【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第7单元 7.7 空间向量的坐标运算随堂训练 理 新人教B版

1、7-7空间向量的坐标运算一、选择题1已知ABCD，且A(4,1,3)、B(2，5,1)、C(3,7，5)，则顶点D的坐标为()A(，4，1) B(2,3,1) C(3,1,5) D(5,13，3)解析：，设(x，y，z)，则(7,8，2)(x2，y5，z1)，x5，y13，z3，即(5,13，3)答案：D2已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，则ABC的重心坐标为()A(6，3) B(4，2) C(8，4) D(2，1)解析：ABC的重心坐标为x4，y，z2.答案：B3若向量a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b，则等于()A2 B2 C2或

2、 D2或解析：|a|，|b|3，a·b6，根据已知条件，解得2，或.答案：C4 已知两空间向量a(2，cos ，sin )，b(sin ，2，cos )，则ab与ab的夹角为()A30° B45° C60° D90°解析：(ab)·(ab)a2b20，ab，ab90°.答案：D二、填空题5与A(1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为_解析：设到A、B两点距离相等的点为P(x，y，z)，由|PA|PB|，即(x1)2(y2)2(z3)2x2y2(z5)2，整理得：2x4y4z110.答案：2x4y4z110

3、6已知向量a(1,2,3)，b(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为_解析：b·a(1,1,1)·(1,2,3)，则a在向量b上的投影为.答案：7已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析：|a|3，|b|3，a·b2×2(1)×22×14，cosa，b，sina，b，S平行四边形|a|b|sina，b.答案：三、解答题8如右图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E为PD的中点(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找

4、一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离解答：(1)如右图，建立直角坐标系Axyz，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0)(，1,0)，(，0，2)，cos，则直线AC与PB所成角的余弦值为.(2)设N(x,0，z)又E(0，1)，(x，z1)由0，得2(z1)0，由0，得 x0，解得：x，z1，因此N点到AB和AP的距离分别为1，.9 如右图，点P，E，F在矩形ABCD所在平面外，PC平面ABCD于C，EB平面ABCD于B，FD平面ABCD于D，AB4，BC2，PC6，BEDF且四边形AEPF是平行四边形 (1)建立适当坐标系，求点E、F的坐标；(2)求平面AEPF与

5、平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小解答：如右图，建立空间直角坐标系 (1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设BEDFm，则E(0,2，m)，F(4，0，m)，(0,0,6)(0,2，m)(0，2,6m)，(4,0，m)(4,2,0)(0，2，m)，四边形AEPF是平行四边形，6mm，即m3，E(0,2,3)，F(4,0,3)(2)(0，2,3)，(0,2,3)(4,2,0)(4,0,3)，设平面AEPF的法向量n1(x，y，z)，n1，(x，y，z)·(0，2,3)0即2y3z0，n1，(x，y，z)·(4,0,3)0即4x3z0.令z4得y6，x3，n1(3,6,

6、4)，显然平面PEBC的法向量n2(1,0,0)n1·n2(3,6,4)·(1,0,0)3，|n1|，|n2|1，cosn1，n2，平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小是arccos .10如右图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点(1)求异面直线AE与BF所成的角；(2)求平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小；(3)求点A到平面BDF的距离解答：在长方体ABCDA1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线

7、为z轴建立空间直角坐标系如右图由已知AB2，AA11，可得A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)又AD平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为DBA30°，又AB2，AEBD，AE1，AD，从而易得E(，0)，D(0，0)(1)(，0)，(1,0,1).即异面直线AE、BF所成的角为arccos.(2)易知平面AA1B的一个法向量m(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面BDF的一个法向量(2，0)由取n(1，1)，cosm，n.即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)大小为arccos.(3)点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的

8、投影的绝对值所以距离d|·cos，n|·.所以点A到平面BDF的距离为.1 已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为()A(1,1,1) B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1) D(1，1,1)或(1,1，1)解析：由已条件(2，1,3)，(1，3,2)，可观察出a±(1,1,1)答案：C2已知，在右图所示的几何体ABCED中，EC面ABC，DB面ABC，CECACB2DB，ACB90°，M为AD的中点(1)证明：EMAB；(2)求直线BM和平面ADE所成角的大小解答：解法一

9、：(1)如右图，以C为原点，CA、CB、CE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 不妨设BD1，则E(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,1)，B(0,2,0)，由M是AD的中点，得M(1,1，)，(1,1，)，(2,2,0)0，得.(2) (2,2,1)，(2,0,2)，设面ADE的法向量n(x，y，z)，由AD·n0，·n0，易求平面ADE的一个法向量为n(1，1)，又BM(1，1，)cosn，直线BM和平面ADE所成角为arccos.解法二：(1)如上图，过M作MNAB，由DB面ABC，面ABD面ABC，得MN面ABC，MNBDCE，M是AD中点，N是AB中点，CACB，