周正友--提前备课3课时教案

1、第一课时24.2.2 垂径定理 教案1教学目标1、经历垂径定理的探索和证明过程,掌握垂径定理; 2、在研究过程中,进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法; 3、能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题2学情分析学生已经知道,在同圆或等圆中,圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性,进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联.因为圆是轴对称图形,且任意一条直径所在直线都是它的对称轴,所以课本对于这些量之间关系的讨论,从垂直于弦的直径的性质开始展开,并加以推理证明;21·cn·jy·com3重点难点重点:掌握垂径定

2、理的内容并初步学会运用. 难点:垂径定理的探索和证明.4教学过程活动1【导入】垂径定理一、情景引入 1、观察 将圆形纸片翻折,能观察到什么?说明什么?二、学习新课1、思考 如图,CD是O的直径,AB是O的弦,且ABCD,垂足为M,则图中有哪些相等的量?为什么? (学生观察,猜想,并得出以下结论) CO=DO(同圆的半径相等) AM=BM,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC(如何证明?) 21世纪教育网版权所有(学生讨论,并得出推导过程,教师板书) 联结OA、OB,则OA=OB. ABCD, AM=BM(等腰三角形三线合一), AOD=BOD, 弧AD=弧BD(同圆中,相等的圆心角所对的弧

3、相等). AOC=BOC, 弧AC=弧BC. 2、定理:如果圆的一条直径垂直于一条弦,那么这条直径平分这条弦,且平分这条弦所对的弧. 3、例题分析 例1 已知:如图,以点O为圆心的两个圆中, 大圆的弦AB交小圆于点C、D两点, 求证:AC=DB 分析:作OHAB,垂足为H 证明略 例2(赵州桥桥拱问题)1300 多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫拱形高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米) 解:三、巩固练习 1、已知O的弦AB长为10,半径长R为7,OC是弦AB的弦心距,求OC的长. 2、已知O的

4、半径长为50cm,弦AB长50cm, 求:(1)点O到AB的距离;(2)AOB的大小.21教育网四、课堂小结 知识:(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用. 方法:(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题,关键是构造直角三角形作弦心距;(2)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足过圆心;垂直于弦;则可得平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧五、作业布置 练习册:P ,习题24.2第二课时24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 学案学习目标：1使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学

5、会运用这些关系解决有关问题；3培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律学习重点和难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系；难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系学习过程：一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性1动态演示，发现规律投影出示图，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后问： (1)结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合(2)这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形投影出示图748，并动态显示：O绕圆心O旋转

6、180°由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形【来源：21·世纪·教育·网】投影继续演示如图749，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，90°，让学生观察发现什么结论？2-1-c-n-j-y得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合21·世纪*教育网2圆心角，弦心距的概念我们在研究圆的旋转不变性时

7、，O绕圆心O旋转任意角度后，出现一个角AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图750(如有条件可电脑闪动显示图形)在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书顶点在圆心的角叫做圆心角再进一步观察，AB是AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角AOB也是AB所对的弦请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦AB的垂线在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系(

8、引出课题)21*cnjy*com二、大胆猜想，发现定理再画一圆心角AOB，如果AOB=AOB，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，AB和弦的弦心距OM，OM，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与AB，弦心距OM与OM的大小关系如何？【来源：21cnj*y.co*m】学生很容易猜出： AB=AB，OM=OM教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？学生：旋

9、转下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明把AOB连同旋转，使OA与OA重合，电脑开始显示旋转过程教师边演示边提问我们发现射线OB与射线OB也会重合，为什么？学生：因为AOB=AOB，所以射线OB与射线OB重合要证明与重合，关键在于点A与点A，点B与点B是否分别重合这两对点分别重合吗？学生：重合你能说明理由吗？学生：因为OA=OA，OB=OB，所以点A与点A重合，点B与点B重合当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：与重合，弦AB与AB重合，OM与OM重合为什么OM也与OM重合呢？学生：根据垂线的唯一性于是有结论： AB=AB，OMOM以上证明运用了圆的旋转不变性得到结论后，教

10、师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题教师板书定理定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等教师引导学生补全定理内容投影显示如图753，O与O为等圆，AOB=AOB，OM与OM分别为AB与AB的弦心距，请学生回答与AB与AB，OM与OM还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆(投影显示叠合过程)这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等请同学们思考，在这个大前

11、提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论请学生归纳，教师板书推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等www.21-cn-三、例题解析例1已知：如图24-26，等边三角形ABC的三个顶点都在O上求证：AOB=BOC=COA=120°证明：连接OA，OB，OCAB=BC=CA，AOB=BOC=COA=×360°=120°例2已知：如图

12、24-27，点O是A平分线上的一点，O分别交A两边于点C、D和点E，F求证：CD=EF证明过点O作OKCD、OKEF，垂足分别为K，KOK=OK(角平分线性质)，CD=EF例3如图24-28，AB，CD为O的两条直径，CE为O的弦，且CEAB，为40°，求BOD的度数21世纪教育网版权所有解连接OE为40°，COE=40°四、师生共同小结教师提问：(1)这节课学习了哪些具体内容？(2)本节的定理和推论是用什么方法证明的？(3)应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结(1)这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形得到圆的特性圆的旋转不变性；二是学习

13、了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据21·cn·jy·com(2)本节通过观察猜想论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想2·1·c·n·j·y(3)在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件第二课时24.2.4 圆的确定 教案(一)教学目标：1了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

14、，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念21教育网2经历不在同一条直线上三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力3使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法教学重点：1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论2掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法3了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念4反证法证题的步骤教学难点：1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点2 理解反证法的推理依据及方法教学过程：一圆的确定及三角形内接圆创设问题情境，引入新课师我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线那么，经过一点能作

15、几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进行有关探索新课讲解1回忆及思考(投影片一)(1)线段垂直平分线的性质及作法(2)作圆的关键是什么？生1线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等21·cn·jy·com师我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点即为圆心，定长即为半径根据定义大家觉得作圆的关键是什么？生由定义可知，作圆的问题实质上就是

16、圆心和半径的问题因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小确定了圆心和半径，圆就随之确定【来源：21cnj*y.co*m】2做一做(投影片二)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？2·1·c·n·j·y(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)你是如何作的？你能作出几个这样的圆？【出处：21教育名师】师根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答生(

17、1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定所以以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆由于圆心是任意的因此这样的圆有无数个如图(1)(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径因此圆心到A、B的距离相等根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径圆就确定下来了由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有

18、无数个圆心，作出的圆有无数个如图(2)【版权所有：21教育】(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心21教育名师原创作品因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆师大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？3过不在同一条直线上的三点作圆作法图示1连结AB、BC2分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3以O为圆心，OA为半径

19、作圆O就是所要求作的圆投影片(三)他作的圆符合要求吗？与同伴交流生符合要求因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等ED与FG的满足条件师由上可知，过已知一点可作无数个圆过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆4有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形21·世纪*教育网外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心二反证法1、提问：师：

20、通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确师：反证法是一种间接证明命题的基本方法在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明21世纪教育网版权所有例如：在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？www.21-cn-解析：由C=90°可知是直角三角形