有限元法基础-6应用考虑

1、第六章 FEM应用中的问题 6.1 有限元模型的建立6.2 应力计算结果的处理6.3 非协调元6.4 奇异单元 6.5 子结构法6.6 自适应分析16. FEM应用中的问题 本章重点介绍本章重点介绍l建立有限元模型应遵循的一般原则建立有限元模型应遵循的一般原则l改善应力计算结果的处理方法改善应力计算结果的处理方法l子结构方法的特点、使用条件及实施步骤子结构方法的特点、使用条件及实施步骤l非协调单元及其收敛性非协调单元及其收敛性l裂尖单元及奇异性裂尖单元及奇异性l自适应有限元分析的一般方法自适应有限元分析的一般方法有限元法基础26. FEM应用中的问题关键概念关键概念应力修匀（应力修匀（Stre

2、ss SmoothingStress Smoothing）子结构子结构 （sub-structuresub-structure）静态凝聚静态凝聚(Static Condensation)(Static Condensation)非协调单元非协调单元 (incompatible element) 裂尖单元单元 (crack element)(crack element)自适应分析（自适应分析（Adaptive AnalysisAdaptive Analysis）有限元法基础36. FEM应用中的问题 有限元法的应用首先是建模问题，将实际问题有限元法的应用首先是建模问题，将实际问题简化为当前计算条

3、件能够完成的计算问题。简化为当前计算条件能够完成的计算问题。 其次，建立有限元模型，选择合适的单元将结其次，建立有限元模型，选择合适的单元将结构离散成网格。构离散成网格。 施加边界条件，求解，分析结果，确认结果的施加边界条件，求解，分析结果，确认结果的可靠性，指导设计和生产。可靠性，指导设计和生产。有限元法基础46. 1 有限元模型的建立 有限元法的实际应用的关键问题有限元法的实际应用的关键问题分析过程的有效性分析过程的有效性计算结果的可靠性计算结果的可靠性有限元法基础5有限元模型的建立有限元模型的建立恰当的分析方案恰当的分析方案计算方法的选择计算方法的选择6. 1 有限元模型的建立1 1）选

4、择合适的单元）选择合适的单元有限元法基础6需要考虑：需要考虑： 问题的维数：一、二、三维问题的维数：一、二、三维 实体单元实体单元 单元类型：单元类型： 结构单元（梁、板、壳单元）结构单元（梁、板、壳单元）6. 1 有限元模型的建立 例：悬臂梁问题例：悬臂梁问题CSTCST和和LSTLST的比较的比较有限元法基础76. 1 有限元模型的建立 例：悬臂梁问题例：悬臂梁问题Q4和和QM6的比较的比较有限元法基础86. 1 有限元模型的建立 例：悬臂梁问题计算精度的比较例：悬臂梁问题计算精度的比较有限元法基础96. 1 有限元模型的建立T33节点单元节点单元T66节点单元节点单元Q44节点单元节点单

5、元Q88节点单元节点单元Q4WT非协调元非协调元Q4PS杂交应力元杂交应力元NDLT总总DOF有限元法基础106. 1 有限元模型的建立T33节点单元节点单元T66节点单元节点单元Q44节点单元节点单元Q88节点单元节点单元Q4WT非协调元非协调元Q4PS杂交应力元杂交应力元NDLT总总DOF有限元法基础116. 1 有限元模型的建立2）网格划分网格划分网格疏密的布置网格疏密的布置 根据几何形状和应力分布情况局部的网格疏密根据几何形状和应力分布情况局部的网格疏密有限元法基础126. 1 有限元模型的建立不连续处的网格自然划分不连续处的网格自然划分有限元法基础13载荷突变载荷突变材料分界面材料分

6、界面 板厚突变板厚突变6. 1 有限元模型的建立3 3）疏密网格的过渡）疏密网格的过渡不同疏密的过渡不同疏密的过渡不同形状的过渡不同形状的过渡有限元法基础146. 1 有限元模型的建立不同阶次单元的过渡不同阶次单元的过渡有限元法基础156. 1 有限元模型的建立不良过渡举例不良过渡举例有限元法基础166. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多个不同网格剖分的区域连接在多个不同网格剖分的区域连接有限元法基础172131()26. 1 有限元模型的建立可使用可使用MPCMPC在多个不同网格剖分的区域连接在多个不同网格剖分的区域连接有限元法基础186. 2 应力计算结果的处理 结构分析的

