数系的四则运算

1、3.2复数的四则运算预备知识预备知识 一、复数的几何意义一、复数的几何意义 （1 1）复数）复数z=a+biz=a+bi与复平面内点与复平面内点Z(a,b)Z(a,b)一一对应；一一对应； （2 2）复数）复数z=a+biz=a+bi与平面向量与平面向量 一一对应；一一对应；（其中（其中O O是原点，是原点，Z Z是复数是复数z z所对应的点）所对应的点）OZ二、平面向量的加减法二、平面向量的加减法平行四边形法则、三角形法则平行四边形法则、三角形法则1.复数的加法法则复数的加法法则1 1、(1+2i)+(-2+3i)=(1+2i)+(-2+3i)=口算：口算：2 2、(-2+3i)+(1+2i

2、)=(-2+3i)+(1+2i)=3 3、(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)= =4 4、(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)(-2+3i)+(1+2i)+(3+4i)= =-1+5i-1+5i(-1+5i)+(3+4i)= 2+9i(-2+3i)+(4+6i) = 2+9iRdcba,(1)规定规定:复数的加法法则如下：复数的加法法则如下：设设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.（1 1）两个复数的和仍是一个复数。）两个复数的和仍是一个复数。（2

3、 2）复数的加法法则满足交换律、结合律。）复数的加法法则满足交换律、结合律。说明：说明：(2)复数加法满足交换律、结合律的证明复数加法满足交换律、结合律的证明设设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.(1)因为因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以所以 z1+z2=z2+z1 容易得到，对任意容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有有 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)（同学们课后证明）（

4、同学们课后证明）(3)复数加法的几何意义复数加法的几何意义复数可以用向量表示，如果与这些复数对应复数可以用向量表示，如果与这些复数对应的向量不共线，那么这些复数的加法就可以的向量不共线，那么这些复数的加法就可以按照向量的平行四边形法则来进行。按照向量的平行四边形法则来进行。Z1(a,b)Z2(c,d)ZOyxOZ =(a,b)+(c,d)1OZ 2OZ =(a+c,b+d)对应复数对应复数(a+c)+(b+d)i2.复数的减法复数的减法思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加类比实数集中减法的意义，我们

5、规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数的复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数c+di的差，记作的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有根据复数相等的定义，有c+x=a, d+y=b,因此因此 x=a-c, y=b-d所以所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i即即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i口算：口算：(1+2i) - -(- -2+3i) = 3 - i(1)(1)复数的减法复数的减法法则：法则：（a+bia+bi）- -（c+dic+di）= =（a-ca-c）+

6、 +（b-db-d）i i注：两个复数的差是仍为复数。注：两个复数的差是仍为复数。探究：类比复数加法的几何意义，看看复数减探究：类比复数加法的几何意义，看看复数减法的几何意义是什么法的几何意义是什么. .Z1(a,b)Z2(c,d)OyxZz1-z2(2)复数减法的几何意义复数减法的几何意义两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对应两个复数相加（减）就是分别把实部、虚部对应相加（减），得到一个新的复数，即相加（减），得到一个新的复数，即(a+bi) (a+bi) (c+di (c+di) = (a) = (ac) + (bc) + (bd)id)i总结总结例例1 1： 计算（计算（5 - 6i

7、5 - 6i）+ +（-2 - i-2 - i）- -（3 + 4i3 + 4i）（5 2 - 35 2 - 3）+ +（-6 1 - 4-6 1 - 4）i = -11ii = -11i1、计算：、计算：(1) (2+4i)+(3-4i); (2) 5-(3+2i);(3)(4) (0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)2213()(1)()3324iii课堂练习：课堂练习：52-2i75612i0.3+0.2i3.复数代数形式的乘法复数代数形式的乘法（1）规定）规定:复数的乘法法则如下：复数的乘法法则如下：设设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么它们是任

8、意两个复数，那么它们的积的积 (a+bi) (c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i探究：探究：复数的乘法满足交换律、结合律？复数的乘法满足交换律、结合律？ 乘法对加法满足分配律吗乘法对加法满足分配律吗?Rdcba,(2)复数乘法满足交换律、结合律的证明复数乘法满足交换律、结合律的证明设设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.(1)因为因为 z1 z2=(a1+b1i)(a2+b2i) =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i, z2 z1= (a2+b2i)(a1+b1i) =(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2

