常微分方程_§5.1存在唯一性定理

1、存在性与唯一性第五章第五章 线性微分方程组线性微分方程组存在性与唯一性存在性与唯一性定义定义 形如111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(5.1)的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.( )( , , 1,2, ),( )(1,2, )ijia t i jnf t inatb 其中在上连续.存在性与唯一性( )(1,2, )ix t inatb 设函数组在上连续,且1122( )( )( )( )(

2、),iiiinnidx tat xat xat xf tdt1,2,in12( ),( ),( )(5.1)nx tx tx tatb 则称函数组为微分方程组在上的一个解.12(5.1),nncc含有 个独立的任常数c的解12,1,2,inx ttccini( )= ( ,c),称为(5.1)的通解.存在性与唯一性n维函数列向量定义为12( )( )( )( )nx tx tx tx t( )(1,2, )ix t in每一在区间I上有定义.( )n nA t 函数矩阵定义为1112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnatatatatatat

3、A tatatat( )ija t每一在I上有定义.对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.存在性与唯一性( )( )x tA t如果函数向量或函数矩阵的每一元素都是区间,atb 连续函数上的( )( ),x tA tatb 连续则称或在上可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为12( )( )( ),( )nx tx tx tx t111212122212( )( )( )( )( )( )( ).( )( )( )nnnnnnatatatatatatA tatatat存在性与唯一性000012( )( )( )( )tttttttntx s dsx

4、s dsx s dsx s ds0000000000111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )tttntttttttntttttttnnnntttas dsas dsas dsas dsas dsas dsA s dsas dsas dsas ds关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.存在性与唯一性定义定义12( ,)(Tnijnxx xxn nAan n对 维列向量及矩阵),定义它们的范数为1,niixx,1,niji jAa, ( ), ( ) , ,A Bn nxynA tx ta b设是矩阵和 是 维列向量是在上可积的函数

5、矩阵和向量 则易验证有下面的性质01,ABA B,AxA x02,ABAB,xyxy03( )( ),bbaax s dsx s ds( )( ),bbaaA s dsA s ds().ab存在性与唯一性0121,(,),(1,2, ),Tkkkknkikxxxxxi inx向量序列称为收敛的 如果对每一个数列收敛.12( ),( )( ),( ),( )Tkkkknkx tx txtxtxtatb 函数向量序列称为在收敛(1,2, ),( )iki inxtatb 如果对每一个函数序列在上是收敛(一致收敛),(一致收敛).1( ),kkx tatb 02 设是函数向量级数 如果部分和所组成的

6、函数向量序列在收敛1( )kkx tatb 则称在收敛(一致收敛),(一致收敛).存在性与唯一性如果( ),kkx tMatb 1kkM而级数收敛,1( )kkx tatb 则函数向量级数在上一致收敛.( )kx tatb 如果函数向量序列在上一致收敛,则lim( )lim( ),bbkkaakkx t dtx t dt( )kx tatb k=1如果函数向量级数在上一致收敛,则11( )( ) .bbkkaakkx t dtx t dt存在性与唯一性03 对矩阵序列也有类结果( )( ),(),1,2, ,.kkkijn nkijkAn nAai jnaA设是矩阵序列 其中如果对一切数列都收

7、敛 则称是收敛的11kkkkAA设是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列 是收敛的,则称是收敛的.1kkA是收敛( )1, ,1,2,kijkai jn收敛.存在性与唯一性, k如果对每一整数都有,kkAM1kkM而收敛,1kkA则收敛.1( )kkA t同样可给出函数矩阵级数一致收敛定义和有关结果.存在性与唯一性111112211( )( )( )( )nnxat xat xat xf t221122222( )( )( )( )nnxat xat xat xf t1122( )( )( )( )nnnnnnnxat xat xat xf t(5.1)对一阶线性微分方程组:( )( ),i

8、jn nA ta t若记12( ,) ,Tnxx xx12( )( ),( ),( )Tnf tf tf tf t则(5.1)可写成( )( ),(5.4)dxA t xf tdt存在性与唯一性(1)定义定义1( ),( ),A tatbn nf tatbn 设是上连续的矩阵是上连续的 维列向量函数 方程组( )( ),(5.4)xA t xf t( , , )( ),( )(5.4),ta bu tu tt 在的解向量是指在上满足即( )( ) ( )( ),.u tA t u tf tt (2)定义定义2初值问题0( )( ) ( )( ),( ),(5.5)x tA t x tf tx