7、主要目的是进行强度校核，需求出应结构分析的主要目的是进行强度校核，需求出应力分布。力分布。求应力分布步骤：求应力分布步骤：1 1）位移元有限元法求得结构的所有节点位移解）位移元有限元法求得结构的所有节点位移解 q ；2）在每个单元内）在每个单元内有限元法基础19ee BqCCBq6. 2 应力计算结果的处理应力结果的特点：应力结果的特点：1 1）在单元内一般不满足平衡方程）在单元内一般不满足平衡方程 ；2）在单元与单元的交接面上应力一般不连续；）在单元与单元的交接面上应力一般不连续；3）在给定面力的边界上一般不满足力的边界条件。）在给定面力的边界上一般不满足力的边界条件。有限元法基础206.

8、2 应力计算结果的处理设设 u u 为精确解，近似解可表示为为精确解，近似解可表示为根据最小势能原理根据最小势能原理有限元法基础21( ),( ) uuu,=+uu1( )21 ()()21 2 1 2TTTTTTTpVVSTTTVVSTTTVVSTTTVVSTVdVdVdSdVdVdSdVdVdSdVdVdS uCu Fu T+C+uuFuu TCu Fu TCu Fu TC2 ( )pppdV u6. 2 应力计算结果的处理对精确解对精确解对于具体确定的问题对于具体确定的问题 求求 的极小值问题的极小值问题有限元法基础220p ( )pConstu2( )( )1 ( )2pppTpVdV

9、 uuuC 2p2111 22emTTpVVedVdV CC6. 2 应力计算结果的处理对于线弹性问题，应变能与余能相等对于线弹性问题，应变能与余能相等求求 的的极小值问题极小值问题，化为，化为求位移变分求位移变分 所引起的应变能为极小值的问题所引起的应变能为极小值的问题或或求应力求应力 或应变或应变 的加权二乘极小值问题。的加权二乘极小值问题。有限元法基础23211 2emTpVedV S( )p u u11 ()2emTVedV S6. 2 应力计算结果的处理l等参元的最优应力点等参元的最优应力点 求泛函的极值求泛函的极值或或 为为p p次多项式插值，微分算子的最高阶导数为次多项式插值，微

10、分算子的最高阶导数为m m，则则 为为p-mp-m次多项式，次多项式，GaussGauss积分至少采用积分至少采用p-m+1p-m+1阶阶积分，得到积分，得到2 2（p-mp-m）1 1阶代数精度。阶代数精度。有限元法基础241()0emTVedV S1( , )0emTVedV u uDuDu CDu u 6. 2 应力计算结果的处理设数值积分为设数值积分为p-m+1p-m+1阶，且阶，且JacobiJacobi行列式为常数行列式为常数若在若在GaussGauss点上点上 独立独立这一表达式在这一表达式在 为为p-m+1p-m+1阶多项式都是成立的，故阶多项式都是成立的，故在在GaussGa

11、uss点上，点上， 的精度可达到的精度可达到p-m+1p-m+1阶，比自身插阶，比自身插值高一阶。值高一阶。有限元法基础25111()0p mmTjjjjej SJj eji CBq 6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础26二次应变与离散的线性最小二乘的近似解二次应变与离散的线性最小二乘的近似解6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础27l以上的结论只对一维单元是严格的以上的结论只对一维单元是严格的l对二维和三维单元是近似的，但可以推论，对二维和三维单元是近似的，但可以推论，在等参元中在等参元中p-m+1阶阶Gauss积分点的应力较其积分点的应力较其他点处具有较高的精度他点处具有较高的精度

12、l因此称因此称p-m+1阶阶Gauss积分点为等参元的最积分点为等参元的最佳应力点佳应力点6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础286. 2 应力计算结果的处理有限元法基础29l应力解的修匀应力解的修匀 应力计算公式应力计算公式 可计算单元内任意点的应力值。可计算单元内任意点的应力值。位移元解的特点：位移元解的特点：1）位移元的位移解在全域都是连续的）位移元的位移解在全域都是连续的2）直接计算节点上的应力精度较差）直接计算节点上的应力精度较差3）应力解在单元间是跳跃的）应力解在单元间是跳跃的e CBq6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础306. 2 应力计算结果的处理有限元法基础31l单