9、a1)i, 所以所以 z1 z2=z2 z1 容易得到，对任意容易得到，对任意z1,z2,z3 C,有有 (z1 z2) z3= z1 (z2 z3)z1 (z2+z3) = z1z2+z1z3（同学们课后证明）（同学们课后证明）例例2 计算计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) =(11-2i)(-2+i) =-20+15i.例例3 计算计算:(1) (3+4i)(3-4i); (2) (1+i)2 ; (3) (1-i)2解解:(1) 25. (2) 2i.(3) - 2i.4.共轭复数的定义共轭复数的定义当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时

10、，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为这两个复数叫做互为共轭复数共轭复数。虚部不等于的。虚部不等于的两个共轭复数也叫做两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数。思考：若思考：若z1 z2 ，是共轭复数，那么是共轭复数，那么（）在复平面内，它们所对应的点有怎样（）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？的位置关系？（）（） z1 z2是一个怎样的数？是一个怎样的数？关于实轴对称关于实轴对称实数实数RbabiaZbiaZ,则即4.共轭复数的性质：共轭复数的性质：ZZZZZZZZRZZZ22)2() 1 (0)5()4()3(2212121212121ZZZZZZZZZZZZZ探

11、究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的试探求复数除法的法则法则.5.复数除法的法则是复数除法的法则是:).0()()(2222dicidcadbcdcbdacdicbia方法方法:在进行复数除法运算时在进行复数除法运算时,通常先把通常先把)()(dicbia写成写成dicbia分母都乘以分母的共轭复数分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后就可得到上化简后就可得到上面的结果面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的这与作根式除法时的处理是很类似的.在在的形式的形式,再把分子与再把分

12、子与作根式除法时作根式除法时,分子分母都乘以分母的分子分母都乘以分母的“有理化因有理化因式式”,从而使分母从而使分母“有理化有理化”.这里分子分母都乘以这里分子分母都乘以分母的分母的“实数化因式实数化因式”(共轭复数共轭复数),从而使分母从而使分母“实实数化数化”.例例4 计算计算).43()21 (ii.525125105434683)43)(43()43)(21 (4321)43()21 ( :22iiiiiiiiiiii解 ii11 ii11例例5(1)1-7i1-7i复平面内点复平面内点A A、B B分别对应复数分别对应复数 z zA A=2=2+5i +5i 和和 z zB B= =

13、3-2i 3-2i ，则向量，则向量 对应的复数是对应的复数是ABz zB B - z- zA A复平面内点复平面内点A A、B B分别对应复数分别对应复数 z zA A 和和 z zB B ，则向量则向量 对应的复数是对应的复数是AB结论结论1：复平面内点复平面内点A A、B B对应的复数分别为对应的复数分别为 z zA A=3+2i =3+2i 和和 z zB B= -2+4i= -2+4i，则，则A A、B B间的距离是间的距离是_(2)29结论结论2：复平面内点复平面内点A A、B B对应的复数分别为对应的复数分别为 z zA A、z zB B，则则A A、B B间的距离是间的距离是|

14、BAzz 3.3.根据复数的几何意义根据复数的几何意义, ,满足条件满足条件 的复数的复数z z在复平面上对应的点的轨迹是在复平面上对应的点的轨迹是1| )1(| iz4. 4. 满足条件满足条件 的复数的复数z z在复在复平面上对应平面上对应的点的点的轨迹是的轨迹是2| )32(| iz例例5：以（以（1 1，1 1）为圆心，半径为）为圆心，半径为1 1的圆周的圆周以（以（2 2，3 3）为圆心，半径为）为圆心，半径为2 2的圆周的圆周思考：你能归纳推导出一个更一般的结论吗？思考：你能归纳推导出一个更一般的结论吗？以（以（a a，b b）为圆心，半径为）为圆心，半径为r r的圆周的圆周满足条件满足条件 的复数的复数z z在复在复平面上对应平面上对应的点的点的轨迹是的轨迹是)0(| )(| rrbiaz结论结论3：思考：复数思考：复数z z