时间序列数据的伪回归问题

1、时间序列数据的时间序列数据的伪回归问题伪回归问题及其处理方法及其处理方法 长期均衡关系长期均衡关系 误差修正回归模型误差修正回归模型 运用平稳时间序列数据的经典回归分析是有效的，以往时间序列数据的计量回归分析实际上隐含假设数据是平稳的。 如果把非平稳的时间序列当作平稳序列，事实上会破坏古典线性回归模型的基本假设，用这样的模型进行回归，得到的统计量都是失效的，分析、检验和预测结果都是无效的，对计量回归分析的有效性有很大的影响。 非平稳时间序列的另一个问题是，虽然这种时间序列事实上会破坏经典回归分析的基础和有效性，但根据分析结果并不一定能发现问题。 事实上，有时即使时间序列严重非平稳，分析结果完全

2、无效，t、F、 等指标却仍然很正常，模型的显著性和拟合程度看起来都很好。这种问题通常称为“伪回归” 问题。2R1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回归伪回归”问题 如:印度人口印度人口中国中国 GDP物价指数物价指数个人收入水平个人收入水平个人收入水平个人收入水平物价指数物价指数 1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回伪回归归”问题 印度的人口增长比较快,中国的GDP增长也比较快,这两个序列有着共同的趋势,能否把这两个序列建立一个模型。 印度人口印度人口中国中国 GDP 1、利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回归伪回归”问题个人收入水平个人收入水平物价指数物价指数 物价指数物价

3、指数个人收入水平个人收入水平 ？较为普遍的现象! 很多经济时间序列都是非平稳的（从直观上看，随着经济的发展，多数经济时间序列呈明显的上升趋势），而直接采用非平稳时间序列建立回归模型，很容易产生“伪回归”问题。0200400600800100036384042444648505254CAPARn2、存在着因果关系的变量间建立的回归预测模型的预测效果越来越差 我们建立的模型是一个均衡的模型，而实际情况不可能总是在均衡状态下，实际往往会其均衡状态而处于不均衡状态。这时，则需要根据的不均衡程度的预测值。 利用非平稳时间序列直接建模容易产生“伪回归伪回归”问题 存在着因果关系的变量间建立的回归预测模型的

4、预测效果越来越差怎么办? 检验是否存在长期稳定的均衡关系, 误差修正一、长期均衡关系一、长期均衡关系1. 1. 问题的提出问题的提出 经典回归模型经典回归模型（classical regression model）是建立在）是建立在稳定数据变量基础上的。稳定数据变量基础上的。 对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现现虚假回归虚假回归 (伪回归伪回归) 等诸多问题。等诸多问题。-4-20242004006008001000Z2 由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制

5、。方法带来了很大限制。 但是，如果变量之间有着长期的稳定关系（但是，如果变量之间有着长期的稳定关系（即它们之间即它们之间是是协整协整的的cointegration），则是可以使用经典回归模型），则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。方法建立回归模型的。 例如，中国居民例如，中国居民人均消费水平与人均人均消费水平与人均GDPGDP变量变量之间的回之间的回归预测模型要比归预测模型要比ARMAARMA模型有更好的预测功能，模型有更好的预测功能，其原因在其原因在于于，从经从经济理论上说，人均济理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系。平，而且

6、它们之间有着长期的稳定关系。 某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。使其重新回到均衡状态。 2. 2. 长期均衡长期均衡式中式中: : t t是随机扰动项是随机扰动项。 该均衡关系意味着该均衡关系意味着: :给定给定X的一个值，的一个值，Y相应相应的均衡值也随之确定为的均衡值也随之确

7、定为0 0+ + 1 1X。 tttXY10假设假设X与与Y间的长期间的长期“均衡关系均衡关系”由式描述由式描述: （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt -1； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt -1； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:tttvXY1式中，式中，v vt t= = t t- - t-1t-1。 n在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一： 实际情况往往并非如此实际情况往往并非如此 如果如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即期末，发生了上述第二