13、元应力平均单元应力平均 最常用于最常用于3节点三角形单元，将应力解看作是单元节点三角形单元，将应力解看作是单元形心处的应力，平均应力看作四边形形心处的应力。形心处的应力，平均应力看作四边形形心处的应力。 1）直接算术平均）直接算术平均 2）按单元面积加权平均）按单元面积加权平均 211()2ee112212eeeeeeAAAA6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础32l节点应力平均节点应力平均 节点节点i i 有有m个单元与之相关个单元与之相关11meiiem6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础33l整体应力修匀整体应力修匀 应力常在全域是不连续的，可采用整体应力修匀的应力常在全域是不连

14、续的，可采用整体应力修匀的方法，以得到应力场全域连续。方法，以得到应力场全域连续。 构造一个改进的应力解构造一个改进的应力解Ni 是插值函数，是插值函数， 改进后的节点应力值，改进后的节点应力值，ne是单元是单元节点数。节点数。*1eniie * *i 6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础34改进的应力与有限元解改进的应力与有限元解 应满足加权最小二乘应满足加权最小二乘的原则的原则变分取驻值变分取驻值代入代入 表达式，由表达式，由 的任意性的任意性N为全部单元的节点数。为全部单元的节点数。*1 ()0emTVedV S *11 ()2emTVedV S* *i *1 ()0(1,)emTi

15、VedViN SN6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础35可得可得NxS个线性方程组，个线性方程组，S为应力分量数为应力分量数求解方程，得到节点上的改进值求解方程，得到节点上的改进值由节点改进值和插值函数由节点改进值和插值函数Ni可的全域上应力可的全域上应力特点：特点：1）应力全域上连续）应力全域上连续2）工作量大，相当于第二次有限元计算。）工作量大，相当于第二次有限元计算。*i 6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础36l单元级应力修匀单元级应力修匀 设改进后的应力设改进后的应力 对等参元来讲，最优应力点在对等参元来讲，最优应力点在p-m阶阶Gauss积分积分点上，因此可由点上，因此可

16、由Gauss点外插到节点上。点外插到节点上。*1eniiiN6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础37l单元级应力修匀单元级应力修匀 设改进后的应力设改进后的应力 对等参元来讲，最优应力点在对等参元来讲，最优应力点在p-m+1阶阶Gauss积积分点上，因此可由分点上，因此可由Gauss点外插到节点上。点外插到节点上。*1eniiiN6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础38例：平面例：平面8节点单元，利用节点单元，利用4个个Gauss点值改进较点值改进较节点应力值节点应力值 设改进后的应力设改进后的应力 在在Gauss点上点上 4*11,(1)(1)4iiiiiiNN6. 2 应力计算结果

17、的处理有限元法基础39求角节点应力，求逆得求角节点应力，求逆得6. 2 应力计算结果的处理有限元法基础40 6. 3 非协调元l用平面用平面4 4节点等参元模拟梁的纯弯曲节点等参元模拟梁的纯弯曲 如图纯弯曲问题的精确解如图纯弯曲问题的精确解利用平面问题的本构关系得利用平面问题的本构关系得有限元法基础41222211()()22uxyvaxay,0 xyxyEy6. 3 非协调元用一个双线性面用一个双线性面4 4节点等参元节点等参元 位移解为位移解为 得到错误的应力解如图：得到错误的应力解如图： 有限元法基础420uxyv6. 3 非协调元引起误差原因：缺少引起误差原因：缺少x x和和y y的二

18、次项的二次项 有限元法基础43 采用不完全采用不完全 二次多项式做为位移模式，二次多项式做为位移模式，单元的边界在变形后位移模式仍为直线。单元的边界在变形后位移模式仍为直线。不能很好地描述单元边界被弯曲时的位移，不能很好地描述单元边界被弯曲时的位移，影响精度。影响精度。 6. 3 非协调元有限元法基础44Wilson 等（等（1973）采用在位移模式中补充附）采用在位移模式中补充附加自由度的方构造一种非协调等参元：加自由度的方构造一种非协调等参元：Willon非非协调元协调元422561422561(1)(1)(1)(1)iiiiiiuN uuuvN vvv1(1)(1)4iiiN6. 3 非

19、协调元有限元法基础45插值函数特点插值函数特点1）达到二次完备）达到二次完备 等参插值函数等参插值函数 补充补充 2）在单元边界上位移为非协调的）在单元边界上位移为非协调的1, , , 22, 25(1)N26(1)N6. 3 非协调元有限元法基础46例如在例如在12边上，边上，在在12边上的位移与单元内部参数有关，其他边边上的位移与单元内部参数有关，其他边也是如此。也是如此。1,11 2125212511( )(1)(1)(1)2211( )(1)(1)(1)22uuuuvvvv6. 3 非协调元有限元法基础47位移插值的表达式位移插值的表达式 记记 112233445566 ,;,;,;,

