxydxdx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得解得1sin(),sin()dyxydxxy111101sin()sin()xx

16、yydyxydxxy.( ),( )xtyxyt 若若参参数数方方程程确确定定与与 间间的的函函数数关关系系( );( )dydytdtdxdxtdt 则则(4) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则22()dydd ydxdxdx( )()( )dtdttdxdt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例4 4、解：解：2222( ).ttxed yyf xdxyte设设由由参参数数方方程程确确定定，求求dtdxdtdydxdy 2322224 (),ttttet ee22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt3442431012 ()tttte

17、t ee机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .练习练习4 4、解：解：22cos( )sin.xtyf xybtd ydx设设由由参参数数方方程程确确定定，求求dydy dtdxdx dtcoscot ,sinbtbtt 22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt23 csccscsinbtbtt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .观察函数观察函数32114sin().()xxxxyyxxe和和求导方法求导方法对数求导法：对数求导法：所属类型所属类型: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvx

18、u先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数求导法求出导数然后利用隐函数求导法求出导数.(5) 对数求导法对数求导法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例5 5、解：解：3211112141314()()()xxxyxexxx等式两边同时取对数得等式两边同时取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx等等式式两两边边同同时时对对 求求导导得得142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .例例6 6、解：解：.),0(sinyxxyx 求求设设等

19、式两边同时取对数得等式两边同时取对数得xxylnsinln x等等式式两两边边同同时时对对求求导导得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .练习题：练习题：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 231213141( )log,( ).ln(ln ),.( )( )( ).xaaaf xaxaxfxyxyyf xxyyxf xfxx、设设求求、设设求求、设设由由方方程程确确定定，求求、设设，求求.1 1、问题的提出、问题的提出: :正方形金属

20、薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0四、微分四、微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内 如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数 则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分 记记作作或或即即.ydy函函数数增增量量的的线线微微的的实实质质：性性主主部部分分2、微分的定义、微分的定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .3 3、导数与微分的关系、导数与微分的关系0000( )( ),( )|()