【创新设计】2011届高三数学一轮复习 排列与组合课件 北师大版

1、(理解排列、组合的概念理解排列、组合的概念/能利用计数原理推导排列数公式、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式组合数公式/能解决简单的实际问题能解决简单的实际问题)10.2 10.2 排列与组合排列与组合1排列的概念：排列的概念：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)个元素个元素(这里的被取元素各不相同这里的被取元素各不相同)按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列2排列数的定义：排列数的定义：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数叫做从个元素的所有排列

2、的个数叫做从n个元素中取出个元素中取出m个元素的排列数，用符号个元素的排列数，用符号 表示表示3排列数公式排列数公式 n(n1)(n2)(nm1)4全排列数公式全排列数公式 A n(n1)(n2)21n！(叫做叫做n的阶乘的阶乘)5组合的定义组合的定义：一般地一般地，从，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并成一组并成一组，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合6组合数的定义：组合数的定义：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫个元素的所有组合的个数，叫做从做从n个不同元素中取出个不同元素中取

3、出m个元素的个元素的组合数组合数用符号用符号C 表示表示7组合数公式组合数公式 (n，mN*，且，且mn)18 8名名运动员运动员参加男子参加男子100米的决赛已知运动场有从内到外编号依次为米的决赛已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字续数字(如：如：4,5,6)，则参加比赛的这，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有名运动员安排跑道的方式共有()A360种种 B4 320种种 C720种种 D2 160种种解析：解析：本题考查排列组合知识；可分步完成先

4、从本题考查排列组合知识；可分步完成先从8个数字中取出个数字中取出3个连续的三个个连续的三个数字共有数字共有6种可能，将指定的种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的的5个排在其他的编号的个排在其他的编号的5个跑道上，故共有个跑道上，故共有 4 320种方式种方式答案：答案：B2高三高三(一一)班需要安排毕业晚会的班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，个音乐节目，2个舞蹈节目和个舞蹈节目和1个曲艺节目的个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A1 800 B

5、3 600 C4 320 D5 040解析：解析： 120303 600.答案：答案：B3(2010开封高三月考开封高三月考)某班级某班级从从A、B、C、D、E、F六名学生中选六名学生中选4人参加人参加4100米接力比赛，其中第一棒只能在米接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有中选一人，则不同的选派方法共有()A24种种 B36种种 C48种种 D72种种解析解析：若第一棒选：若第一棒选A，则有，则有A 种选派方法；若第一棒选种选派方法；若第一棒选B，则有，则有2A ，由分，由分类计数原理共有类计数原理共有36种种答案答

6、案：B4如图如图，将，将1,2,3填入填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有一种填法，则不同的填写方法共有()A6种种 B12种种C24种种 D48种种解析：解析：只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此 12(种种)答案：答案：B常见的排列问题有三种：常见的排列问题有三种：(1)排队；排队；(2)排数；排数；(3)排课程表对于排课程表对于“ “在在” ”或者或者“ “不不在在” ”的排列问题的计算方法主要是：的排列问题的计算方法主要是：(1)位置优先法；位置优先

7、法；(2)元素优先法；元素优先法；(3)间接间接计算法计算法【例【例1】甲、乙、丙、丁四名甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数(1)甲不在排头、乙不在排尾；甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端甲一定在乙的右端(可以不邻可以不邻)解答：解答：(1)直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况况若甲排在排尾共有若甲排在排尾共有 6种排

8、法种排法若甲既不在排头也不在排尾共有若甲既不在排头也不在排尾共有 8种排法，种排法，由分类计数原理：由分类计数原理： 14(种种)也可间接计算：也可间接计算： 14(种种)(2)本题可转化为将数字本题可转化为将数字1,2,3,4排成没有重复数字的四位数，且排成没有重复数字的四位数，且1不在千位，不在千位，2不不在百位，在百位，3不在十位，不在十位，4不在个位；因此可写出不在个位；因此可写出A 24种所有排列，从中挑选满种所有排列，从中挑选满足条件的共足条件的共9种种可考虑求有限集合的并集元素的个数问题：可考虑求有限集合的并集元素的个数问题： 则有则有card(ABCD)card(A)card(

9、B)card(C)card(D)card(AB)card(AC)card(AD)card(BC)card(BD)card(CD)card(ABC)card(ABD)card(BCD)card(ACD)card(ABCD)设所有排列组成的集合为设所有排列组成的集合为I；甲在首位的排列组成的集合为甲在首位的排列组成的集合为A，乙在第二位的排列组成的集合为，乙在第二位的排列组成的集合为B，丙在第三，丙在第三位的排列组成的集合为位的排列组成的集合为C，丁在末位的排列组成的集合为，丁在末位的排列组成的集合为D，则，则card(I)card(ABCD)2446624119.可考虑直接排法：可考虑直接排法：

10、甲有甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3319(种种)(3)可先排丙、丁有可先排丙、丁有 种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有件的排列共有 112(种种)或看作定序问题或看作定序问题 12.变式变式1.(1)从从6 6人人中选中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，

11、要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有览，则不同的选择方案共有()A300种种 B240种种 C144种种 D96种种(2)安排安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是一个出场，不同排法的种数是_(用数字作答用数字作答)解析：解析：(1) 240. (2)答案：答案：(1)B(2)78排列中的排列中的“ “相邻相邻” ”问题一般采用捆绑法；而问题一般采

12、用捆绑法；而“ “互不相邻互不相邻” ”问题一般采用插空法问题一般采用插空法【例【例2】 a1，a2，a8共八个元素共八个元素，分别计算满足下列条件的排列数，分别计算满足下列条件的排列数(1)八个元素排成一排，且八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一起；四个元素排在一起；(2)八个元素排成一排，且八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻；四个元素互不相邻；(3)八个元素排成一排，且八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相邻，并且四个元素互不相邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻；也互不相邻；(4)排成前后两排每排四人排成前后两排每排四人解