20、;,eTeTu v u v u v u vu v u vqq123456123456000000000000eeNNNNNNuNNNNNNv quqeeuNqNq6. 3 非协调元有限元法基础48应变的表达式应变的表达式 356124356124335566112244,000000 000000TTxyxyeeuvuvxyyxNNNNNNxxxxxxNNNNNNyyyyyyNNNNNNNNNNNNyxyxyxyxyxyxqq eeqBBq6. 3 非协调元有限元法基础49单元刚度矩阵单元刚度矩阵 0eeuuueuKKqQKKqeTuuAdAKB CBeTAdAKB CBeTTuuAdAK=

21、KB CB6. 3 非协调元有限元法基础50凝聚内部凝聚内部DOF 由第二组方程，得由第二组方程，得内部内部DOF不出现在总体刚度矩阵中，不增加求解不出现在总体刚度矩阵中，不增加求解方程的方程的DOF。该单元称为。该单元称为Q6。 1()eeu qKK q1()eeuuuu(KKKKqQ6. 3 非协调元有限元法基础51l单元单元Q6的收敛条件的收敛条件 在矩形单元时，单元能够满足在矩形单元时，单元能够满足Patch Test，但，但在扭曲单元形状时，单元不能表示常应力状态。在扭曲单元形状时，单元不能表示常应力状态。 考察单元在常应力（应变）时，希望考察单元在常应力（应变）时，希望 保持为保持

22、为零，即零，即 eq1()eeuc 0qKK q()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqBeTAdA0B6. 3 非协调元有限元法基础52由收敛条件得到由收敛条件得到 1）在平行四边形单元时，）在平行四边形单元时，Jacobi行列式为常数，行列式为常数，被积函数为被积函数为 和和 项，收敛条件满足；项，收敛条件满足； 2）对任意单元形状，条件不满足；）对任意单元形状，条件不满足； 3）用形心）用形心 处的处的Jacobi矩阵代替积分矩阵代替积分点的值，收敛条件可满足，这个单元称为点的值，收敛条件可满足，这个单元称为QM6，由由Taylor等（等（1976）建立。）建立。 1 11

23、1Td d 0BJ()(0,0) ,6. 3 非协调元有限元法基础536. 3 非协调元有限元法基础54l收敛条件的改进收敛条件的改进 eeTTcAdA0q B ()eeeTeTucccAAdAdA0K qBCBqB0eTTccAdAdS=uldSm = 0uluN qdSm = 0若N6. 3 非协调元有限元法基础55对对4节点平面单元节点平面单元 可构造出满足可构造出满足Patch Test 的非协调插值函数的非协调插值函数 55665 56 6uN uN uvN vN v2125002126002(1)32(1)3JJNJJJJNJJ012JJJJ6. 3 非协调元有限元法基础566.

24、4 奇异单元有限元法基础57 断裂力学中，需计算应力强度因子，由于在断裂力学中，需计算应力强度因子，由于在裂尖处有奇异性，影响有限元计算精度。在线弹裂尖处有奇异性，影响有限元计算精度。在线弹性条件下，裂尖具有性条件下，裂尖具有 的奇异性。的奇异性。12r6. 4 奇异单元有限元法基础58l中点在中点在1/4位置的单元位置的单元 坐标变换坐标变换 或或 2(1)4Lx21xL6. 4 奇异单元有限元法基础59l形函数为形函数为l应变矩阵为应变矩阵为 22212311(),1,()22NNN 1exdudu ddudxddxJ d= Bq(1)2dxLJLxd312123422122dNdNdNJ

25、dddLLLLxLxLxB如如 ，则，则 和和 具有的奇异性具有的奇异性这个单元仍能表示刚体位移和常应变这个单元仍能表示刚体位移和常应变xLxx1/2x6. 4 奇异单元有限元法基础60l8节点等参元将中点移至节点等参元将中点移至1/4位置处位置处 Henshell和和Shaw（1975）证明在推退化点处有）证明在推退化点处有 奇异性。奇异性。 1/2r6. 4 奇异单元有限元法基础61l8节点等参元退化为节点等参元退化为6节点等参元节点等参元Hibbitt（1977）建议该方法，在推退化点处有）建议该方法，在推退化点处有 奇异性，且计算精度更好。奇异性，且计算精度更好。 1/2r6. 4 奇

