安徽省江南十校2015届高三数学上学期期末试卷-理(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科） 一选择题1（5分）设复数z满足（1+i）=2i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B甲乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D甲乙，且乙队员比甲队员成绩稳定3（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A3B2CD4（5分）设an是首项为，

2、公差为d（d0）的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A1BCD5（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）AabcBacbCcabDbac6（5分）设函数f（x）（xR）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0x2时，f（x）=x（x表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A8.5B10.5C12.5D14.57（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是sin2=3cos，则直线l被曲线C截得的弦长为（）AB6C12D7

3、8（5分）设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m=，则lB若lm，m=，则lC若，l与所成的角相等，则lmD若lm，l，则m9（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A44+B40+4C44+4D44+210（5分）已知点A（1，1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+（1a，1b）的点P（x，y）组成的区域若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 （）A5B4C9D5+4二填空题11（5分）椭圆 +=1（ab0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为12（5分）已知m0，实数x，y满足

4、，若z=x+2y的最大值为2则实数m=13（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S10=14（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A=80，40，32，10，若aiA（i=1，2，3，4，5），则a=15（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|sin2x1（xR），则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）f（x）是周期函数；f（x）的图象关于x=对称；f（x）的最小值为2；f（x）的单调递减区间为k+，k+（kZ）；f（x）在（0，n）内恰有2015个零点，则n的取值

5、范围为1.007.5n1008三解答题16（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（）求角A的大小；（）若cosB是方程3x210x+3=0的一个根，求sinC的值17（12分）已知函数f（x）=（x2+ax）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（）当x0，+）时，求f（x）取得最小值时x的值18（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，

6、0.2，且答对各题互不影响则（1）小明在加试中至少答对3题的概率 （2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望19（13分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为，PC与的交点为Q（）试确定Q的位置并证明；（）求四棱锥PABCD被平面分成上下两部分的体积比（）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面与平面PCD所成的二面角的正切值20（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆圆C的方程为（x5cos

7、）2+（y5sin2）2=1（aR），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|（）求圆D的方程；（）试用d表示，并求的最小值21（13分）设数列an各项均为正数，且满足an+1=anan2（）求证：对一切n2，都有an；（）已知前n项和为S，求证：对一切n2，都有S2nSn1ln2安徽省江南十校2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题1（5分）设复数z满足（1+i）=2i（i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充

8、和复数分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则z可求解答：解：由（1+i）=2i，得，故故选：A点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）将甲、乙两名篮球运动员在篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若甲、乙分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是（）A甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定B甲乙，且乙队员比甲队员成绩稳定C甲乙，且甲队员比乙队员成绩稳定D甲乙，且乙队员比甲队员成绩稳定考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：计算甲乙二人的平均数与方差，比较计算结果即可解答：解：根据茎叶图，知；甲的平均成绩为

9、=25.6，乙的平均成绩为=22.6，甲的方差为=×（1425.6）2+（2525.6）2+（2625.6）2+（3025.6）2+（3325.6）2=41.84，乙的方差为=（1622.6）2+2+（2222.6）2+（2422.6）2+（3122.6）2=24.64；，；即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定故选：B点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数与方差的计算问题，是基础题3（5分）如图，若输入n的值为4，则输出A的值为（）A3B2CD考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的A，i的值，当i=4时，结束循环，输出A

10、的值为3解答：解：执行程序框图，第1次运行：A=2，i=1；第2次运行：A=，i=2；第3次运行：A=，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A的值为3故选：A点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查4（5分）设an是首项为，公差为d（d0）的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=（）A1BCD考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和得到S1，S2，S4，再由S1，S2，S4成等比数列列式求得d的值解答：解：，S2=2a1+d=d1，S4=4a1+6d=6d2，且S1，S2，S4成等比数列，则，解得：d=1

11、或d=0（舍）故选：A点评：本题考查了等差数列的前n项和，考查了等比数列的性质，是基础的计算题5（5分）已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（）AabcBacbCcabDbac考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答：解：a=20.11，b=ln0.10，0c=sin11，abc故选：B点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题6（5分）设函数f（x）（xR）满足f（x+2）=2f（x）+x，且当0x2时，f（x）=x（x表示不超过x的最大整数），则f（5.5）=（）A8.5B10.5C12.5D14.5考点：抽象

12、函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：此题类似于函数的周期性，应先将f（5.5）转化到区间0，2上来，然后取整求解解答：解：由题意f（x+2）=2f（x）+x得：f（5.5）=2f（3.5）+3.5=22f（1.5）+1.5+3.5=4f（1.5）+6.5=4×1+6.5=10.5故选B点评：本题考查了抽象函数的性质，此题的关键在于利用条件“f（x+2）=2f（x）+x”实现将所求转化为已知这是此类问题考查的主要解题思想7（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是s

