【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2.5 指数与指数函数课件

1、【考纲下载考纲下载】1. 了解指数函数模型的实际背景了解指数函数模型的实际背景2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过 的特殊点的特殊点.第第5 5讲讲 指数与指数函数指数与指数函数(1)定义：一般地，若定义：一般地，若xna(n1，nN*)则则x叫做叫做a的的 . 叫做根式，叫做根式，n叫做根指数，叫做根指数， 叫做被开方数叫做被开方数(2)运算性质运算性质当当n为任意正整数时，为任意正整数时，

2、 a；当当n为奇数时，为奇数时， a；n次方根次方根 1根式根式a 当当n为偶数时，为偶数时，【思考思考】 负数没有负数没有n次方根这种说法正确吗？次方根这种说法正确吗？ 答案：答案：不正确，当不正确，当n为偶数时，负数没有为偶数时，负数没有n次方根，但当次方根，但当n为奇数时，为奇数时， 负数有负数有n次方根，如次方根，如 .(1) (a0，m，nN*，且，且n1)(2) (a0，m，nN*，且，且n1)(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义的负分数指数幂无意义提示：提示：分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将 写成写成

3、等必须认真考等必须认真考查查a的取值才能决定，例如的取值才能决定，例如 1，而而 无意义无意义2分数指数幂的意义分数指数幂的意义3有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 amanamn(m，nQ) (am)namn(m，nQ) (ab)nanbn(nQ)4指数函数的定义指数函数的定义 函函数数yax(a0且且a1)叫做指数函数，其中叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义是自变量，函数定义 域是域是R. 提示：提示：(1)指数函数的定义是一个形式定义，如指数函数的定义是一个形式定义，如y2ax就不是就不是 指数函数指数函数 (2)注意指数函数的底数不能是负数、零和注意指数函数的底数不能是负数、

4、零和1.a10ad1ab.即无论在即无论在y轴的轴的左侧还是左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大右侧，底数按逆时针方向变大1函数函数y(a23a3)ax是指数函数，则有是指数函数，则有() Aa1或或a2 Ba1 Ca2 Da0且且a1 解析：解析：由指数函数定义式得：由指数函数定义式得： ，a2. 答案：答案：C2若若xy1,0aay Bax1 Caxay 解析：解析：(特值法特值法)取取x4，y2，a . 则则ax ， 4. axay. 答案：答案：D 3函数函数f(x)axb的图象如图所示，其中的图象如图所示，其中a，b 为常数，则下列结论正确的是为常数，则下列结论正确的是 () Aa1，

5、b0 B0a0 Ca0，b0 D0a1，b0解析：解析：由函数图象知函数为减函数，由函数图象知函数为减函数，0a1，当当x0时，时，0f(x)ab0. 故故0a1，b0 ，则则 _. 解析：解析：原式原式 4=23. 答案：答案：23指数幂的运算应遵循以下原则：指数幂的运算应遵循以下原则：1指数式化简求值分为两类：有条件和无条件，无条件的指数式可直指数式化简求值分为两类：有条件和无条件，无条件的指数式可直 接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值接化简，有条件的应把条件和结论相结合再进行化简求值2当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指当所求根式含有多重根号时，要搞

6、清被开方数，由里向外用分数指 数幂写出，然后再用性质进行运算数幂写出，然后再用性质进行运算3对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含 有负指数有负指数 【例例1】 (1)化简下列各式：化简下列各式： (a0，b0)； (2)已知已知 4，求，求aa1. 思维点拨：思维点拨：(1)化成分数指数幂形式运算；化成分数指数幂形式运算；(2)考虑整体思想考虑整体思想 解：解：(1)原式原式 原式原式 (2)aa1 242214. 变式变式1：化简求值化简求值(其中各字母均为正数其中各字母均为正数) (1) ； (2)若若xx13

7、，求，求x3x3的值的值 解：解：(1)原式原式 (2)x3x3(xx1)(x2x21) (xx1)(xx1)23 3(323)18. 涉及指数函数的图象问题，常利用指数函数涉及指数函数的图象问题，常利用指数函数yax一定过定点一定过定点(0,1) 这一性质；这一性质；2 形如形如yaf(x)的单调性要根据的单调性要根据yau，uf(x)两函数在相应区间上的两函数在相应区间上的 单调性确定其单调性遵循单调性确定其单调性遵循“同增异减同增异减”的规律的规律【例例2】 (1)函数函数y (0a0时，时，函数是一个指数函数，其底数函数是一个指数函数，其底数0a1，所以函数递减；当，所以函数递减；当x

