2011年高考一轮数学复习 3-5数列的综合应用 理 同步练习（名师解析）

1、第3章 第5节 知能训练·提升考点一：等差数列应用题1某大学教学楼的圆形楼顶上安装有1 890盏一样的普通小灯泡，教学楼大门正中间顶上的灯泡被设定为第一盏灯，当这些小灯泡的总开关打开时，这些小灯泡就按一定的次序依次闪烁：先第一盏灯亮，过了1 s，第一盏灯灭掉，而第三盏灯又亮，过了1 s，第三盏灯灭掉，而第六盏灯又亮，亮的灯依次为1,3,6,10,15，.直到第1盏灯亮时就停止，然后再按此规律依次闪烁如果将此过程中一直没有亮过的灯改装成另一线路的彩灯，则共要更换_盏灯答案：1 8302我国北方某城市严重缺水，曾一度取消全市的洗车行业时间久了，车容影响了市容市貌今年该市决定了引进一种高科

2、技产品污水净化器，允许洗车行开始营业，规定洗车行必须购买这种污水净化器，使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车污水净化器的价格是每台100万元，全市统一洗车价格10元该市今年的汽车总量是101 000辆，预计今后每年汽车数量将增加2 000辆洗车行A经过预算，如果全市的汽车总量是x，那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是x，该洗车行每年的其他费用是1万元问：洗车行A从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本？解：设从今年开始至少经过n年收回成本，n年内的汽车数量构成以101 000为首项，2 000为公差的等差数列，汽车数量总和为101 000n×2 000.n年内的洗车收入为

3、10××.依题意有10××n×1 0000100×104，化简得n280n2 0000，解得n20.因此，洗车行A从今年开始至少经过20年才能收回买净化器的成本考点二：等比数列应用题3某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好奖金分完，则需拿出奖金()A250万元B252万元C254万元 D256万元答案：C4某地区为教育现代化，近五年为中小学每年新购置的电脑台数均按10%的比例增长，其中2005年、2006年两年新购置的电脑台

4、数之和为1 000台，该地区准备继续照此增长比例购置，则2007年起四年内该地区中小学将新购置电脑的台数为()A1 464 B2 310C2 420 D267答案：D5某市2009年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2016年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an，其中a1128，q1.5.则在2016年应该投入的电力型公交车为a7a1·q6128×1.56145

5、8(辆)(2)记Sna1a2an，依据题意，得.于是Sn5 000(辆)，即1.5n，经验证，n8.到2017年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.考点三：增长率或分期付款问题6银行按规定在一定时间结算利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年却比前一年增加利润5千元，两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息，若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两方案的优劣(计算时，精确到千元，并取1.11

6、02.594,1.31013.79)解：甲方案10年共获利1(130%)(130%)942.63.到期时，银行贷款本息为10(110%)1025.94.按甲方案扣除贷款本息后，净收益为426325.9416.7(万元)乙方案10年共获利11.5(19×0.5)32.5.到期时，银行贷款本息为(110%)(110%)2(110%)101.1×17.53，按乙方案扣除贷款本息后，净收益为32.517.5314.97(万元)所以甲方案略优于乙方案考点四：等差、等比数列综合问题7(2010·淄博模拟)已知数列an满足an2an12n2(n2)，a12.(1)求a2，a3，

7、a4；(2)是否存在一个实数，使得数列成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)求数列an的前n项和Sn.解：(1)a244210，a3208230，a46016278.(2)假设存在一个实数，使得数列成等差数列，则1恒为常数，20，即2，此时2，1.当2时数列是首项为2、公差为1的等差数列(3)由(2)得(n1)n1，an(n1)2n2.Sn2·23·224·23(n1)2n2n，2Sn2·223·234·24(n1)2n14n.两式相减得Sn2·222232n(n1)2n12nn·2n12n，S

8、nn·2n12n.8(2010·郑州质检)把正奇数数列1,3,5,7，中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1357911设三角形数表中第m行的第一个数为am.(1)试用m表示am(不要求证明)；(2)请判断2 007是该三角形数表中第几行的第几个数；(3)已知函数f(x)()n·(x0)，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列f(bn)的前n项和Sn.解：(1)第m行第一个数是2·1m2m1.(2)由题意，先求使得m是不等式m2m12 007的最大正整数解由m2m12 007，得m2m2 0060.mN*，0m45.5.m

9、45.于是，第45行第1个数是4524511 981，m114.2 007是第45行的第14个数(3)第n行第一个数是n2n1，且有n个数，若将n2n1看成第n行第1个数，则第n行各数成公差为2的等差数列，故bnn(n2n1)×2n3.f(bn)()n·n()n.故Sn2()23()3(n1)()n1n()n，Sn()22()33()4(n1)()nn()n1，两式相减，得Sn()2()3()nn()n1n()n11()nn()n1，Sn2(n2)()n.1.(2009·江西)数列an的通项ann2(cos2sin2)，其前n项和为Sn，则S30为()A470B4

10、90C495D510解析：ann2(cos2sin2)n2cos.当n3k时，a3k(3k)29k2；当n3k1时，a3k1(3k1)2·cos(3k1)2；当n3k2时，a3k2(3k2)2cos(3k2)2.S30(a3a6a9a30)(a1a4a7a28)(a2a5a8a29)(326292302)(124272282)(225282292)(326292302)(122232282292302)×32·(122232102)··470，故选A.答案：A2(2009·上海)已知函数f(x)sinxtanx.项数为27的等差数列a

11、n满足an(，)，且公差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，则当k_时，f(ak)0.解析：f(x)sinxtanx为奇函数，f(0)0，an为等差数列且d0，an(1n27，nN*)对称分布在原点及原点两侧，f(a1)f(a2)f(a27)0f(a14)0.k14.答案：143(2007·安徽)某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那

12、么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解：(1)我们有TnTn1(1r)an(n2)(2)证明：T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an.在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(

13、1r)an(1r)n1ra1(1r)nan，即Tn(1r)nn.如果记An(1r)n，Bnn，则TnAnBn，其中An是以(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，以为公差的等差数列.已知正数数列an的前n项和为Sn，且aaaaS.(1)求证：a2Snan；(2)求数列an的通项公式；(3)若bn3n(1)n1·2an(为非零常数，nN*)，问是否存在整数，使得对任意nN*，都有bn1bn.解：(1)证明：当n2时，由aaaaS，得aaaS，两式相减，得aSS(SnSn1)(SnSn1)(SnSn1)an.an0，aSnSnan2Snan.又当n1时，aa，a10，a11.a1，且2S1a11.n1时，a2Snan也成立a2Snan成立(2)当n2时，由a2Snan，得a2Sn1an1.两式相减，得aa2(SnSn1)anan12ananan1anan1，anan10，an