13、答：解答：(1)a1，a2，a3，a4四个元素四个元素排在一起，共有排在一起，共有A 种排法，再与种排法，再与a5，a6，a7，a8进行排列共有进行排列共有A 种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为 2 880.(2)先排先排a5，a6，a7，a8，四个元素共有四个元素共有A 种排法；种排法；可将可将a1，a2，a3，a4排入由排入由a5，a6，a7，a8间隔出的五个位置中间隔出的五个位置中的四个，共有的四个，共有A 种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为 2 880.(3)先先排排a5，a6，

14、a7，a8，；共有；共有 种排法；然后排种排法；然后排 a1，a2，a3， a4共有共有2 种排法；种排法；由分步计数原理共有由分步计数原理共有 1 152种排法种排法(4)前排有前排有 种排法，后排有种排法，后排有 种排法，种排法，由分步计数原理知共有由分步计数原理知共有 8！种排法种排法变式变式2.4个男个男同学，同学，3个女同学站成一排个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有其中甲、乙两同学

15、之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等个女生身高互不相等)解答：解答：(1)3个女个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有 种排法；由于种排法；由于3个女同个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个

16、元个元素的全排列，应有素的全排列，应有A种排法，由分步计数的原理种排法，由分步计数的原理,有有 720种不同排法种不同排法(2)先将男生排好，共有先将男生排好，共有 种排法，再在这种排法，再在这4个男生的中间及两头的个男生的中间及两头的5个空档中插入个空档中插入3个个女生有女生有 种方案，故符合条件的排法共有种方案，故符合条件的排法共有 1 440种不同排法种不同排法(3)甲、乙甲、乙2人先排好，有人先排好，有A 种排法，再从余下种排法，再从余下5人中选人中选3人排在甲、乙人排在甲、乙2人中间，有人中间，有 种排法，这时把已排好的种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的人视为一整体，

17、与最后剩下的2人再排，又有人再排，又有 种排种排法，这样总共有法，这样总共有 720种不同排法种不同排法(4)先排甲、乙和丙先排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有 种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有乙排好，有 种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人人的空档中有的空档中有 种排法这样，总共有种排法这样，总共有 960种不同排法种不同排法(5)从从7个位置中选出个位置中选出4个位置把男生排好，则有个位置把男生排好，则有 种排法然后再在余下的种排法然后再在余下

18、的3个空个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法这样总共有位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法这样总共有 840种不同排法种不同排法.排列与组合的根本区别在于是排列与组合的根本区别在于是“ “有序有序” ”还是还是“ “无序无序” ”，对于将若干个相同小球放入几，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用个不同的盒子中，此类问题可利用“ “挡板法挡板法” ”求解，实质上是最终转化为组合问求解，实质上是最终转化为组合问题题【例【例3】7 7个相同个相同的小球，任意放入的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放个不同的盒子中，试问：

19、每个盒子都不空的放法共有多少种？法共有多少种？解答解答：解法一：解法一：先将其中先将其中4个相同的小球放入个相同的小球放入4个盒子中，有个盒子中，有1种放法；再将其种放法；再将其余余3个相同的小球放入个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下个不同的盒子中，有以下3种情况：种情况：(1)某一个盒子放某一个盒子放3个小球，就可从这个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，个小球，有有 种不同的放法；种不同的放法；(2)这这3个小球分别放入其中的个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选个不同的盒子中任选3个个盒子，分

20、别放入这盒子，分别放入这3个相同的小球，有个相同的小球，有 种不同放法；种不同放法；(3)这这3个小球中有两个小球放在个小球中有两个小球放在1个盒子中，另个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有 种不同的方法种不同的方法综上可知，满足题设条件的放法为综上可知，满足题设条件的放法为解法二：解法二：“每个盒子每个盒子都不空都不空”的含义是的含义是“每个盒子中至少有一个小球每个盒子中至少有一个小球”，合理的，合理的分类是正确解题的关键若用分类是正确解题的关键若用“隔板法隔板法”，可易得，可易得

21、 20.变式变式3.(1)计算计算xyz6的正整数解有多少组；的正整数解有多少组；(2)计算计算xyz6的非负整数解有多少组的非负整数解有多少组解答：解答：(1)可看做可看做将将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法转化为法转化为00000011的排列，要求的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有不排在两端且不相邻，共有C 10种排法，种排法，因此方程因此方程xyz6有有10组不同的正整数解；组不同的正整数解；(2)可看做将可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为00000011的排列，共

22、的排列，共有有C 28种排法，因此方程种排法，因此方程xyz6有有28组不同的非负整数解组不同的非负整数解1解决有条件排列问题中的解决有条件排列问题中的“相邻相邻”与与“互不相邻互不相邻”等问题；解决相邻问题可等问题；解决相邻问题可采用采用“捆绑法捆绑法”，而解决互不相邻问题可采用，而解决互不相邻问题可采用“插空法插空法”2元素在某一位置上，或不在某一位置上，可从特殊元素入手考虑，可从特殊元素在某一位置上，或不在某一位置上，可从特殊元素入手考虑，可从特殊位置进行考虑，还可间接计算位置进行考虑，还可间接计算【方法规律方法规律】3解决排列组合问题可遵循解决排列组合问题可遵循“先组合后排列先组合后排

23、列”的原则，区分排列组合问题主要的原则，区分排列组合问题主要是判断是判断“有序有序”和和“无序无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现无序，关键是在计算中体现“有序有序”和和“无序无序”4要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果效果. (本题满分本题满