可线性化的一元非线性回归ppt课件

1、 前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实前一节，我们学习了一元线性回归分析问题，在实际运用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以际运用中，有些变量之间并不是线性相关关系，但可以经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问经过适当的变换，把非线性回归问题转化为线性回归问题。题。 可线性化的一元非线性回归可线性化的一元非线性回归 常见的几种变换方式：常见的几种变换方式： 1、双曲线、双曲线 1bayx11,yxyxyabx令令 2、幂函数曲线、幂函数曲线 byaxln ,ln ,lnyy xx aayabx令令 化非线性回归为线性回归化非线性回归为线性回归 变形变形 lnlnlnya

2、bx3、指数函数曲线、指数函数曲线 bxyaeln ,lnyy aayabx令令 变形变形 lnlnyabx4、负指数函数曲线、负指数函数曲线 bxyae1ln ,lnyy xaaxyabx令令 化非线性回归为线性回归化非线性回归为线性回归 变形变形 lnlnbyax5、对数函数曲线、对数函数曲线 lnyabxlnxxyabx令令 6、S型型Logistic曲线曲线 1xKyAeln,lnKyyaAyyax令令 化非线性回归为线性回归化非线性回归为线性回归 变形变形 (1)xxyAeKyAyeKlnlnxKyKyAeAxyy例例1 测定某肉鸡的生长过程，每两周记录一次鸡的分量，测定某肉鸡的生长

3、过程，每两周记录一次鸡的分量，数据如下表数据如下表x/周24681012y/kg0.30.861.732.22.472.67由阅历知鸡的生长曲线为由阅历知鸡的生长曲线为Logistic曲线，且极限生长量曲线，且极限生长量为为k=2.827，试求，试求y对对x的回归曲线方程。的回归曲线方程。解解 由题设可建立鸡重由题设可建立鸡重y与时间与时间x的相关关系为的相关关系为 2.8271xyAe2.827ln,lnyyaAyyax令令 那么有那么有 列表计算列表计算 序号序号xyyX2y2xy120.32.13144.5414.262240.860.827160.6843.309361.73-0.45

4、6360.208-2.733482.2-1.255641.576-10.0425102.47-1.9341003.741-19.3426122.67-2.8341448.029-34.0037142.8-4.64219621.544-64.982 5613.03-8.16256040.323-123.531所以所以 8.00 x 1.166y 112xxL30.807y yL 58.236xyL 0.519967xyxxLL 2.993762ayx19.96063aAe所以所求曲线方程为所以所求曲线方程为 0.519972.8271 19.9606xyeu上机操作上机操作 输入原始数据输入原始

5、数据 u上机操作上机操作 计算计算 2.827*lnyyyu上机操作上机操作 u上机操作上机操作 u上机操作上机操作 是是y*，而不是，而不是y 自变量自变量 u上机操作上机操作 回归方程，还要回代系数回归方程，还要回代系数 u多重回归分析多重回归分析 在实践问题中，自变量的个在实践问题中，自变量的个数能够多于一个，随机变量数能够多于一个，随机变量 y y与与多个可控变量多个可控变量x1,x2,x3,xkx1,x2,x3,xk之之间能否存在相关关系，那么属于间能否存在相关关系，那么属于多重元回归问题。本节讨论多重元回归问题。本节讨论多重线性回归。多重线性回归。多重线性回归模型多重线性回归模型

6、随机变量随机变量 与与 之间的线性关系之间的线性关系y12,kx xx01 122kkyxxx(1) 其中其中 20,N012,k , ,未知未知 那么那么1式称为多重线性回归模型。式称为多重线性回归模型。 多重线性回归模型多重线性回归模型 假设对变量假设对变量 与与 分别作分别作n次观测，那么可得次观测，那么可得一个容量为一个容量为n的子样的子样y12,kx xx01122iiikikiyxxx(2) 其中其中 20, (1,2, )iNin012k, ,为待定参数，称为回归系数。为待定参数，称为回归系数。 2式含有式含有k+1个参数，故观测次数应满足个参数，故观测次数应满足nk+1。 12

7、,1,2,iiikixxxyin那么有那么有 多重线性回归模型的矩阵方式多重线性回归模型的矩阵方式 记记 12nyyYy111212122212111kknnnkxxxxxxXxxx01k12ne那么那么2有矩阵方式有矩阵方式 YXe20,eNE其中其中 u确定确定 的最小二乘法的最小二乘法 思索多元函数思索多元函数 20111niikikiQyxx目的：确定目的：确定 使使 最小最小 01,k Q方法：方法： 0, 1,2,iQik解得解得 01 122kkyxxx多重线性回归方程多重线性回归方程 线性回归方程的有效性检验线性回归方程的有效性检验方差分析法方差分析法 012:0kH 线性回归

8、方程线性回归方程能否有统计意义，可检验假设能否有统计意义，可检验假设 01 122kkyxxx能否成立能否成立 方法：方差分析法，将总离差平方和分解方法：方差分析法，将总离差平方和分解 222111nnnTiiiiiiiSSyyyyyyRESSSS线性回归方程的有效性检验线性回归方程的有效性检验方差分析法方差分析法 21nRiiSSyy21nEiiiSSyy回归平方和，反映线性关系对观测结果产生的数回归平方和，反映线性关系对观测结果产生的数据动摇，据动摇，SSR越大，线性相关关系越强。越大，线性相关关系越强。剩余平方和或残差平方和，反映除线性要素之剩余平方和或残差平方和，反映除线性要素之外的其

9、它要素对观测结果产生的数据动摇，外的其它要素对观测结果产生的数据动摇，SSE越大，越大，那么其它要素对那么其它要素对Y的影响越大。的影响越大。线性回归方程的有效性检验线性回归方程的有效性检验方差分析法方差分析法 221TSSn在在H0成立的条件下，可以证明：成立的条件下，可以证明： 22RSSk221ESSnkn为观测次数，为观测次数，k为自变量个数为自变量个数 构造构造F统计量统计量 ,11RESSkFF k nkSSnk当当 时，回绝时，回绝H0。,1FFk nk回归系数的统计检验回归系数的统计检验 回归方程的有效性检验，只是处理了回归方程的有效性检验，只是处理了 与与之间能否有线性相关关

10、系，至于变量之间能否有线性相关关系，至于变量 对对 的影响能否的影响能否有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数有统计意义，无从看出，因此，还需对回归系数 能否能否为为0作统计检验。作统计检验。y12,kx xxixyi提出假设提出假设 01:0; :0iiHH假设假设H0成立，可以证明统计量成立，可以证明统计量 1(1)iiiETt nkC SSnk当当 时，回绝时，回绝H0。21Ttnk2(1)1niik ikCx利用回归方程作预测及控制利用回归方程作预测及控制 对于给定的对于给定的 12,kx xx001 122kkyxxx点估计值点估计值 置信程度为置信程度为 的预测区间为的预测区间

11、为 1102000011TTESSytXX XXnk例例2 某种水泥在凝固时放出的热量某种水泥在凝固时放出的热量Ycal/g与水泥中与水泥中以下以下4种化学成分有关：种化学成分有关：123:3axc o Al o的成分的成分%22:3axc o Sio的成分的成分%32323:4axc o Al oFe o的成分的成分%42:2axc o Sio的成分的成分%现记录了现记录了13组观测数据，列在下表中，试求组观测数据，列在下表中，试求 对对 的线性回归方程。的线性回归方程。y12,x x34,x x1 1223344yab xb xb xb x编号X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g）172666078.52129155274.331156820104.34113