13、in2=3cos，则直线l被曲线C截得的弦长为（）AB6C12D7考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可解答：解：由（t为参数）得，直线l普通方程是：，由sin2=3cos得，2sin2=3cos，即y2=3x，则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2168x+9=0，所以0，

14、且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，故选：C点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与抛物线相交时焦点弦的求法，属于中档题8（5分）设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若lm，m=，则lB若lm，m=，则lC若，l与所成的角相等，则lmD若lm，l，则m考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：对四个选项分别分析，利用线面关系逐一分析，选择正确答案解答：解：对于A，l可能在平面内，所以A错误；对于B，l可能在平面内，所以B错误；对于C，l，m可能平行、相交、异面，所以C错误；对于D，因

15、为lm，l，所以m，又因为，所以m，正确；故选D点评：本题考查了线面关系的判断，考查学生的空间想象能力9（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A44+B40+4C44+4D44+2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体解出即可解答：解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体则该几何体的表面积S=+4×2×4+22×12+=44+故选：A点评：本题考查了组合体的三视图及其表面积计算，属于基础题10（5分）已知点A（1，1），B（4，

16、0），C（2，2），平面区域D是所有满足=+（1a，1b）的点P（x，y）组成的区域若区域D的面积为8，则4a+b的最小值为 （）A5B4C9D5+4考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义 专题：不等式的解法及应用分析：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CHAN，BFAM，NGAM，MGAN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部利用向量的夹角公式可得cosCAB=，利用四边形EFGH的面积S=8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：如

17、图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CHAN，BFAM，NGAM，MGAN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部=（3，1），=（1，3），=（2，2），=，=，=cosCAB=，四边形EFGH的面积S=8，（a1）（b1）=1，即4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号4a+b的最小值为9故选：C点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式 的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能

18、力，属于难题二填空题11（5分）椭圆 +=1（ab0）上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆的定义可求得a，根据离心率可求得c，进而求b，从而解得椭圆的方程解答：解：由题意得：2a=6，故a=3，又离心率e，所以c=1，b2=a2c2=8，所以椭圆的方程为：故答案为：点评：本题主要考查椭圆的定义、离心率，属于基础题12（5分）已知m0，实数x，y满足，若z=x+2y的最大值为2则实数m=1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结

19、论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，此时0+2m=2，解得m=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键13（5分）设直线（k+1）x+（k+2）y2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S10=考点：数列与解析几何的综合 专题：等差数列与等比数列分析：令x=0，求出y，令y=0，求出x，然后求出Sk，根据三角形面积公式求和解答：解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（，0），则则Sk=2（），S1+S2+S10=2（）+（）+（）=2×=故答案为：点评：本题考查了一

20、次函数的综合运用关键是求出一次函数图象与坐标轴的交点，得出面积，再拆项求和14（5分）已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A=80，40，32，10，若aiA（i=1，2，3，4，5），则a=2考点：二项式定理的应用 专题：计算题；集合；二项式定理分析：运用二项式定理展开，可得对应项的系数，再由条件判断a1，对a1讨论，即可得到所求值解答：解：由二项式定理，可得，（1+ax）5=1+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则有a1=5a，a2=10a2，a3=10a3，a4=5a4，a5=a5由于集合A=80，40，32，10，且aiA（

21、i=1，2，3，4，5），则ai0，即a0，若a=1，则显然不成立，即a1，则a1为较小的，若a1=32或40，则显然不成立，若a1=10，则a=2，a1=10，a2=40，a3=80，a4=80，a5=32成立故答案为：2点评：本题考查二项式定理的运用，考查元素和集合的关系，考查推断能力和运算能力，属于中档题15（5分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|sin2x1（xR），则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）f（x）是周期函数；f（x）的图象关于x=对称；f（x）的最小值为2；f（x）的单调递减区间为k+，k+（kZ）；f（x）在（0，n）内恰有2015个零点，则n的取值

22、范围为1.007.5n1008考点：命题的真假判断与应用 专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑分析：把函数f（x）=|sinx|+|cosx|sin2x1化为f（x）=，然后直接由周期的定义求周期判断；由判断；换元后利用二次函数求最值判断；借助于复合函数的单调性判断；求出函数在（0，内的零点后分析使得f（x）在（0，n）内恰有2015个零点的n的取值范围判断解答：解：f（x）=|sinx|+|cosx|sin2x1=f（x+）=f（x），f（x）是周期为的函数，正确；，f（x）的图象不关于x=对称，错误；f（x）是周期为的函数，故只需研究f（x）在（0，上的最小值，当0sin2x1时，即x（0

23、，时，f（x）=，令t=，则f（x）转化为g（t）=t2+t，t1，求得g（t），0；当1sin2x0时，即x（时，同理求得g（t）0，f（x）的最小值为2，命题正确；由可知，当x（0，即t1，时，g（t）在1，上单调递减，f（x）=在（0，上递增，在上递减，f（x）在（0，上递减，在上递增当x（，时，同理可得f（x）在上递增，在上递减f（x）为连续函数，故f（x）在上递增又f（x）的周期为，f（x）的单调递减区间为k+，k+（kZ），正确；由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，当x（0，时，f（x）有且仅有两个零点分别为，2015=2×1007+1，当1007

