中小学数学解题研究

1、中小学数学解题研究期末作业考核中小学数学解题研究 满分100分一、回答下列各问题（每小题6分，共18分）1什么是配方法？配方法的基本特征是什么？答：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。配方的基本特征是：特征1：配方目标的确定性：就是说配方有一个明确而具体的思维指向出现平方式。这就使得具体配方时，能够排除干扰、瞄准目标、集中思想、一攻到底。 特征2：配方途径的多向性：就是说，同一个式子可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式。 特征3：配方对象的多样性：数、字母、具体的数学式、抽

2、象的函数关系等都可以进行配方。特征4：配方使用的多重性：配方可以并列地多次使用，也可以连续地重复使用。特征5：配方应用的广泛性：无论是初等数学还是高等数学，无论是代数还是几何，无论是相等关系还是不等关系，无论是求值还是证明，无论是连续问题还是离散问题，无论是简单的整数还是抽象的解析式，都能用到配方，都已成为配方法知识链上的一环。2什么是“数学问题”？数学问题与习题的联系与区别是什么？答：对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。而这样的问题应满足下述三个特性:（1）接受性：学生愿意解决并且具有解决它的知识基础和能力基础。（2）障碍性：学生不能直

3、接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决。（3）探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探究和研究，寻找新的处理方法。 数学“问题”与“习题”的区别与联系中学数学教材中的习题一般是条件充分、结论确定、解法典型、供巩固知识的练习用。这些习题是为数学教学和日常训练等设计的，适合于学习知识、训练技能。而“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来自实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题(routine problems)”，也应包括“非单纯练习题式的问题(non-routine problems)”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应包括条件不充分、结论不确定的开放性

4、问题和具有探索性的问题。“问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。因此，“问题”比“习题”的外延宽、所要达到的学习目的多。虽然习题与“问题”有一定的区别，但并不否认习题在数学教学中的作用。为了使学生理解数学概念、定理、法则，全面系统地掌握数学知识，提高解题的技能、技巧，习题有着不可取代的作用。2 / 103、简述对数学解题进行错误分析的重要意义。（1）它是教师检查教学方案的执行情况，及时地调整教学方案的依据。 （2）它是发展学生的自我纠错能力的前导。二、用两种方法求解下面问题（每小题6分，共12分）1、20%的食盐水与5%的食盐水混合，要配成15%的食盐水90

5、0克.问:20%与5%食盐水各需要多少克? 解法1 设需20%盐水克，则5%的盐水就需要900-克，列方程有:20%+(900-)×5%=900×15%，=600(克)，900-600=300(克) 解法2 假设法.假设900克都是20%的盐水，盐的重量900×20%比实际900×15%多45克，1克20%的盐水比1克5%的盐水多(20%-5%)=0.15克，4(900×20%-900×15%)÷(20%-5%)=300(克)，900-300=600（克）三、下面这道题，是某学生给出的解法，你认为对吗？认为正确说明理由；认为

6、不对，请给出正确的解法。（共8分）1、已知学生B的解法：根据等比定理有 答：此题解法不对，正确的解法为：上面的解法忽略了应用等比定理时应有条件。（3分）当时，有等比定理当时，所以，k=2或k=-1（5分）四、试按波利亚的解题四步骤来分析求解下题（12分）1、在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为ABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。解：第一步 理解题意本题的条件是（）c=10，（）cosA/cosB=b/a=4/3；（）P是三角形ABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A、B、C三顶点的距

7、离的平方和的最值。综观之，这是一道关于图形的最值问题。第二步 拟订计划设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与密切相关的两类问题：第一， 已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二， 在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和或平方和的最小值。 于是原问题可分裂为两个较为简单的问题： a、b、c为ABC的三边，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，试确定ABC的形状及其大小。 在确定的ABC的内切圆上有一动点P，试求PA²+PB²+PC²的最小值与最大值。对小题，ABC已具备了三个条件式，这类问

8、题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来。对于小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。第三步 实现计划由cosA/cosB=b/a，用正弦定理作代换，得cosA/cosB=sinB/sinA，即sinA·cosA =sinB·cosB或sin2B=sin2A 因为cosA/cosB =4/3，知AB，且A、B是三角形内角，所以2A=-2B，即B+A=/2所以ABC是直角三角形。再由c=10，b/a=4/3及a

9、²+b²=c²，可解得a=6，b=8。如图12，建立直角坐标系，使直角ABC的三个顶点为A（8，0）、B（0，6）、C（0、0） y在直角ABC中，有a+b=c+2r ，r=2， B所以，内切圆的圆心为O（2，2）， 方程为（x-2）²+（y-2）²=4。 M N P设圆上的任一点为P（x，y），则有 S=|PA|²+|PB|²+|PC|² O A=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y² 图21=3（x-2）²+（y-2）²

10、-4x+76 =3·4-4x+76=88-4x因P是内切圆上的点，故0x4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。第四步 回顾讨论对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P点运动到BC边上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72。此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第小题也可一开始用余弦定理作代换，对第小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法（略）五、求解下列数学题（每题10分，共30分）1、求下图1中阴影部分的面积。(取=3)图1解 将图形分

11、成四个区域(如图)用、表示相应区域的面积于是，阴影部分的面积为S=+=（+）-=（+）-（+）-（+）因为+=×62=9=27，+= 6×4=24，+=×42=4=12S=27-（24-12）=15答：阴影部分面积为15.2、已知，求的最大、最小值。解：对原式作配方，有19=（）（） 19=（）+（）分别得 时， 时，3、如图2所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25m。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离1m处达到距水面最

12、大高度2.25m。（1） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的抛物线形状与图2相同？解：（1）如图（2）建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水处与x轴交点为C，根据题意A（0，1.25），B（1，2.25），设C（x，0），抛物线的方程为y=a（x1）+2.25将A（0，1.25）代入方程y=a（x1）+2.25，得a=1于是方程为y=（x1）+2.25令y=0，得=2.5，=0.5（舍去）所以，水池的半径至少要2.5米。（2）若水流喷出的抛物线形状大小与图3相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达到多少米？（精确到0·1m）解：（2）所以设抛物线为y=（x+m）+k将点A（0，1.25），C（3.5，0）代入方程y=（x+m）+k，解方程组得：m1.6，k3.7所以，此时水流最大高度应达到3.7米