8、0时，函数图象与指时，函数图象与指 数函数数函数yax的图象关于的图象关于x轴对称，函数递增，所以应选轴对称，函数递增，所以应选D项项答案：答案：D(2)解析：解析：设设u6x2x2，则，则u2 ，函数函数u在在 上为增函数，在上为增函数，在 上为减函数，又上为减函数，又0 1时时，yau是是增函数增函数；当当0a1时时，f(x) 在在 上是减函数，上是减函数，在在 上上 是增函数，是增函数，当当0a0且且a1，讨论讨论f(x)ax23x2的单调性的单调性解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的取值范围记住解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的取值范围记住下列函数的增减性，对解题是十

9、分有用的：下列函数的增减性，对解题是十分有用的：(1)若若f(x)为增为增(减减)函数，则函数，则f(x)为减为减(增增)函数；函数；(2)若若f(x)为增为增(减减)函数，则为减函数，则为减(增增)函数函数(f(x)0)；(3)若若f(x)为增为增(减减)函数，则函数，则f(x)k为增为增(减减)函数函数 【例例3】 已知定义在已知定义在R上的奇函数上的奇函数f(x)有最小正周期有最小正周期2，且当，且当x(0,1) 时，时，f(x). (1)求求f(x)在在1,1上的解析式；上的解析式；(2)证明：证明：f(x)在在(0,1)上是减函上是减函数数解：解：(1)(1)当当x(1,0)1,0)

10、时时，x(0,1)(0,1)f( (x) )是奇函数是奇函数，f( (x) )f( (x) ) . .由由f(0)(0)f( (0)0)f(0)(0)，且且f(1)(1)f( (2 21)1)f( (1)1)f(1)(1)，得得f(0)(0)f(1)(1)f( (1)1)0.0.在区间在区间 1,11,1上，上，有有f( (x) )(2)证明：证明：当当x(0,1)时，时，f(x)任取任取x1、x2满足满足0 x1x21，则则f(x1)f(x2) 0 x1x2f(x2)，故故f(x)在在(0,1)上是减函数上是减函数变式变式3：已知函数已知函数f(x) (a0且且a1) (1)求求f(x)的定

11、义域和值域；的定义域和值域； (2)讨论讨论f(x)的奇偶性；的奇偶性； (3)讨论讨论f(x)的单调性的单调性 解：解：(1)易得易得f(x)的定义域为的定义域为x|xR 设设 解得解得 ax0，当且仅当当且仅当 0时，方程时，方程有解有解 解得解得1y1. f(x)的值域为的值域为y|1y1时，时，ax1为增函数，且为增函数，且ax10.为减函数，从而为减函数，从而f(x) 为增函数为增函数当当0a0且且a1)的反函数，其图象经过点的反函数，其图象经过点( ，a)，则，则f(x)()Alog2x B C. Dx2【规范解答规范解答】解析：解析：由题意，得函数由题意，得函数yax(a0且且a

12、1)的反函数为的反函数为f1(x)logax，把，把( ，a)代入，由代入，由loga a，求得求得a ，所以，所以f(x) 答案：答案：B【探究与研究探究与研究】考题的命题，综合了函数的反函数、对数运算、对数方程等知识，考查了函数考题的命题，综合了函数的反函数、对数运算、对数方程等知识，考查了函数的相关内容，虽然是一道小题，的相关内容，虽然是一道小题， 但也很好地凸显了命题但也很好地凸显了命题“以能力立意以能力立意”的原的原则则求函数求函数yax(a0且且a1)的反函数一般不易出错，但在由对数方程求的反函数一般不易出错，但在由对数方程求a值时易出错值时易出错 由互为反函数图象间的关系可知点由

13、互为反函数图象间的关系可知点(a，)在函数在函数yax(a0且且a1)的图象上，的图象上， 则则 aa ，a 故故 f1(x)【考纲解读考纲解读】对反函数的要求已经降低为对反函数的要求已经降低为“了解了解”层次，这一道题只要知道层次，这一道题只要知道y=logy=loga ax(a0,ax(a0,a1)1)与与 y=ay=ax x(a0,a(a0,a1)1) 互为反函数即可互为反函数即可. .了解这些，此题目自了解这些，此题目自然就可以解决了然就可以解决了. .可是有相当多的考生因对可是有相当多的考生因对“了解了解”层次的知识点重视不够，本层次的知识点重视不够，本应该应该“了解了解”的知识却忘记了，导致很容易的题目也丢分的知识却忘记了，导致很容易的题目也丢分. .此外，一些考生不清此外，一些考生不清楚高考在考查知识上的层次要求，将一些楚高考在考查知识上的层次要求，将一些“了解了解”知识点盲目扩充加深知识点盲目扩充加深. .同样是同样是关于反函数的题目，例如关于反函数的题目，例如“已知函数了已