8、种情况，即Y的值小于其均衡值，则的值小于其均衡值，则Y的变化往往会比第一的变化往往会比第一种情形下种情形下Y的变化的变化 Yt大一些；大一些； 反之，如果反之，如果Y的值大于其均衡值，则的值大于其均衡值，则Y的变的变化往往会小于第一种情形下的化往往会小于第一种情形下的 Yt 。 可见，如果可见，如果Yt= 0+ 1Xt+ t正确地提示了正确地提示了X与与Y间的长期稳定的间的长期稳定的“均衡关系均衡关系”，则意味着，则意味着Y对对其均衡点的偏离从本质上说是其均衡点的偏离从本质上说是“临时性临时性”的。的。 因此，因此，一个重要的假设就是一个重要的假设就是:随机扰动项随机扰动项 t必须是平稳序列。

9、必须是平稳序列。 显然，如果显然，如果 t有随机性趋势（上升或下降），有随机性趋势（上升或下降），则会导致则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。积下来而不能被消除。 式式Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t中的随机扰动项也被称为中的随机扰动项也被称为非非均衡误差均衡误差（disequilibrium error），它是变量），它是变量X与与Y的一个线性组合：的一个线性组合： tttXY10(*) 因此，如果因此，如果Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t式所示的式所示的X与与Y间的长期均衡间的长期均衡关系正确的话

10、，（关系正确的话，（*）式表述的非）式表述的非均衡均衡误差应是一平稳误差应是一平稳时间序列，并且具有零期时间序列，并且具有零期望值，即是具有望值，即是具有0均值的均值的I(0)序列。序列。3.协整协整 从这里已看到从这里已看到，非稳定的时间序列，它非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的们的线性组合也可能成为平稳的。 假设假设Yt= 0+ 1Xt+ t式中的式中的X与与Y是是I(1)序序列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关列，如果该式所表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由系成立的话，则意味着由非均衡误差非均衡误差（*）式）式给出的线性组合给出的线性组合是是I(0)序列序列。

11、这时我们称变量。这时我们称变量X与与Y是协整是协整的（的（cointegrated）。 检验变量之间的协整关系，在建立计量经检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。济学模型中是非常重要的。 而且，从而且，从变量之间是否具有协整关系出发变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的计性质是优良的。tttGDPC10 建立回归模型时建立回归模型时, ,如如 只要变量选择是合理的只要变量选择是合理的( (具有长期稳定的关系具有长期稳定的关系, ,即协整关系即协整关系) )，随机误差项一定是，随机误差项一定

12、是“白噪声白噪声”（即均（即均值为值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。理的经济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。可以用经典的回归分析方法建立回归模型的原因。 二、协整检验二、协整检验 为了检验两变量为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，是否为协整，Engle和和Granger于于1987年提出两步检验法，也称为年提出两步检验法，也称为EG检验。检验。 第一步，用第一步，用OLS方法估计方程：方法估计方程： Yt= = 0 0+ +

13、1 1Xt+ + t t并计算非均衡误差，得到：并计算非均衡误差，得到： tttttYYeXY10称为协整回归称为协整回归( (cointegrating)或静态回归或静态回归( (static regression) )。第二步第二步, ,检验检验 的单整性的单整性, ,如果如果 是稳定的序列是稳定的序列, ,则认则认为因变量与自变量之间具有协整关系。检验的方法为因变量与自变量之间具有协整关系。检验的方法仍然是仍然是DFDF检验或检验或ADFADF检验。检验。 te te 进行检验时，拒绝零假设进行检验时，拒绝零假设H0： =0，意味，意味着误差项着误差项et是平稳序列，从而说明是平稳序列，

14、从而说明X与与Y间是协间是协整的。整的。tpiititteee11 而而OLS法采用了残差最小平方和原理，因法采用了残差最小平方和原理，因此估计量此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。设的机会比实际情形大。 于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该临界值应该比正常的比正常的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。 MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的通过模拟试验给出了协整检验的临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界

15、值。界值。 表表9.3.1 双双变变量量协协整整ADF检检验验临临界界值值 显 著 性 水 平 样本容量 0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13 100 -4.01 -3.39 -3.09 -3.90 -3.33 -3.05 例例 检验中国居民人均消费水平检验中国居民人均消费水平CPCCPC与人均国内生与人均国内生产总值产总值GDPPCGDPPC的协整关系。的协整关系。已知已知C与与GDP都是都是I(2)序列，它们的回归式：序列，它们的回归式： ttGDPC45831. 0764106.49R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作通过对该式计算的残