24、.5n1008时，f（x）在（0，n）内恰有2015个零点错误点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题三解答题16（12分）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（）求角A的大小；（）若cosB是方程3x210x+3=0的一个根，求sinC的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（）求出已知方程的解确定出cosB的

25、值，进而求出sinB的值，利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值解答：解：（）已知等式（a+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（ab）=c（cb），即b2+c2a2=bc，cosA=，则A=；（）方程3x210x+3=0，解得：x1=，x2=3，由cosB1，得到cosB=，sinB=，则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键17（12分）

26、已知函数f（x）=（x2+ax）ex，其中e是自然对数的底数，aR（）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（）当x0，+）时，求f（x）取得最小值时x的值考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，（）由（）知，f（x）在x2处取得极小值，分当x20，x20，两种情况讨论即可解答：解：（）f（x）=（x2+（a+2）x+aex，=（a+2）24a=（a2）2，0，恒成立令f（x）=0，解得x1=，x2=，当f（x）0，解得xx2，或xx1，当f（x）0，解得x1xx2，故函数f（x）在（，）和（，

27、+）为增函数，在（，）为减函数（）由（）知，f（x）在x2处取得极小值，当x20，即0，解得a0时，x20，+），则f（x）在x=处取得极小值，当x20，解得a0时，x20，+），则f（x）在x=0处取得极小值，综上所述，当a0时，x的值为，当a0时，x的值为0点评：本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及分类讨论的思想，属于中档题18（12分）全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中加试题有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够答对加试的第一，二，三，四题的概率分别为0.5，0.5，0.2，0.2，且答对各题互不影响则（1）小明在加试中至少答对3题的概

28、率 （2）记X为小明在加试题中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）类比（1）可得：P（X=0）=（10.5）×（10.5）×（10.2）×（10.2），P（X=1）=0.5×（10.5）×（10.2）×（10.2）×2+（10.5）×（10.5）×0.2×（10.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08

29、+0.02=0.1，P（X=4）=0.01P（X=2）=1P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）再利用数学期望的计算公式即可得出解答：解：（1）设小明能够答对加试的第一，二，三，四题分别为事件Ai（i=1，2，3，4）则小明在加试中至少答对3题的概率 P（X=3或4）=+P（A1A2A3A4）=0.5×0.5×0.2×（10.2）×2+0.5×0.2×0.2×（10.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2=0.08+0.02+0.01=0.11（2）类比（1）可得：P

30、（X=0）=（10.5）×（10.5）×（10.2）×（10.2）=0.16，P（X=1）=0.5×（10.5）×（10.2）×（10.2）×2+（10.5）×（10.5）×0.2×（10.2）×2=0.32+0.08=0.4，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01P（X=2）=1P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）=1（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33可得随机变量X的分布列： X 0 1 2 3 4 P（X） 0.16 0.4

31、 0.33 0.1 0.01E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01=1.4点评：本题考查了互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（13分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为，PC与的交点为Q（）试确定Q的位置并证明；（）求四棱锥PABCD被平面分成上下两部分的体积比（）若PA=2，截面AEQD的面积为3，求平面与平面

32、PCD所成的二面角的正切值考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积 分析：（）利用线面平行和线线平行之间的转化求出结论（）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值（）通过做出二面角的平面角求出相关的量，进一步解直角三角形求得结果解答：解：（）Q为PC的中点理由证明如下：因为ADBC，AB平面PBC，故AD平面PBC又由于平面平面PBC=EQ，故ADEQ所以：BCEQ又E为PB的中点，故Q为PC的中点（）如图连接EQ，DQ，因为：PA平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为PBA=45°故：PA=AB又因为：E为PB的中点，所以PEAE因为四边形ABCD是矩形，

33、所以ADAB又PA平面ABCD得到：ADPA，又PAAB=A故：PE平面设：PA=h，AD=2a，四棱锥PABCD被平面所分成的上下两部分分别为V1和V2则：EQ=a又因为AD平面PAB，所以ADAE=（）过E作EFDQ，连接PF，因为PE平面，所以PEDF又由于EFPE=E，所以DF平面PEF，则：DFPF所以：PFE是平面和平面PCD所成的二面角因为：PA=2，即h=2，截面AEQD的面积为3所以：解得：a=又因为：ADEQ，且EQ=AD，故：QD=又解得：EF=1PE=在直角三角形PEF中，即：平面与平面PCD所成的二面角的正切值为点评：本题考查的知识要点：线面的垂直和平行问题，锥体的体积，二面角的平面角的应用属于中等题型20（13分）已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x2=y，圆D为三角形OEF的外接圆圆C的方程为（x5cos）2+（y5sin2）2=1（aR），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|（）求圆D的方程；（