9、t00 ,( ),( ).tu tu t 的解,就是方程组(5.4)在包含 的区间的解使得存在性与唯一性例例1验证向量( )tteu te是初值问题011,(0)101xxx.t 在区间上的解解解:显然00(0)eue11-,ttee因为和处处有连续导数 我们得到( )u t 0110ttee01( ),10u t( ).u t因此,是给定初值问题的解ttee存在性与唯一性对n阶线性微分方程的初值问题( )(1)1( )( )( )nnnxa t xa t xf t(1)01020( ),( ),( )nnx tx txt(5.6)0( )(1,2, ),( ), , ,(1,2, )iia

10、t inf tatbta bin 其中在上连续为常数.若令:1,xx2,xx,(1);nnxx3,xx存在性与唯一性则有:12,xxx23,xxx(1)1,nnnxxx( )1121( )( )( )( ),nnnnnxxa t xat xa t xf t 而且:(1)1001200200( )( ),( )( ),( )( )nnnx tx tx tx tx txt即方程(5.6)可化为(1)123,.nnxx xx xxxx存在性与唯一性121010000010000010( )( )( )( )( )nnnxxa tatata tf t120( )nx t(5.7)存在性与唯一性0( )

11、(5.6)ttatb 若是在包含 的区间的任一解,则令12( )( )( )( )ntttt12(1)( )( ),( )( ),( )( ),.nntttttt atb 这里( )(5.7)t则是的解显然:102000( )( )( )( )ntttt00(1)0( )( )( )nttt12n存在性与唯一性且:12( )( )( )( )ntttt23(1)1( )( )( )( )( )( )nnnttta ta tf t12101000010( )0001( )( )( )( )nnnta tatata t000( )f t存在性与唯一性10( )( ),( ) , (5.7)Tnu

12、tu tu tta b反之,设是在包含 的区间上的解1( )( ),( )(5.6),tu tt定义函数则是的解事实上,由12( )( )( )nu tu tu t121010000100001( )( )( )( )nnna tatata t12( )( )( )nu tu tu t000( )f t知存在性与唯一性12( )( )( ),tu tu t23( )( )( ),tu tu t(1)1( )( )( ),nnntutu t( )11( )( )( )( )( )( )( ),nnnntu ta t u ta t u tf t (1)1( ) ( )( )( )( ),nna t

13、ta ttf t 即( )(1)1( )( )( )( ) ( )( ),nnnta tta ttf t且(1)010100( )( ),( )( )nnntu ttu t即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.存在性与唯一性例例228, (0)1,(0)4txxtxe xx 将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解解:设1( ),x tx2( ),x tx则有228txxxtxe 1282,ttxxe即有12,xx21282,txtxxe也即1122( )( )01( )( )82x tx tx tx tt0te12(0)1(

14、0)4xx存在性与唯一性注注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如如: 方程组1122( )( )10( )( )01x tx tx tx t不能化为一个二阶微分方程.存在性与唯一性0( )( )(5.5)( )xA t xf tx t存在性与唯一性0( )( ( ) ( )( ),(5.8)ttx tA s x sf s dsatb 证明共分五步完成证明共分五步完成第一步第一步 0( )( )(5.5)( )xA t xf tx t存在性与唯一性01( ),(5.9)( )( ( )( )( ),tkktttA ssf s dsatb 0第二步第二步

15、( )kt ,ab证明向量函数在区间上有定义且连续( )ktk向量函数为(5.8)的第 次近解.命题命题 ,( )kktatb 对所有整数 向量函数在上有定义且连续.存在性与唯一性0100|( )( )| ( )( )( )|ttttA ssf sds第三步第三步由考虑向量函数项级数：011( )( )( ),jjjtttatb ( ),( );.A tLf tKatb 0( |)ttLK ds0,M tt|MLK02110|( )( )| ( )| |( )( )|ttttA sssds00ttLM s t ds20,2!MLtt存在性与唯一性011( )( )( )jjjtttatb 知在

16、上上一致收敛.10|(1)!mmMLttm010|!mtmtMLs tdsm011|( )( )|( )| |( )( )|tmmmmtttA sssds110|( )( )|!mmmmMLttttm设 则11()(1)!mmmMLbam而级数收敛存在性与唯一性第四步第四步设lim( )( ),kkttatb 01lim( )lim( ( )( )( )tkktkktA ssf s ds01lim( ( )( )( )tkt kA ssf s ds即0( )( ( ) ( )( )tttA ssf s ds存在性与唯一性证明积分方程的连续解的唯一性. ( ) , ,g ta b则在上非负连续 且有第五步第五步( )( )( ) ,g ttt令0( )( )( ( )