26、异单元有限元法基础626. 4 奇异单元有限元法基础63l奇异单元特点奇异单元特点三维三维20节点单元将中点移至节点单元将中点移至1/4处，退处，退化点的单元边缘有化点的单元边缘有 奇异性奇异性等参元的奇异性，并不因为单元畸变和等参元的奇异性，并不因为单元畸变和退化而消失退化而消失对塑性材料，应变对塑性材料，应变 的奇异性，也可的奇异性，也可通过特殊处理达到通过特殊处理达到1/2r1r6. 5 子结构有限元法基础64 为解决计算机求解能力的问题，尤其是为解决计算机求解能力的问题，尤其是对大型结构分析时，提出了对大型结构分析时，提出了总体总体-局部方局部方法法、子结构子结构、超级单元法超级单元法

27、，其目的是提高，其目的是提高分析效率，并能够在硬件条件有限的情况分析效率，并能够在硬件条件有限的情况下，能够分析大型结构问题。下，能够分析大型结构问题。6. 5 子结构有限元法基础65l总体总体-局部方法主要用于应力集中问题局部方法主要用于应力集中问题 先由较粗的网格进行整体分析，然后在关心的先由较粗的网格进行整体分析，然后在关心的局部加密网格将总体分析的位移解施加在局部模局部加密网格将总体分析的位移解施加在局部模型的边界。型的边界。 6. 5 子结构有限元法基础66l构建超级单元的目的是减少构建超级单元的目的是减少“计算时间计算时间”上的上的重复重复性，超级单元实际上也是一种子结构。重复重复

28、性，超级单元实际上也是一种子结构。6. 5 子结构有限元法基础67l对于几何空间上有重复的大型结构，构建子结对于几何空间上有重复的大型结构，构建子结构减少重复计算量。构减少重复计算量。6. 5 子结构有限元法基础68l实施步骤实施步骤1）取具有重复性的结构作为子结构（可以有多）取具有重复性的结构作为子结构（可以有多级子结构）级子结构）2）对底层子结构形成刚度矩阵，将其内部）对底层子结构形成刚度矩阵，将其内部DOF凝聚凝聚bbbibbibiiiiKKqQKKqQ边界边界DOF 内部内部DOF 6. 5 子结构有限元法基础69凝聚内部凝聚内部DOF 由第二组方程由第二组方程ibbiiiiK qK

29、qQ1()iiiiibbq = KQK q11bbbiiiibbbiiibiKK KKqQKK Q*bbK qQ6. 5 子结构有限元法基础706. 5 子结构有限元法基础713）将子结构装配，形成上一级子结构（采用坐）将子结构装配，形成上一级子结构（采用坐标变换并再凝聚）标变换并再凝聚）4）组装子结构，并形成整体刚度矩阵，求解）组装子结构，并形成整体刚度矩阵，求解5）将结果进行回代，再求解子结构内部的节点）将结果进行回代，再求解子结构内部的节点位移和其他量位移和其他量1()iiiiibbq = KQK q6. 5 子结构有限元法基础72l采用采用Gauss消去法进行内部消去法进行内部DOF的

30、凝聚的凝聚 将矩阵消元将矩阵消元 第一方程组为子结构的凝聚后的矩阵第一方程组为子结构的凝聚后的矩阵 第二方程组为子结构回代求解方程第二方程组为子结构回代求解方程*0bbbbiibiqKQqKIQbbbibbibiiiiKKqQKKqQ6. 6 自适应分析有限元法基础73 如何对有限元分析结果的误差进行判断，其如何对有限元分析结果的误差进行判断，其划分的网格是否合适？划分的网格是否合适？ 自适应有限元分析是基于前一次计算结果，进自适应有限元分析是基于前一次计算结果，进行事后误差估计，并以提高精度为目的，由分析行事后误差估计，并以提高精度为目的，由分析软件自动对计算方案重新调整，重新计算，直至软件自动对计算方案重新调整，重新计算，直至满足精度的计算分析方法。满足精度的计算分析方法。 6. 6 自适应分析有限元法基础74l调整方式调整方式1） h方法（方法（h-refinement method）：逐步细）：逐步细化网格，减小单元尺度化网格，减小单元尺度2） p方法（方法（p-refi