（整理版）第十四章复数复数的有关概念

1、第十四章 复数复数的有关概念二知识点详析1知识体系表解2复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，br(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：(4)复数的几何表示复数z=a+bia，br可用平面直角坐标系内点z(a，b)来表示这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴这样，全体复数集c与复平面上全体点集是一一对应的复数z=a+bi在复平面内还可以用以原点o为起点，以点z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点o，看成零向量)(7)复数与实数不同处任意两个实数可以比拟大小，而任意两个

2、复数中至少有一个不是实数时就不能比拟大小实数对于四那么运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方而复数对四那么运算和开方均通行无阻3有关计算：怎样计算？先求n被4除所得的余数， 是1的两个虚立方根，并且：3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向同向时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向反向时取等号。4 棣莫佛定理是：5 假设非零复数，那么z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。6 假设，复数z1、z2对应的点分别是a、b，那么aobo为坐标原点的面积是。7 =。

3、8 复平面内复数z对应的点的几个根本轨迹：轨迹为一条射线。轨迹为一条射线。轨迹是一个圆。轨迹是一条直线。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。4学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cos+isin)Û(z(a,b)Ûz=a+bi(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、

4、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数i及1的立方虚根的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想将复数问题实数化三角化、几何化；复数集纯虚数集虚数集实数集(7)掌握方程思想利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。三例题分析：.高考数学题选1. (四川卷理3)设复数i，那么1a.b.2c.d.2(重庆卷2)设复数, 那么 a3 b3 c3i d3i3. 高考数学试题广东b卷14复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,那么 z = .范例分析实数？虚数？纯虚数？复数z是实数的充要条件是：当m2时复数z为实数复数z是虚数的充要条件：当m3且m2时复数z

5、为虚数复数z是纯虚数的充要条件是：当m1时复数z为纯虚数【说明】要注意复数z实部的定义域是m3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件要特别注意复数za+bi(a，br)为纯虚数的充要条件是a0且b0 ，所以，代入得，应选解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，应选择b【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z运算简化解：设z=x+yi(x，yr)将z=x+yi代入|z4|z

6、4i|可得xy，z=x+xi(2)当|z1|13时，即有xx6=0那么有x=3或x=2综上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质其性质有：(3)1+2i+3+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：，。2原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设s1+2i+3+1000，那么isi+2+3+999+1000，(1i)s1+i+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法【例5】1假设，

7、求： 2，求的值。解：1【例6】三边都不相等的三角形abc的三内角a、b、c满足、的值.【解】得3分上式化简为6分9分当12分【例7】设z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(ar)，假设z1z20，z1z2+=0，问在0，2内是否存在使(z1-z2)2为实数？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由【分析】这是一道探索性问题可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答【解】假设满足条件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a

8、0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2r，故z1-z2为实数或为纯虚数又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0假设sin-a=0，那么由方程组得=sin，故cos=0，于是=或=假设1-cos-a2=0，那么由方程组得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，从而=或=综上所知，在(0，2)内，存在=或=，使(z1-z2)2为实数【说明】解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z0，z+=0Ûz纯虚数Û以及z2r&#

9、219;zr或z纯虚数注：re(z)，im(z)分别表示复数z的实部与虚部解题规律：对于“是否型存在题型，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，假设无矛盾，那么结论成立；否那么结论不成立【例8】设a为实数，在复数集c中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论【解】设|z|=r假设a0，那么z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数，从而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=±()i假设a0，对r作如下讨论：1假设ra，那么z2=a-2|z|0，于是z为实数解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)

10、故z=±()2假设ra，那么z2=a-2|z|0，于是z为纯虚数解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=±()i(a1)综上所述，原方程的解的情况如下：当a0时，解为：z=±()i；当0a1时，解为：z=±()，z=±()i；当a1时，解为：z=±()【说明】解题技巧：此题还可以令z=x+yi(x、yr)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解【例9】上海市普通高校春季高考数学试卷18实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.【解】由，解得，.方程的判别式.，由此得方程无实根.【

11、例10】给定实数a，b，c复数z1、z2、z3满足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件2，可联想使用复数为实数的充要条件进行求解【解】解法一由=1，可设=cos+isin，=cos+isin，那么=cos(+)-isin(+)因=1，其虚部为0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sincos-cos=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kz因而z1=z2或z2=z3或z3=z1假设z1=z2，代入2得=±i，此时az1+bz2+cz3=|z1|a+b±ci=类似地，如果z2

12、=z3，那么az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，那么az1+bz2+cz3=解法二由2知r，故=，即=由1得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【说明】解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：zrÛz=，以及视，等为整体，从而简化了运算解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果四稳固练习：设复数

13、z=3cos+2isin，求函数y=-argz(0)的最大值以及对应角的值【分析】先将问题实数化，将y表示成的目标函数，后利用代数法函数的单调性、根本不等式等以及数形结合法进行求解解法一、由0，得tan0，从而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=当且仅当，即tan=时，取“=又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当=arctan时，y取最大值为arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz)=，sin(argz)=显然y(-，)，且siny为增函数siny=sin(-argz)=sincos(

14、argz)-cossin(argz)=当且仅当，即tan=，取“=，此时ymax=arctan解法三、设z1=2(cos+isin)，z2=cos，那么z=z1+z2，而z1、z2、z的辐角主值分别为、0，argz如下图，必有y=zoz1，且0y在zoz1中，由余弦定理得9图xargzyoz1z2zcosy=+当且仅当4+5cos2=6，即cos=时，取“=又因为余弦函数在0为减函数，故当=arccos时，ymax=arccos【说明】解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问

15、题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的四课后作业：1、以下说法正确的选项是 a0i是纯虚数b原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点c实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数d是虚数2 a两个复数不可以比拟大小b两个实数可以比拟大小c两个虚数不可以比拟大小d一虚数和一实数不可以比拟大小3、对于x的方程+12ix+3mi=0有实根，那么实数m满足 4、复数1+i+等于 ai b i c2i d2i5、常数，又复数z满足，求复平面内z对应

16、的点的轨迹。6、设复数，记。1求复数的三角形式；2如果，求实数、的值。7、(理17)复数的辐角为，且是和的等比中项，求8、复数满足，且。(1)求的值；(2)求证：；(3)求证对于任意实数，恒有。9、1992·三南试题求同时满足以下两个条件的所有复数z：(1)z+是实数，且1z+6；(2)z的实部和虚部都是整数参考答案1、解0i=0r故a错；原点对应复数为0r故b错，i2=-1r，故d错，所以答案为c。b，c，d均正确，故a3、解此题考察复数相等概念，由4、解：因为i的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：a。5、解：z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点。6