（整理版）第3讲二项式定理

1、第3讲 二项式定理a级根底演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1(·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()a3项 b4项 c5项 d6项解析tr1c()24rrcx12，故当r0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项答案c2设n的展开式的各项系数之和为m，二项式系数之和为n，假设mn240，那么展开式中x的系数为()a150 b150 c300 d300解析由条件4n2n240，解得n4，tr1c(5x)4rr(1)r54rcx4，令41，得r2，t3150x.答案b3(·兰州模拟)8展开式中常数项为1 120，其中

2、实数a是常数，那么展开式中各项系数的和是()a28 b38 c1或38 d1或28解析由题意知c·(a)41 120，解得a±2，令x1，得展开式各项系数和为(1a)81或38.答案c4(·天津)在5的二项展开式中，x的系数为()a10 b10 c40 d40解析因为tr1c(2x2)5rrc25r·(1)rx103r，所以103r1，所以r3，所以x的系数为c253(1)340.答案d二、填空题(每题5分，共10分)5(·湖北)18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)解析tr1cx18rr(1)rcrx18r，令18r15，解得

3、r2.所以所求系数为(1)2·c217.答案176(·浙江)假设将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，那么a3_.解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为tr1c(1x)5r·(1)r，t3c(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案10三、解答题(共25分)7(12分)二项式n的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项解(1)由题意，得cccc256，即2n256，解得n8.(2)该二项展开式中的第r1项为tr1c()8r·rc·x，令0

4、，得r2，此时，常数项为t3c28.8(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律：(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论第0行1第1行 11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561解(1)ccc.(2)12222n2n11.(3)设ccc345，由，得，即3n7r30.由，得，即4n9r50.解联立方程组，得n62，r27，即ccc345.b级能力突破(时间：30分钟总分值

5、：45分)一、选择题(每题5分，共10分)10<a<1，方程a|x|logax|的实根个数为n，且(x1)n(x1)11a0a1(x2)a2(x2)2a10(x2)10a11(x2)11，那么a1()a10 b9 c11 d12解析作出ya|x|(a>0)与y|logax|的大致图象如下图，所以n2.故(x1)n(x1)11(x21)2(x21)11，所以a12c2119.答案b2(·湖北)设az，且0a<13，假设512 012a能被13整除，那么a()a0 b1 c11 d12解析512 012a(13×41)2 012a被13整除余1a，结合选

6、项可得a12时，512 012a能被13整除答案d二、填空题(每题5分，共10分)3假设x4(x3)8a0a1(x2)a2(x2)2a12(x2)12，那么log2(a1a3a11)_.解析令x1，28a0a1a2a11a12.令x3，0a0a1a2a11a12282(a1a3a11)，a1a3a1127，log2(a1a3a11)log2277.答案74(·浙江)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为a，常数项为b.假设b4a，那么a的值是_解析由tr1cx6rrc(a)rx6r，得bc(a)4，ac(a)2，b4a，a0，a2.答案2三、解答题(共25分)5(12分)(a21)

7、n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值解5的展开式的通项为tr1c5r·r5rcx，令205r0，得r4，故常数项t5c×16.又(a21)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n16，得n4.由二项式系数的性质知，(a21)n展开式中系数最大的项是中间项t3，故有ca454，解得a±.6(13分)n， (1)假设展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解(1)cc2c，n221n980.n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是t4和t5.t4的系数为c423，t5的系数为c32470，当n14时，展开式中二项式系数最大的项是t8.t8的系数为c7273 432.(2)ccc7